17(4)

\

\

y --j-

/i

— A

Rys. 4 18. Wek lory przyspieszenia i prędkości c/ąsfki poruszającej się jednostajnie p<» okręj w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Obydwa mają Matą dlug< lec/ ich kierunki zmieniaj;) się w sposób ciągły

Na rysunku 4. IX przedstawiono wektory prędkości i przyspieszenia w różr nych luzach ruchu jednostajnego po okręgu. Obydwa wektory maj;) przez cały czas takie same długości, lecz ich kierunki zmieniają się w sposób ciągły. Wektor prędkości jest zawsze styczny do okręgu i skierowany w kierunku ruchu cząstki. Wektor przyspieszenia jest zawsze skierowany wzdłuż promienia okręgu, ku jego środkowi. Z tego względu przyspieszenie w ruchu jednostajnym po okręgu nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym. Jak wykażemy za chwilę, wartość tego przyspieszenia a wynosi:

/•

łj»j/\spieszenie dośrodknwci.

przy czym r jest promieniem okręgu, a o — modułem prędkości cząstki.

W tym ruclui przyspieszonym o stałym module prędkości cząstka obiega okrąg (c/.\li pr/ch\wa ilrogę 2:iri w czasie:

/ -- — - (okres). e

(4.33)

u

X n tv

bj

• _Q

(i // ó '

(*/as / na/y w anty okn.scm obiegu lub po prostu okresem tego ruchu. Mówiąc ogólniej, jest to ezas potrzebny c/ąstcc na jednokrotny obieg zamkniętego toru.

Wyprowadzenie wzoru (4.32)

W celu wyznaczenia wartości i kierunku przyspieszenia w ruchu jednostajnym po okręgu przeanalizujmy rysunek 4.19. Na rysunku 4.!9a cząstka /> porusza się z prędkością r o stałej wartości po okręgu o promieniu /. W chwili, dla której wykonano ten rysunek współrzędne lej cząstki wynoszą .\_r i y_/f.

W paragrafie 1.3 stwierdziliśmy, że prędkość f poruszającej się cząstki jest zawsze styczna do jej toru w punkcie, w którym cząstka właśnie się znajduje. Jak w idąc / rysunku 4.10a oznacza to. ze wokloi t jest prostopadły do promienia w punkcie, w którym znajduje się cząstka. Kąt (j_y utworzony przez 0 z pionem, w punkcie p jest więc równy kątowi utworzonemu przez promień r z osią v.

Składowe wektora r pokazano na rysunku 4.19b. Korzystając z nich. możemy zapisać prędkość u jako:

f» - i\i ł* u_vj = (—usin0)i + (vcosfl)j.    (4.34)

cj

Rys 4.19. Cząstka /> porusza się jednostajnie po okręgu w kiemnku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara: a) jej jniłożcnic i prędkość i* w pewnej chwili: b) prędkość f- | jej składowe: c) przyspieszenie (i cząstki i jego składowe

72    4. Ruch w dwóch i trzech wymiarach

•jkąta prostokątnego na rysunku 4.19a witlać. żc sin - y,,/i\ a cos# = r, co daje:

(4.35)

Ąby wyznaczyć przyspieszenie ii cząstki />. należy /różniczkować lo równanie względem czasu. Wartości prędkości v oraz promienia r nic zależą od czasu. Otrzymujemy więc:

dn / v dv»\ - , /v d.v„\ -

"⁼ d7 “(.ToT) ^,+ U dT )^y

(4.36)

Zauważ teraz, żc szybkość zmiany y,,. tly^/d/. jest równa składowej prędkości iy Analogicznie. d.v_r/d/ = u, . Z rysunku 4.1% widać, żc t\ — -r sin#. a r_v — ucosfl. Podstawiając ic związki do równania (4.36). otrzymujemy:

(4.37)

Ten wektor oraz jego składowe pokazano na rysunku 4.19c. W zgodzie / i ów nanicm (3.6) otrzymujemy, że długość wektora a jesi równa:

r

u _V\,J ł-a~ = — _N leostf)- + (sintM* = y.

c7Cgo należało dowieść Kierunek wektora Ti jcsi wy/nac/.ony pr/c/ kąt 0 / rysunku 4.1%:    .    .

a_v -U*-/r)sind

lg0 — =

Tak więc </> = % co o/nacza. że wektor u jest skierowany wzdłuż promienia / z rysunku 4.l9a. w kierunku środka okręgu, co także należało wykazać.

/sprawdzian 6: Ciało porusza się w poziomej płaszczyźnie .v v po lorze kołowym, ośrodku w początku układu współrzędnych, a jego prędkość ma stałą wartość (idy ciało znajduje się w punkcie o współrzędnej x •—1 m. jego prędkość jest równa —< i ni/sjj. _; l!c wynosi: a) piędkość. h) przyspieszenie ciała, gdy znajduje się ono w punkcie o współ- _; rzędnej y = 2 m*.‘

t*“    (694 m/s)¹

r

(5800 m)

Jeśli nieostrożny pilot w ferworze walki skieruje samolot w lot po tak ostrym łuku. io struci przytomność niemal natychmiast, bez żadnych objawmy, mogących go przed lym ostrzec.

Przykład 4.9

Piloci myśliwców zawsze obawiali się zbyt ostrych zakrętów. (idy pilot ma przyspieszenie dośrodkowe, a jego głowa jest zwrócona w kierunku środka krzywizny łuku. ciśnienie krwi w mózgu maleje. co prowadzi do osłabienia funkcji lego organu.

Istnieją różne objawy, na pod sławie których pilot może stwierdzić, że zwrot jest zbyt gwałtowny Gdy przyspieszenie do środkowe wynosi tul 2 fi do 3,ę. pilot odczuwa ociężałość. Pizy wartości około 4g pilot traci zdolność rozróżniania barw- (widzi obrazy czarno-biało) i zmniejsza się jego kąt widzenia (..widzenie tunelowe"). Gdy takie przyspieszenie utrzymuje się lub jeszcze wzrasia. pitol przestaje cokolwiek widzieć « wkrótce potem traci przytomność.

Ile wynosi przyspieszenie, w jednostkach y. pilota in>4o\v.i !*-22 pokonującego z prędkością o wartości c "• 2>t)0 km.b (óó-l ui/si kołowy luk u plamieniu krzywizny i - 5.8 km'

ROZWIĄZANIE:

O-nr Choć lot odbywa się /. prędkością o stałej wartości, to na lorze kołowym występuje przyspieszenie dośrodkowe o wari ości danej równaniem (4.32). czyli:

=; 83 m/s’ = 8.5.ę. (odpowiedź)

Ti

4.7. Roch jednostajny po okręgu