36159 Strona7

i$/^l+4v

^a+/^ł£*^J

J_ '    .*

2

= />(] + -^rj jj ^ (a'² + y²) <?x dy = y n/>R(.R² -i

J₀ ~P

■■*«+/*<**

*!+,!!$*■

■^xl + y¹ + -jt (*² + >’²) ^{Jx d}>' =

/<³).

Zadanie 1.8. Obliczyć:    ‘

a)    potencjał powierzchni bocznej walca .X¹ 4-y² = 7?², 0Ązśh, o stałej gęstości g = 1, w punkcie /I = 4(0, 0, 0) o masie jednostkowej;

b)    składowe wzdłuż osi Ox, Oy, Oz siły przyciągania wywieranej przez tę powierzchnię na punkt A.

Rozwiązanie

a) W celu wyliczenia szukanego potencjału zastosujemy wzór (1.17). W naszym zadaniu p = 1, r = ]/jt³ 4- y² + z². Zatem potencjał w punkcie A(0, 0, 0) określony jest całką postaci następującej:

(D    U(0.0.0)= CC- /-i-jr, , ’• '

J J V a + y² 4- -z² i

s    ' •

Aby wyliczyć całkę (1), powierzchnię 5 określamy równaniami parametrycznymi postaci:

(2)    x = R cos <fi y = R sin <p, z = z, .•

gdzie:

(3)

(Kp<2ii

0«z$//.

Wiadomym sposobem (por. zadanie 1.5, (14)) wyliczamy, że: (4)    dS — R d<p dz.

Uwzględniając (2) i (3) w (1), otrzymujemy:

A 2«

^u<°’°-⁰⁾ = \\j7F₊,²

‘ ^RdędZ = 2nR [in (z -1-    =

o o

li + /R* +1? R

= 2nR In-

b) Składosvc siły przyciągania zgodnie z wzorami (1.18) są następujące:

(5)	-V = \ \ . ---—-	- //.?■
	3 3 Y (A-^2 + ż’^2 s	+ a^2)^3
(6)	v — i* r y
	4-' H l£, V J	+ ą^2)^3

Uwzględniając w każdej z nich-(2), (3) i (4), po scalkowaniu otrzymujemy, że:

>»

V _ \ f \    ^C0S P ,

.Uj/(*^ł -i- -²)^J V

O o

\

(7)

7. =

1 (*² - y² + -²)³

dS.

<k = 0.

dz ='0.

= 2nR

7. =

£ z

/

V («² 4- -’²)^:

o o

dtp

dz =

(- -__¹__—) j * - 2rR

\    1 R¹ : -² / i O

1

K /ś² + li^ł

ZADANIA 1)0 RO/WI \Z ANI A

1. Obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną $ ( F(x, v, .) ilS, gdzie: 5 jest częścią

s"

płaszczyzny P leżącą w pierwszej ósemce’układu współrzędnych, jeżeli:

a) F[x, )\ -) = 2.v !- --.v '    P = 6.v ~ 4y -f 3; = 12;

t>) f(M, y, z) = -_{2x    2v'    , P = x

2. Obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną (v^; -f r)J.S, gdzie: S jest

częścią powierzchni 2r — ,v² -f _v² odciętą płaszczyzną z = 1.

.3. Obliczyć całki powierzchniowe niezorientowane:

® a) $ $ (vm^,j } ^:z* ’• ,\^::²) </S, gdzie: ć>’ jest częścią powierzchni stożka : ■■ ■

— )' ,v- i ^; wyciętą przez walec .v² -- l ² = 2v;

b) [ ( .v ilS, gdzie: S jest powierzchnią o równaniu z ) I — v²— y²;

‘>JJ (.tr ; y:    r.vl tlS, gdzie S: jest częścią powierzchni r | v² -f v^J wyciętą

x

walcem a--’ —    — 2«.v;

V*³!- r ps    ,

V-    _v- -

u) \ \ ~—;—-—;—, gdzie: S jest powieizcliiuą boczną walca ,v* -i y² — P',

0 ęzss/i;

99 _;