39

74

’

4.3. Sposób najmniejszych kwadratów

Trzy linie pozycyjne z jednoczesnych obserwacji różnych ciał niebieskich mogą stanowić układ oznaczony równań:

cos A| Aq> 4 sin Aj Ał - Ahj ■ 0

cos A₂ A<p + sin A₂ AJ - Ab2 = 0    (4.5)

cos A₃ A<p + sin A₃ AJ - Ah₃ « 0

gdy dają jedno rozwiązanie, a więc jeden punkt wspólny, ale wówczas uznanie rozwiązania za pozycję statku nie jest potwierdzeniem, że nie występują błędy w poszczególnych liniach. W realnych warunkach takie rozwiązanie nie może oznaczać niezawodnej pozycji statku. Każdej wartości Ah przypisuje się dwa lub trzy składniki: średnią wartość wysokości obserwowanej, błąd przypadkowy w przedziale ±m i błąd systematyczny o. Układ równań (4^) staje się więc układem nicrozwiązalnym. Można wszakże znajdować punkt wspólny takiego układu równań, kierując się założeniami rachunku prawdopodobieństwa i ograniczając się na początek do założenia, że poszczególne linie pozycyjne obciążone są jednakowym błędem przypadkowym. Wówczas, według znanej zasady Lcgandre'a, przyjmujemy, że zmienne niezależne określa się tak. aby sumy kwadratów odchyleń poszczególnych linii pozycyjnych były najmniejsze. W równaniach (4.5) z ich prawej strony występują więc zawsze wartości odchyleń v_Jt v₂, v₃, a rozwiązanie, o jakim w-spomniano na początku podrozdziału, jest tylko kwestią przypadku, w którym punkt wspólny spełnił założenia Legandre’a. Obliczona pozycja jest pozycją prawdopodobną. Ogólne obliczenie, uwzględniające wartości Vj, v₂, v₃, w równaniach (4.5), wymaga przekształcenia układu równań. Gdy i = 1Ą3.», uproszczona postać zapisu jest następująca:

A<p + bj Al - Cj = Vj

Pomijając chwilowo indeksy w przytoczonym równaniu, podnosimy to równanie do kwadratu:

a² dtp² + lab A<p Al + b² AJ² - 2ac A<p - 2bc Al + c² * V²

i obliczamy pochodne względem A<p i Al, przyrównując z osobna do zera:

(4.6)

a² A<p + ab Al - ac ~ 0 ab A<p + b² Al - bc = 0

Zastępując współczynniki sumami spełniamy warunek    = min

najmniejszych kwadratów dla układu równań:

Z"”^{2 A}.*^=A'

Z«>sA, sin A, = ^a,b, = B, £Ah,cosA, ^a.c.sC, £sin^: A, = X^b>³ = ®2

£Ah, sir A, = £b,c, =C₃

Równania (4.6) otrzyma się w postaci:

(4.8)

A)A* + B| A1-C,*0 B| A(p ♦ B2 Al * Cj ** 0

Gdy równania poszczególnych alp nic są tej samej dokładności, a więc różnią się wartością błędu średniego, wówczas każdej linii