48317 skan0004 (11)

18

47.    ™(n/3+0»<^5, -^(-V3+i),-“(\/3+i), ~iV$, (y/fł O

48.    ^(1+ <), ^(-1 +i), -^(1 + i), 3(l-<)

49. 2i = -1 + iy/3, 2₂ =-1 - iy/3 51. z\ = 2 + i, Z2 = 2 — i 53. z\ = —3 + i, zz = —3 — i

⁵⁵- *i = |(1 - 0. z₂ = |(1 + 3t)

57. z\ — 1 + i, z₂ — 1 - 2i 59. Z\ = 1 —ś, Z2 = —2 + 3i

61. z\ = 1 ^ 2«, 22 = 2 — 4i

63.    21 = 2, 22 =f_f$jl - *“n/3, 23 = -1 + ń/3

64.    2i = 0, 22 = 2 — 3», 23 = 1 + i

66.    Z\ = 1, 2₂ = -1, 23 = 2®, 24 = —2i

67.    21 = —1 + i, 22 = -lilii, 23 = 1 + i,

50. z\ = 6i, 22 = —6i 52. Z\ — 1 + 3i, 22 ⁼ 1 — 3i 54. 21 = 5 + 3i, 22 = 5    3i

56. z\ — 3 + 2i, 22 == 1 + i 58. 21M*2 — i, 22 = 1 + i 60. 21 = —2 + i, 22 = 1 — 2i

6₂.„=-i--;v3, ^=4+^

65. 21 == 1, 22 = i, 23 = —i 24 = 1 — i

Wsk. z⁴ + 4 = (z² + 2z + 2)(z² -22 + 2)

68.    21 = i(l + iy/Ś), 22 = ^(1 - is/3), 23 = ^(-1 + i\/3), 2₄ = --(f + i\J3)

69.    2i = 22 = 1, 23 = 2, 24 = -1 + i, 25 = -I-i

70.    21 = -^-(\/3+0r *2 = ^(-1+®V3), 23 = -^(■N/3+Oł ^2:4 —

71.21 = 2t, 22^-2*, 23 = |(V5- 0» *4 = *, «sK-ł(V5 + *)-

72.    2! = i(l+ń/3), 22 = -1, 23ę;i(l-ń/3),24 =^1+0,25 = tt-1+0

ze = -^(1 + O, *7 = ^(iijO    1 M

73.    22 =f,,—*> 23 = 2 + i, 24M2 — i    74. 22 = 23 = 2i, 24 = 25 = -2i

75. C=16, 22 = \Z2>23=*\/2, 24 = — l+i,25 = — \/2,2a = — 1 —    1 —i

76.    (a) nie, (b) tak, (c) nie, (d) nie

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

Wykazać, że funkcja y jest rozwiązaniem danego równania różniczkowego: 1. y sb tgrc, y' - y² = 1    2.y = Ce~^2x, y' +    = 0

3.    y = Ci sin 2rc + Cą cos 2z, y" + 4^ = 0

4.    y = Cie²* + Cac”* + z, y" -y' -2y = -2x -1

r^x _a

5. j/ = x / e ' dt, Jo

i    O _«r‘

xy —y = x e

Znaleźć równanie różniczkowe, gdy dana jest jego całka ogólna:

6. j/ = a;³ + C 8. y — Cx^A 10. y = ae^bl 10    2 C

^U-V ⁼ C^X+2

7.y = Ce^2x

9. y = Ci sina; + Qt cos a:

U.y = Cix + Cbe*

13. (a? — C)² + (y + 2)² = r⁷

Odpowiedzi

7.2/ = 2y 9* y^w + y = 0

11. y"{ 1 - 3) + X2/' - y — 0 13. (_{2/ +} 2)²[l + (3/^,)²]=r²

6. y' = 3®² 8. xy' = 4y 10. yy" - {y'f = 0

12. yy' = IM + 1

2.1. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci f(x)dx = g{y)dy

0 funkcji niewiadomą) y nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Szukana funkcja y Jest funkcją zmienną) x. Funkcje / i g są ciągłe w odpowiednich przedziałach.