46 47 (18)

46

MW*

V3 = «^2

Układy równań liniowych

= rz

1

-1

= 2

b) Łatwo sprawdzić, ze wyznacznik danej macierzy jest rówr.y 0 dla każdego p To oznacza, że rząd tej macierzy nic jest nigdy równy 3. Zbadajmy teraz jeden z minorów stopnia 2, np minor

I 2 2 I “ ~ 0-

Z postaci tego wyznacznika wynika, że dla p f 1 rząd danej macierzy jest równy 2. Dla p= ] znajdujemy w macierzy inny niezerowy minor stopnia 2. np.

1 1		1	1
2 p - 1		2	0

= -2^0.

Ostatecznie dla każdej wartości p ę R rząd danej macierzy jest równy 2. c) Obliczmy jeden z minorów najwyższego stopnia np minor

1 -p    2    1

1    2 — p 1

1    2    1-p

= P²(4 - P)

.leżeli ten minor jest niezerowy, tzn. jeżeli p 0 i p jć 4, to dana macierz ma rząd 3. Przypadki p = 0 i p = 4 zbadamy osobno. Dla p = 0 marny

1-p 2 1 p 1 2 — p 1 0	— IZ	' 1 2 1 2	1 0 1 0	*2 = ^2*1 *3 = *1	rz	1 □
				*4=0
1 2 1 - p p		1 2	l oj			1

Natomiast dla p = 4 otrzymamy

	1-p	2	1	P'		-3	2	1	4
rz	1	2-p	1	0	— rz	1	-2	1	0
	1	2	1 -	P P.		1	2	-3	4 .

	-3	2 1 4
= rz	1	-2 1 0
	4	0-4 0

• Przykład 5.6

Zbadać liniową niezależność podanych wektorów we wskazanych przestrzeniach liniowych analizując rzędy macierzy ich współrzędnych w odpowiednich bazach:

a)    (2,1,3,5),(1,4, —1,2),(3,3,1,1) w przestrzeni J2⁴;

b)    (1,-1.2,1,1,1),(2,2,1,1-1,,3),(5.-1,7,4,2,6) w przestrzeni R^e;

c)    «³+2ar — l,3zr²-fa: + l,2r³ + 3r²+5a:-l,r³+3x²+3x w przestrzeni iZ₃[x];

4 1 2 1

0 2

1 -l

3 1 -3 0

w przestrzeni Mix2-

47

u/j - 2u.~

Ł/3 — J

		0	-7	5	1
rz		1	4	-1	2
		0	-9	4	-5

= 3,

Piąty tydzień - przykłady

Rozwiązanie

Skorzystamy z twierdzenia mówiącego, że układ fc ^ 1 wektorów należących do pewnej przestrzeni liniowej jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz współrzędnych tych wektorów w ustalonej bazie tej przestrzeni ma rząd równy k

a) W bazie standardowej przestrzeni R^Ą mamy

f 2 l 3 5 rz i 4 -1 2 L 3 3    11

więc rozważane wektory są liniowo niezależne,

b) W bazie standardowej przestrzeni R⁶ mamy

	[1-12 1 111			1 -1		2 111
rz	2 2 11-13 5 -1 7 4 2 6.	WJ - 2(V] - rz m-3 - Sw|		0	4	-3-1-31
				0	4	-3 -1 -3 1

co oznacza liniową zależność danych wektorów,

c) W bazie {r³,x²,r,l J przestrzeni    mamy

0 NJ 1			1 0	2 -1
0 3 1 1	t»3 — 2u>| - rz		0 3	1 I
2 3 5 -1	*4 - W,		0 3	1 1
[l 3 3 0 J			0 3	1 1 .

więc rozważane wektory są liniowo zależne

d) W bazie

przestrzeni M? *2 mamy

(■4 12    1

rz 0 2    1-1

l 3 1 -3    0

	4	1	2	1
rz	4	3	3	0
	3	1	-3	0

co świadczy o liniowej niezależności badanych wektorów.

• Przykład 5.7

Wektory u, r, w, r. z przestrzeni liniowej V są liniowo niezależne. Zbadać przy pomocy rzędów odpowiednich macierzy liniową niezależność podanych wektorów:

a)    u 4- n 4. 2w — x, 2u — v +    4- 3x, 4 u + v + 510 -f z;

b)    i2 — 2n, v — 3 tZ\ te + 6z, u — 4z

Rozwiązanie

Wektory i, v, tb, z tworzą bazę przestrzeni liniowej lin {ii, i, u» z) C V. Aby stwierdzić liniową niezależność badanych wektorów wystarczy przekonać się, czy rząd macierzy ich współrzędnych w bazie 5, v, w ł jest równy ich ilości