60157 PC043382

twaca Ul

») Ctag ML> jM NMfCf, jeM każdy jego kolejny wyra? Im . ^przedniego.

tj Oh^il} _ jest malejący, jeżeli każdy jego kolejny wyraz- -poprzedniego.

I Ciąć |«,ł jest stały, jeżeli m^Mkie jego wyrazy są równe ¹ Ciąg u.',. -■ jest nicmaiejacy jeżeli każdy jego kolejny wyraz <esr ■ szy od poprzedniego

"W

Ciąg («„J_{r v} jest nierosnący, jeżeli każdy jego kolejny wyraz jest nie *

W teorii ciągów istnieje również pojęcie monotnni c z n ości od om miejsca:

Oefinigs 1.61

ą) Ciąg ^ jest rosnący od pewnego miejsca. gdy 3 V u jm b i Ciąg»u    ^ jest malejący od pewnego miejsca, gdy 3 V ś ^ <

e) Ciąg jest stały od pewnego miejsca, gdy 3    V

W zależności od postaci ciągu («„) ^ jego monotoniczność możemy bada. na dwa- sposoby:

1.    Badając znak różnicy    Jeśli ta różnica dla każdego ne SP jest: f

*    dodatnia, to ciąg (#„)_. jest rosnący,

*    ujemna, to (a_n) jest malejący,

' równa 0, to badany ciąg jest stały.

2.    Przy założeniu, że {a„)_nar jest ciągiem o wyrazach dodatnich - porównują iloraz do 1. Jeśli wartość ilorazu dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich jest:

*    większa od 1, to ciąg jest rosnący,

*    mniejsza od I. to ciąg jest malejący,

*    równa 1, to ciąg jest stały.

Przykład 1.66

Badanie monótonićzności ciągu, którego wyraz a_n    rozpoczniemy od

wyznaczenia wyrazu n +■ 1, czy li:

_s 2(/r+I} 2n + 2 3 ~ n+4

Następnie badamy różnicą kolejnych dowolnych Jwótft wytwi*wliR<Wip> ch|*K

In+ 2 2ir (2/t t-2)(rt ^.Ty-2*(>. tj    ń

Zauważmy, że licznik uzyskanego wyrażenia jest jbnmm dndMnfc (nwrabtffthr od n« R)' j. Mianownik jako iloczyn czynników dodatnich również ynn Melbą dodatnią, a zatem wartość całego ułamka jest większa od zera. Otrzymaliśmy nierówność a_n,, - <i„ > 0 »a„., ><*„ na podstawie której możemy <twiewlKi. że ciąg    jest rosnący.

Przykład 1.67

Dla ciągu określonego wzorem b„ * możemy wykorzystać drugi tpnwMi określania monotonicznofci. Wyrazy ciągu (h„) są dodatnie, a zatem po wyznaczeniu:

znajdujemy iloraz dwóch kolejnych wyrazów;

t'T t*_s 2

foąpiĄf    « >1

Zauważmy, że dla /t > 2otrzymany iloraz jest mniejszy od jedności, Osntw cza r>v że ciąg (b^,rt)„«_r jest malejący, począwszy od drugiego wyrazu, czyli jem mafejąey od pewnego miejsca;

1.5.3. Ciąg arytmetyczny i geometryczny

W teorii ciągów istotną.roięodgrywajądwa typy ciągów, które posiadają szczególne właściwości, mianowicie: dąg arytmetyczny i eiąggeometryczny.

Definicja 1.62. Ciąg liczbowy (a„) ^ nazywamy arytmetycznym wtedy t tytko wtedy, gdy jest co najmniej trzywyrazowy i każdy jego wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego staiej liczby >*,. zwanej różnicą ciągu.

Definicję 1.62 możemy zapisać symhoticznie w następujący sposób;

rgęsn^/P

Ciąg jest aty tmetyczny «* 3 V u,