69333 str178 (3)

178 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A 1 JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA

Stosując do każdego równania układu (6) obustronnie przekształcenie odwrotne Łapiące^ i wykorzystując jego liniowość, otrzymujemy odpowiednio

S

(7)

Z tablicy przekształceń Laplace’a odczytujemy

^{(8)    Ll}(ś=l)"^ ^lL i{ś^IT4)^=isin2t'

Podstawiając związki (8) do układu (7), otrzymujemy szukane rozwiązanie układu (1)

y = •j(e' + 2cos2f + sin2r), z = y(2e'—2cos2t—sin2t).

Zadanie 5.11. Rozwiązać układ równań

₍₁₎    y'+,-z-e

z' + 3y—2z = 2e‘

przy warunkach początkowych

(2)    y(0) = l, z(0) = 1-.

Rozwiązanie. Stosujemy do obu równań układu (1) przekształcenie Laplace’a, wykorzystując wzór (1.6) otrzymujemy

₍₃₎    L(y')+L(y)—L(z) = L(e‘),

L(z')+3L(y)-2L(z) = 2 L(e').

Stosując wzór (1.8), mamy

L(y) = SL(y) — y( + 0),

⁽⁴⁾    L(z') = SL(z)-z(+0).

Z tablicy przekształceń odczytujemy

(5)

L (e¹) =    —

S — 1

Uwzględniając w układzie (4) warunki początkowe (2), mamy ₍₆₎    L(y') = SL(y)—l,

L(z') = SL (z) — 1.

Podstawiając wzory (6) i (5) do układu ^3), otrzymujemy po przekształceniach

S-1

(S + l)L(y)-L(z) = -i- + l,

3L(y) + (S-2)L(z) =

S-l

+ 1.

(7)