85252 Str035 (2)

M 2. Ciału ikotoont i rc$/iv kwadrnlowt*

Następnie musimy zająć się nieparzystymi dzielnikami pierwszymi liczby a. Niech q będzie takim nieparzystym dzielnikiem pierwszym. Ostrzeżenie: Do końca tego podrozdziału q będzie oznaczać nieparzystą liczbę pierwszą różną od />, a nie potęgę liczby p jak w poprzednim podrozdziale.

Ponieważ o liczbie a możemy założyć, że jest mniejsza od p (na podstawie twierdzenia 2.2.3(a)), czynniki pierwsze q liczby a są mniejsze od p. Następne twierdzenie, mające podstawowe znaczenie - prawo wzajemności dla

reszt kwadratowych - mówi nam, jaki jest związek między    . Ten

drugi symbol Lcgcndrc’a będzie łatwiej obliczyć, gdyż od razu możemy zastąpić liczbę p jej resztą z dzielenia przez q i będziemy mieli do obliczenia

symbol Legendre‘a dla mniejszych liczb. Prawo wzajemności mówi, że

przypadku te symbole są liczbami przeciwnymi. Można to wyrazić za pomocą wzoru, korzystając z tego, że liczba (p — l)(q — l)/4 jest parzysta, z wyjątkiem przypadku, gdy obie liczby pierwsze przystają do 3 modulo 4.

Twierdzenie 2.2.5 (prawo wzajemności dla reszt kwadratowych). Niech piq będą dwiema nieparzystymi liczbami pierwszymi. Wtedy

_ l^tp— D(«— l)/4-

— 1 w przeciwnym

w przeciwnym przypadku.

Dowód, istnieje co najmniej kilkadziesiąt opublikowanych dowodów prawa wzajemności. Podamy tu szczególnie prosty dowód, korzystający z ciał skończonych i przypominający dowód poprzedniego twierdzenia. Niech / będzie wykładnikiem potęgi p takiej, że p^f = 1 (mod q). Możemy na przykład wziąć /= q — 1. Wtedy, jak to widzieliśmy na początku tego podrozdziału (twierdzenie 2.2.1), dało F_p/ zawiera pierwiastek pierwotny stopnia q z jedności, który oznaczymy przez Ę. (Przypomnijmy jeszcze raz, że q oznacza tu inną liczbę

pierwszą, a nie p^f). Definiujemy „sumę Gaussa” G wzorem G = Y (—)&.

JmkM

Udowodnimy, że G² = (— 1)⁽«^_1W²«. Jednak przed udowodnieniem tego wzoru pokażemy, jak wykorzystać go do dowodu naszego twierdzenia. Dowód jest bardzo podobny do dowodu twierdzenia 2.2.4. Najpierw (korzystając z lematu, który za chwilę udowodnimy) otrzymujemy

Korzystamy tu z twierdzenia 2.2.2, w którym podstawiamy q w miejsce a (pamiętajmy o tym, że mamy do czynienia z ciałem F,, charakterystyki /?, a więc kongruencje modulo p stają się równościami). Z drugiej strony definicja G, równość (a + b)^p = a^p + b^f w ciele i oczywista obserwacja, że

na podstawie punktów (b) i (c) twierdzenia 2.2.3. Wyciągamy przed znak

sumy i dokonujemy zamiany wskaźnika sumowania j’ = pj, by ostatecznie

otrzymać G^p = G. Teraz porównujemy dwa wzory na G^f. Po podzieleniu

przez G (co jest możliwe, gdyż G¹ - ±q, a więc nie jest zerem w F^) otrzymujemy prawo wzajemności dla reszt kwadratowych. Zatem pozostaje udowodnić następujący lemat.

Lemat G² = (-l)^(,~¹)/2ę.

Dowód. Korzystamy z definicji G, przy czym w jednym czynniku G zastępujemy wskaźnik sumowania j wskaźnikiem -k (oraz zauważamy, że możemy

rozpocząć sumowanie od 1, a nie od zera, gdyż

Zastosowaliśmy tu twierdzenie 2.2.3(d), by zastąpić przez (-l)^{(ł 1)/2}

oraz dla każdego j zmieniliśmy wskaźnik wewnętrznego sumowania z k na kj (gdyż dla każdego j wskaźnik kj przebiega, podobnie jak /, wszystkie reszty modulo q, a składniki sumy zależą tylko od reszty modulo q). Następnie korzystamy z twierdzenia 2.2.3(c), by zmienić kolejność sumowania i wyciągnąć

(—j przed znak wewnętrznej sumy (ze względu na j). Podwójna suma przy-

W

bierze wtedy postać ]    ]    ~^k). Oba wskaźniki sumowania zmieniają się od 1 do q - 1, ale możemy dołączyć składniki dla y = 0, gdyż dodaje to do