obraz8 5

^m<p*cóś³ & + &²si«² 9 yj(a* cos² «9 + b² sin⁴ 9)—(a² cos* 3 + b² sin² 3—c²) w²! - i

2 > ......

* _c o²cos² <9 + b* sin² 3

A więc    _2jt

?*    c?3    2 Tl

/4 =2ab I —j-₅-=-5— =2a6 • —- =4tt.

J a² cos² 3+ b² sin² 3    ab

o

246. Obliczyć masę powierzchni kuli o promieniu JR, której gęstość powierzchniowa w każdym punkcie równa się odległości tego punktu od ustalonej średnicy kuli.

Rozwiązanie. Przyjmując środek kuli w początku układu oraz ustaloną średnicę na osi Oz mamy

S:    x²+y² + z²=*R²

oraz funkcję gęstości

f(x,y, z)«V(x~0)ⁱ+(y~0)^a+(z~z)²=Vx²+y².

Równania parametryczne powierzchni kuli można napisać w postaci: S:    x=Rsin (p cos 3, y =jRsin ę?sin3, z=Rcosę>,

gdzie

Stąd

czyli'

A:    0<    ,    0<3<2tc.

y/EG—F²=R² sin g>,    >Jx²+y²=xRsm<p_t

2* n

n_e= !S\/x²+y²dS= JJ jRsin <p• jR²sin <pd<pd&~R³ J £ J sin² <pd<p~\d&=*n²R². .

o o

247. Dana jest powierzchnia stożka

S:    z^z(x, y)——~ y/x²+y²    (/t >0,    R>0) dla D:    x²+y²<R²,

r

na której rozłożona jest jednorodnie masa o gęstości p. Znaleźć współrzędne środka ciężkości powierzchni S oraz momenty bezwładności powierzchni S względem osi Oz i względem wierzchołka stożka.

Rozwiązanie. Wyprowadzimy najpierw potrzebne w zadaniu wzory. Otóż niech dana będzie powierzchnia S: z—f(x,y), (x,y)eD (zakładamy, że funkcja f(x,y) jest ciągła w obszarze JD), na której rozłożona jest w sposób ciągły masa o gęstości/₁(x, y, z), będącej funkcją punktu P(x, y, z) e S (rys. 66).

Chcąc znaleźć momenty statyczne powierzchni S względem płaszczyzn układu dzie-|bniy powierzchnię S na n części S_tt i** 1,2,..., n i w każdej części S_t wybieramy dowolny