PC043350

i,i. ,lwⁱrt^||l fh thftin

AM.

Włdi (tiul hffl/ie iktt&otiiMti ciągiem ile/faiwyrfi. Ukodcfttttą _St(« £„ I tf»- gzttfc k e At, mtywtttoy ł lą Mimi| c/yMową thfgu (g.i fłW (At > nazywamy ciągiem sum tłf4chmyeh lub Inaczej _ llWhntrtN f ttZnączaniy ptret Jj* u« lub

a*t

JAKU ciąg (ąiJM zbieżny do liczby t, to łnówlmy, te sterta (j*» lc«t szeregiem zbieżnym, a lie/hę .♦ nazywamy śttiruf szeregu i nfartttn Sm ^s k-

Jeżeli ^ialiića ciągu (śg) ilie Islrtleje lub Jest równa ±<*\ to szene (Hi MżywMiy szeiegieiu rozbieżnym.

Prttkhtłl .Uf.

IjppiMj wybranych szetegdw.

M Śnij ?'■ KWi#siii|i|Ł^; tt ZttaOych wzorów dla su lny wyriurów ciągu geoinetryi/mr’ bilWb śpigWużii;; te SUHty ćżęSeiwWe są równe

Mamy $jif8 &v(|| - i i rozważany szereg jest oczywiście zbieżny, iii ^„(-1 j^H. Sumy częściowe mają posiać

1 dla k łiiepatzystych, 0 dla k parzystych.

ciąg tu) tue mu granicy, rozważany szereg jest więc rozbieżny.

Zauważmy że ⁼ r ~ pt- Stąd łatwo już wyznaczyć sumy częśdow SżettJgU

tMilea tego ciągu jest rówua 1, gdy k -+ t»-. Jest to więc suma rozważanej) sżetspi kłuty oczywiście jest tym samym zbieżny.

I? »»al g®tn^;

ftMfeftUŻfeNitS Mi;

ipiii szefuj (3i6) jest zbieżny, to lito ^ = 0.

/ twmtir**** ¹ i t    fś Hm l₍ |Ś9ttttiMMfg£j|»fMtoflMMiy

(*«>fcW J-io-

jt (WtOnłfl^¹ fltłffrffffrtft Wyfllfcił, Ił *ZWfl J Ł •**(;) 4R ntm$$M

podamy lern/ pr/ykliid fWftdtM|ffy o (yfli₍ tł Ifflptóitll /. IWtlNtRMlf 111 _)fl odwrócić, t/n. iM zbieżność <ki rett ciągli, * toórtgo ałwnrziwy tffff*. nic wy«ł«rt/H do (ego, nby »/#r*g był /Mężny,

1’r/iMitil

WitłMMi, li szereg harmonlc/ny, )jj", j, JfSi ro/błażny, W łym c«l» dWkfBji i,i$£ jego suni e/^iMowych. Mamy

!<M*

2

4

R

+ 2

Podciąg (St") rli||,'.u silni e/yśdowych dq>,y tlo nloskortc/onofcil, co uznaćzn,)«rozważany szereg Jest rozbieżny,

TWIERDZENIE 3,12, (KRYTERIUM EOMÓWNAWl /I /lUKŻNOŚil M/l łłłUiÓW)

Załóżmy, M dln każdego n e N Jest spełniony warunek 0 < a„ < />„. Wówczm;

a) Jeżeli szereg    , h„ Jest zbieżny, to szereg , «„ Jest zbieżny.

b) Jeżeli szereg    , u,, Jest rozbieżny, to szereg I™, b„ Jest rozbieżny.

Przykład 3.20.

aj Zbadamy zbieżność szeregu    Zauważmy, że dla każdego n « N mamy

0 < ^ *; a szereg £„ Jest zbieżny (p, przykład 3.17,), wiem badany szereg jest zbieżny,

b) Szereg    Jest rozbieżny, Istotnie, dla każdego n mamy > jj, nilomlial

szereg harmonleziiy SULi J Jest rozbieżny,

Twierdzenie 3.13. (Kryteriom dWi.emhkrta)

Załóżmy, że wyrazy szeregu £„ a„ są różne od zera oraz istnieje granica

q a

Wtedy:

a)    jeśli ftgąp szereg jest zbieżny,

b)    jeśli q § |i to szereg jest rozbieżny.

Tli