s48 49

X

48

41.    (x - 4)⁴ + ll(x - 4)³ + 37(x - 4)² + 21(x - 4) - 56

42.    (x + 2)³ - 9(x + 2)² + 25(x + 2) - 24

4    8

43. 7y — 1    2x4- 2\^x    3!^,T ^ ł" (n-l)!

X

4-

ni

n\

44. y = x - X² + ±X³ - ^x⁴ + • • - + £4§x^{n 1} + ^e

X

45. f (x) = 1 - x² +

(16c⁴~48c'ⁱ + 12)e~^c”    4

4!

46. /(x) = x - ^x³ 4- ^_xq:_cTpX⁴, arctgO, 3 = 0,291 ± 0,003

47. cos 9° **0,9877 49. fó = 1,3956

48. sin 18° = 0,3090 50. e"* = 0,9048

1.2.8. Monotoniczność, ekstrema i punkty przegięcia funkcji

1. Zbadać monotoniczność funkcji y — arctgx — 2 ln(l + x²).

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór IR. Obliczmy

V =

4x

1 + x² 1 4- x

1 — 4x

1 4- x²

Badamy znak pochodnej:

oraz

y < 0 dla x > i.

Wynika z tego, że funkcja y jest rosnąca dla x < 4, oraz malejąca dla x >

Wyznaczyć ekstrema funkcji

X

2. y —

x + 1

3. y — -x^ó — arctg2x

O

2. Dziedziną funkcji jest zbiór D = (—00, -1)U( — l,oo). Obliczmy pochodną

y

e^x(x -f 1) — e^x

xe

X

(^x +1)

2

(x -I- l)²

, x € D.

Widzimy, że y' = 0 jedynie dla x = 0, a więc funkcja y może osiągać ekstremum jedynie dla x = 0.

Skorzystamy z warunku wystarczającego istnienia ekstremum: Jeżeli y'(x0) = 0, oraz

(i)    y'(x) < 0 dla x G (xo — ó,x0) i y'(x) > 0 dla x G (x*₀,x₀ + S) lub

(ii)    y'(x*) > 0 dla x G (xo — 6, £0) i 2/(z) < 0 dla x G (.To, x*₀ + J), to funkcja y ma ekstremum.

W przypadku (i) funkcja y ma minimum w punkcie Xo, natomiast w przypadku (ii) ma ona maksimum w punkcie xq.

Zbadajmy znaki pochodnej. Łatwo zauważyć, że

y'(x) > 0 dla x > 0, oraz y\x) < 0 dla x G (—00,0) \ { — 1}-

*

Z warunku dostatecznego istnienia ekstremum wynika, że funkcja y ma minimum w punkcie x — 0, oraz y_mi„(0) = 1.

J. Dziedziną funkcji jest zbiór D — \R. Obliczmy pochodną

y

1 + 4x²

4 ₉    2

3³'^T ~ 1 + 4a:²

2(8a;⁴ + 2x² - 1)

1 + 4x²

=    4x-

x G D.

Szukamy miejsc zerowych pochodnej, rozwiązując równanie

Sx⁴ + 2x~ — 1 = 0.

Iherwiastkami tego równania są wartości: x\ = — X2 =

Należy teraz zbadać warunek dostateczny istnienia ekstremum. Można oczywiście skorzystać z warunku dostatecznego podanego w rozwiązaniu zadania 2. My skorzystamy z drugiego warunku dostatecznego istnienia ekstremum:

Jeżeli funkcja y ma w pewnym otoczeniu punktu Xq drugą pochodną, która jest ciągła w punkcie xq_: a ponadto

y'(xo) = 0 oraz y"(x₀) / 0,

to funkcja 7/ ma w punkcie x*o

r.<l.v j/"(x₀) > 0.

maksimum, gdy y”(xo) < 0, natomiast minimum,