s52 53

27. y — x

arctg2.x

29. y — \Zx^ — 1 31. y — (x — 1) Vx‘-

33. y — xV 1 — x

9

28. y = x^J‘

30. y — 2x —

32. y =

34. y = sin x -f \/3 cos x, .x G [0, 2tt]

35. y = sin³ x cos x, x G [0,7r]

36. y = |x|(x — 2)

2

37. 2,

— la: — 1

38. Dla jakiej wartości parametru A;, funkcja f(x) = A: sin x -f | sin(3x) ma ekstremum w punkcie x =

Znaleźć największe i najmniejsze wartości zadanych funkcji:

39. y — x³ — 3x na przedziale [0, 2]

40.    y = x³ — 9x² + 24x — 10 na przedziale [0,3]

41.    y — 2 sin x + cos 2x na przedziale [0, f ]

42.    y — arctg x² na całym zbiorze liczb rzeczywistych

43.    y — x — 2 ln x na przedziale [1, e]

44. y =

ln x

x

na przedziale [1,e*]

45.    Liczbę 36 rozłożyć na sumę takich dwóch składników, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

46.    Liczbę 36 rozłożyć na takie dwa czynniki, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

47.    W dany kwadrat o boku 10 cm wpisano prostokąt w ten sposób, że każdy wierzchołek prostokąta leży na jednym boku kwadratu i dwa boki prostokąta są równoległe do przekątnej kwadratu. Jakie powinny być boki prostokąta, aby jego pole było największe ?

48.    W koło o promieniu r wpisano trójkąt równoramienny. Wyznaczyć największe pole tego trójkąta.

49.    Jaka powinna być wysokość stożka wpisanego w kulę o promieniu R, aby jego powierzchnia boczna była największa ?

50. Lrzez jaki punkt P(x₎ y)

2 2

elipsy -J- +    = 1 trzeba poprowadzić styczną

do niej, aby pole trójkąta utworzonego przez tę styczną i osie współrzędnych było najmniejsze ?

Wyznaczyć punkty przegięcia następujących funkcji:

52. y = 3x⁵ — 5x⁴ + 4

51. y — x^ó — Sx² — 9x 4- 5

53. y — x³(x — 4)

54. y —

x

x — 1

55. y =

x

1

{x - 1)

57. y = 8y/x +

X

2

56 .y = -(_e*-e-^x) 58. y = arctg x — x

59. y — x — sin x

60. y = xe ^x

61. y — x^Ae ^x

62. y = (1 -f x²)e^J’

63. y — x---3 ln x

x

65. y = x²(2 — Ina;)

67. y — 3 4~ e

— X

•)

69. y — x -f Vx^

¹ 2

71. y — -x — ^ ^J 2 10

x

64. y = ln(x² 4- 4) + x - ln 2

66. y = e^x cos x 68. 2/ = x*\/x — 4

9    5

⁷°* ^V= 40^X"^~⁴^

72. y = _e™^ctz^x

73. Dla jakich wartości parametru a krzywa o równaniu

f(x) = 3x⁴ 4- 2ax³ — 6ax² 4- ax 4-1

jest wypukła dla każdego x G (—oo, oo).

Odpowiedzi

1.    Funkcja malejąca w przedziale (1, oo), oraz rosnąca w ( — oo, 1)

2.    Funkcja malejąca w ( — 1,1), oraz rosnąca w przedziałach (—oo, — 1), (1, oo)

3.    Funkcja malejąca w przedziałach (—oo, — 1), (1, oo), oraz rosnąca w ( — 1,1)

4.    Funkcja malejąca w przedziałach (-00,-2), (-|,1), (1 , oo), funkcja rosnąca w przedziałach (-2,-1), (—1, — |)

5.    Funkcja malejąca w przedziałach (—y/2, —1), (1, y/2), dla x € (—1,1) funkcja rosnąca

6.    Dla x G ( —\/2,0) funkcja malejąca, dla x G (0, y/2) funkcja rosnąca

7.    Dla b > 0, funkcja nwnąca w przedziale (—00,00), dla b < 0, funkcja iimk\|ą< n w przedziale (—00,00)