27. y — x
arctg2.x
29. y — \Zx^ — 1 31. y — (x — 1) Vx‘-
33. y — xV 1 — x
9
28. y = xJ‘
30. y — 2x —
32. y =
34. y = sin x -f \/3 cos x, .x G [0, 2tt]
35. y = sin3 x cos x, x G [0,7r]
36. y = |x|(x — 2)
2
37. 2,
— la: — 1
38. Dla jakiej wartości parametru A;, funkcja f(x) = A: sin x -f | sin(3x) ma ekstremum w punkcie x =
Znaleźć największe i najmniejsze wartości zadanych funkcji:
39. y — x3 — 3x na przedziale [0, 2]
40. y = x3 — 9x2 + 24x — 10 na przedziale [0,3]
41. y — 2 sin x + cos 2x na przedziale [0, f ]
42. y — arctg x2 na całym zbiorze liczb rzeczywistych
43. y — x — 2 ln x na przedziale [1, e]
44. y =
ln x
x
na przedziale [1,e*]
45. Liczbę 36 rozłożyć na sumę takich dwóch składników, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.
46. Liczbę 36 rozłożyć na takie dwa czynniki, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.
47. W dany kwadrat o boku 10 cm wpisano prostokąt w ten sposób, że każdy wierzchołek prostokąta leży na jednym boku kwadratu i dwa boki prostokąta są równoległe do przekątnej kwadratu. Jakie powinny być boki prostokąta, aby jego pole było największe ?
48. W koło o promieniu r wpisano trójkąt równoramienny. Wyznaczyć największe pole tego trójkąta.
49. Jaka powinna być wysokość stożka wpisanego w kulę o promieniu R, aby jego powierzchnia boczna była największa ?
50. Lrzez jaki punkt P(x) y)
2 2
elipsy -J- + = 1 trzeba poprowadzić styczną
do niej, aby pole trójkąta utworzonego przez tę styczną i osie współrzędnych było najmniejsze ?
Wyznaczyć punkty przegięcia następujących funkcji:
52. y = 3x5 — 5x4 + 4
51. y — xó — Sx2 — 9x 4- 5
53. y — x3(x — 4)
54. y —
x
x — 1
55. y =
x
1
{x - 1)
57. y = 8y/x +
X
2
56 .y = -(e*-e-x) 58. y = arctg x — x
59. y — x — sin x
60. y = xe x
61. y — xAe x
62. y = (1 -f x2)eJ’
63. y — x---3 ln x
x
65. y = x2(2 — Ina;)
67. y — 3 4~ e
— X
•)
69. y — x -f Vx^
1 2
71. y — -x — ^ J 2 10
x
64. y = ln(x2 4- 4) + x - ln 2
66. y = ex cos x 68. 2/ = x*\/x — 4
9 5
72. y = e™ctzx
73. Dla jakich wartości parametru a krzywa o równaniu
f(x) = 3x4 4- 2ax3 — 6ax2 4- ax 4-1
jest wypukła dla każdego x G (—oo, oo).
Odpowiedzi
1. Funkcja malejąca w przedziale (1, oo), oraz rosnąca w ( — oo, 1)
2. Funkcja malejąca w ( — 1,1), oraz rosnąca w przedziałach (—oo, — 1), (1, oo)
3. Funkcja malejąca w przedziałach (—oo, — 1), (1, oo), oraz rosnąca w ( — 1,1)
4. Funkcja malejąca w przedziałach (-00,-2), (-|,1), (1 , oo), funkcja rosnąca w przedziałach (-2,-1), (—1, — |)
5. Funkcja malejąca w przedziałach (—y/2, —1), (1, y/2), dla x € (—1,1) funkcja rosnąca
6. Dla x G ( —\/2,0) funkcja malejąca, dla x G (0, y/2) funkcja rosnąca
7. Dla b > 0, funkcja nwnąca w przedziale (—00,00), dla b < 0, funkcja iimk\|ą< n w przedziale (—00,00)