222 (16)

Cy =crjMP”^,M⁷ =agP"*M^r = cr~ P”’^ -PA(A⁷>A)-^! A⁷' J ~ <Tq [ P ~¹ - A(A⁷ PA)”¹A ⁷ ]

Zatem estymator macierzy kowariancji wektora V ma postać (przy oznaczeniu <j_{j = ,_}!(j )

Ćy ~ wq [P~¹ -A(A⁷ PA)^-1 A⁷ ]    (5.1.26)

W celu ustalenia postaci macierzy kowariancji C- wyrównanych wyników pomiaru x = x"^HfV, zapiszemy:

x = _x^oh + V =

= x'^,b + ML = x"^A + M(x° - x"⁷') = = x"^/,-Mx"^,'+Mx° = (I„-M)x"*+Mx⁰ = Px^/<fr+Mx°

gdzie

D~ I„ -M = A(A^rPA)"'A^rP

(przypomnijmy oznaczenie: x°-F(X°), stąd L => F(X⁰)-x^ob = x° ~x^o!l). Składnik Mx⁰ nie jest losowy, zatem

^CX = ^I)Ct^ D ^T - erg A(A ^rPA)“' A ⁷>p-' PA(APA)“' A ^T

(5.1.27)

(5.1.28)

(5.1.29)

.....» '

CSq A( A ^PA)“¹ A ⁷

następnie

t-_x = mg A(A⁷ PA)~^l A⁷ Macierz C* ma następującą strukturę:

cov(x_{,x₂) COV’(.Vj ,) cov(x₂.x{) ra^    cov(x₂,x_n)

cw'(i„,A|) coi'(.t_n,m: skąd wynika, że błąd średni /-tej, wyrównanej obserwacji ma postać

A(A' PA)^-1 A⁷]

W nawiązaniu do ustalonego wcześniej wyrażenia (5.1.23), określającego błędy średnie funkcji wyrównanych parametrów, uzyskany tutaj rezultat nie jest zaskakujący. Zauważmy bowiem, że /-tej obserwacji odpowiada i-ta funkcja układu obserwacyjnego (5.1.2), a tym samym i-ty wiersz macierzy A. Poszukując błędu średniego /-tej wyrównanej obserwacji, należy zapisać

-v, =^(»)=^(X_ltX₂.....X_r)

skąd

r _"af,(X)    dP,-(X)    ^(X)~]_₃

'    [ ai, ai_; ai_r

gdzie a ., jest i-tym wierszem macierzy A zapisanej w postaci wierszowej (zobacz rozdz. 1.1)

A =

Istotnie, i-ty przekątniowy element macierzy A(A^/PA)“¹A^/ jest określony wyrażeniem a,-«(A⁷ PA)"^laj^,._f co umożliwia zapisanie wzoru (5.1.29) w następującej postaci:

m

(A^rPA)'^,,F_i =

(5.1.30)

W praktyce wzór (5.1.30) może być zastąpiony formułą (rozwiązanie oznaczone)

m.T, =m₀^7.(A^rPA)“ⁱaj; =    (5.1.31)

przy czym R⁷F_K(i) = aj. ->F_W).

Wyrażenie (5.1.28) ustalające macierz kowariancji wyrównanych obserwacji można uzyskać także i w inny sposób. Otóż z rełacji x = F(X) <=> x = F(X) wynika, że

----- = D    -i = A, jeśli tylko X° nie jest zbyt odlegle od X

dx    3X i_X:=x0

223