224 (54)

METODY NUMERYCZNE... 10/224

METODY NUMERYCZNE... 10/224

RYS. 10.8

Z każdym punktem .r, = ih, i = I,..., m. wiążemy funkcję <p,(x) określoną dla x g [0, /] postaci (zob. rys. J0.8)

?«<*) = <?

Funkcje p,-, /' = 1, są liniowo niezależne i należą do Ul (0, /). Przestrzeń

m

V„ cz definiujemy biorąc jako jej bazę funkcje <?_h tzn.

V_m = lin W;-,

Dowolną funkcję v e V_m można przedstawić w postaci

n

^ai£^R

1-1

Zauważmy, że f (x_t) = a_is czyli v jest uogólnionym wielomianem interpolacyjnym funkcji, która w punktach x, przyjmuje wartości a_t. Tak skonstruowana przestrzeń. oznaczona dalej przez Ii — l',(m +1). jest przestrzenią funkcji, które są przedziałami liniowe i zerujące się dla a: = 0 i x = /, tzn.

V_k = {v:v e C [0,1], t\_u g Pfa), i = 0.m, v (x) = 0 dla x = 0, /}

gdzie jPjfcf) jest zbiorem wielomianów liniowych zmiennej * określonych na odcinku c, = [y,, x_t |,]. Odcinki c, będziemy nazywać elementami.

Zadanie przybliżone dla (10.95) w metodzie Galerkina z przestrzenią V_b ma następującą postać:

wyznaczyć taką funkcję i/_h g V_b, że

a (Ufr v) «=/(#), ce V_h    (10.96)

gdzie oczywiście a (u, v) i l(v) mają tę samą postać co i w zadaniu (10.95).

Zadanie (10.96) ma jednoznaczne rozwiązanie i jest stabilne co wynika z lematów 10.6 i 10.7. Bowiem przyjęte założenia o danych funkcjach zadania wyjściowego zapewniają //j-eliptyczność i ciągłość formy a (u, v) oraz ograniczoność funkcjonału l (y). ż^-cliptyczność a (u. v) wynika z lematu 10.8 (przypadek

____