248 (54)

METODY NUMERYCZNE...

początkowego. Wyznaczenie £" dla tt = 1,N wymaga rozwiązania X układów równań algebraicznych z macierzami 2C+T.4 ((u+0.5) z). Do tego celu należy wykorzystywać specjalne metody uwzględniające informację o macierzach. Dla niektórych wariantów MES znamy obecnie szy bkie algorytmy, bliskie opty malnym.

0    niektórych z nich będziemy mówić w następnym podrozdziale.

Dodajmy, że istnieje inna możliwość taniego rozwiązywania układów algebraicznych powstałych w MES dla zadań parabolicznych (por. p. 10.2.8). Otóż już same zadania przybliżone w MES określamy w takiej postaci aby prowadziły do względnie prostych układów. Tc metody przyjęto nazywać metodami Galerkina naprzemiennych kierunków (XDG). Są one podobne do metod różnicowych typu AD1, o których mówiliśmy w p. 10.2.8. Metod ADG tutaj nic omawiamy. odsyłamy Czytelników do pozycji [25] i [30].

Zwróćmy jeszcze uwagę na to. żc stosowanie schematów otwartych dla zadania (10.112) jest nieopłacalne. W metodach różnicowych zadanie algebraiczne w schemacie otwartym jest bardzo proste, macierze tych układów' są diagonalne. W MES natomiast macierze są niediagonalne, a schemat nadal pozostaje warunkowo stabilny.

Na koniec podamy kilka uwag. Wyżej przedstawiliśmy konstrukcje metod Galerkina ciągłej i dyskretnej względem t. Metody MFS otrzymujemy biorąc za V„ konkretne przestrzenie elementu skończonego. Błąd tych metod jest sumą błędów metody różnicowej (w schemacie Cranka-Nicolsona mamy 0 (r²))

1    MES (względem a). Dla zadań parabolicznych z operatorem eliptycznym drugiego rzędu błąd ten ma następujące oszacowanie:

max ||l/*—u"||j'i₍₀₎ ^ M if+h*'')

gdzie u" i L" są rozwiązaniami dokładnym i przybliżonym, D(t*) zaś jest błędem aproksymacji pochodnej względem /. Wielkość O (/i^{Ł +}') jest błędem aproksymacji przestrzeni czy ('zob. punkty 10.3.3 i 10.3.4):

<<*»*♦* Wl* ■

Nierówności te są prawdziwe przy odpowiednich założeniach o regularności rozwiązania u.

Zapewne już wcześniej nasunęło się Czytelnikom pytatne czy można stosować MES względem t dla zadania (10.112)? Tak. ale w zasadzie jako metody konstrukcji schematu różnicowego i to w’ zmodyfikowanej postaci. Wynika to stąd, że dła zagadnień parabolicznych nie znamy pełnych zasad wariacyjnych takich jak dla zadań brzegowych. Bezpośrednie stosowanie MES rozpatrywanych dla zadań brzegowych powoduje odejście od podstawowej zasady zadania początkowego: rozwiązanie zagadnienia początkowego w ustalonej clwili zależy tylko od rozwiązania w chwilach poprzednich (zob. np. książkę [49]).

Ograniczyliśmy się tutaj do zagadnień parabolicznych. Podobnie konstruuje s:ę MES dla zagadnień hiperbolicznych pierwszego i drugiego rzędu (zc względu na pochodną po t). Zastosowanie metody Galerkina ciągłej w'zgłędcra t