228 (13)

(przypomnijmy:    = (A⁷ C~^ljf> A) ¹ = cro(A^; PA) ¹). Zatem także

/, -Tr(BC- ) = Tr(A^rC;!;, A(A⁷C"L A)j = Tr(I_r) = r

oraz

A, — [£(b)I⁷ B £(t|) = 0^r B 0 = 0

Wykazaliśmy więc, że jeśli £ ~ N„(0; C }, to ą - N,.[0; C^j, czyli

i\^TA^rC~J_lhA ~ z}^_r    (5.1.35)

dla r| = X - X (przypomnijmy X/.*,o ^s x) )-2) Rozważmy rozkład formy kwadratowej V C _i)b V. Ponieważ V = MV = -Mc oraz £~ N„[0;C to interesująca nas tutaj forma kwadratowa estymatora V, podobnie jak wcześniej forma kwadratowa estymatora X, ma rozkład y²- Odnotujemy to jako

V⁷C~‘ V = V⁷ M^r C"¹, MV = V^rBV = Jut - y“ .

x"    s"    *

(f_? = Tr(BC^„/,), Ao ~[£(z)]^; B£(&)). Macierz B = IV1⁷C“^M spełnia konieczny dla rozkładu y² warunek BC „i, B = B. Sprawdźmy, że rzeczywiście tak jest:

BC^,,/, B - M ^TC~j_r/j M C    M ⁷ C~!_fc M = M ^rcr_Q² PM <r^P~¹M ⁷a₀²PM =

= cr^M ^yl^łMP"¹iVl^rPM = cTq²M⁷ PP"^!M '^/-PiVI =

= o-jj² M^rM^?'PM = <7q²M⁷PM = M ⁷C~^M = B

M^r

Ustalając liczbę stopni swobody f, oraz wartość parametrów ŹL,, zapiszemy h =Tr(BC_xrt) = Tr(M^J-C-J_łMC_i-,)=Tr(M^rffj2pM<rJP-¹ =

oT X?

= Tr(_tM^rPMP"') = Tr(MPP'') = Tr(M) = n-r

MI*

X₂ =[/r(£)l^rB£(c) = 0⁷’B0 = 0

*    7    2

Po zastosowaniu uproszczonej notacji X^H//> ostatecznie mamy

(5.1.36)

v⁷'c;iv

3) Jeśli formy kwadratowe

/,=r

n^ciAn

y⁷c~^l V ~ y²

ŹM-n-r

są wzajemnie niezależne, to stosunek

-- ą⁷ A'C J\

W-1

A i]

— V⁷ C”¹. V

h *^>b

ma rozkład F-Snedecora (F/,,/-,)- Dwie formy kwadratowe tego samego wektora losowego o macierzy kowariancji C są wzajemnie niezależno, jeśli macierze Bj, B, tych form spełniają warunek B,CB₇ = 0 (zob. rozdz. 2.4). Sprawdzając spełnienie tego warunku w odniesieniu do interesujących

nas tutaj form ą⁷ A⁷ CT^A q oraz V⁷ €"'_(;V, należy przede wszystkim

sprowadzić je do wspólnego wektora losowego.

Wcześniej wykazaliśmy, że d_x = d_Y +(A⁷ PA)"¹ A⁷ Pr. Ponieważ X = X° +d_v oraz X = X° + d _v , więc

ii = x-x = x⁰+d_Y -x°-d_Y =d_Y ~d_x =

= d_x + (A⁷ PA)^-1 A⁷ Pe - d _y = (A⁷'PA)“'A^rp£

Korzystając z tego interesującego rozpoznania, formę kwadratową V A^rC~!,,A i] błędu T\ estymatora X zastąpimy formą kwadratową błędów pomiaru e. Zatem

V'A^rC

¹ \r₁ = aó²£⁷'PA(A⁷>A)-^,A⁷'l^>A(A^TPA)'-^,A^rP£ =

= C7Q²£^rPA(A⁷ PA)^_i APe = e⁷ PAfA^C^A)^-1 A^rPe =

229