(przypomnijmy: = (A7 C~ljf> A) 1 = cro(A; PA) 1). Zatem także
/, -Tr(BC- ) = Tr(ArC;!;, A(A7C"L A)j = Tr(Ir) = r
oraz
A, — [£(b)I7 B £(t|) = 0r B 0 = 0
Wykazaliśmy więc, że jeśli £ ~ N„(0; C }, to ą - N,.[0; C^j, czyli
i\TArC~JlhA ~ z}^r (5.1.35)
dla r| = X - X (przypomnijmy X/.*,o s x) )-2) Rozważmy rozkład formy kwadratowej V C i)b V. Ponieważ V = MV = -Mc oraz £~ N„[0;C to interesująca nas tutaj forma kwadratowa estymatora V, podobnie jak wcześniej forma kwadratowa estymatora X, ma rozkład y2- Odnotujemy to jako
V7C~‘ V = V7 Mr C"1, MV = VrBV = Jut - y“ .
x" s" *
(f? = Tr(BC^„/,), Ao ~[£(z)]; B£(&)). Macierz B = IV17C“^M spełnia konieczny dla rozkładu y2 warunek BC „i, B = B. Sprawdźmy, że rzeczywiście tak jest:
BC^,,/, B - M TC~jr/j M C M 7 C~!fc M = M rcrQ2 PM <r^P~1M 7a02PM =
= cr^M ylłMP"1iVlrPM = cTq2M7 PP"!M '/-PiVI =
= o-jj2 MrM?'PM = <7q2M7PM = M 7C~^M = B
Mr
Ustalając liczbę stopni swobody f, oraz wartość parametrów ŹL,, zapiszemy h =Tr(BCxrt) = Tr(MJ-C-JłMCi-,)=Tr(Mrffj2pM<rJP-1 =
= Tr(tMrPMP"') = Tr(MPP'') = Tr(M) = n-r
MI*
X2 =[/r(£)lrB£(c) = 07’B0 = 0
* 7 2
Po zastosowaniu uproszczonej notacji XH//> ostatecznie mamy
(5.1.36)
3) Jeśli formy kwadratowe
/,=r
y7c~l V ~ y2
ŹM-n-r
są wzajemnie niezależne, to stosunek
-- ą7 A'C J\
W-1
A i]
— V7 C”1. V
h *>b
ma rozkład F-Snedecora (F/,,/-,)- Dwie formy kwadratowe tego samego wektora losowego o macierzy kowariancji C są wzajemnie niezależno, jeśli macierze Bj, B, tych form spełniają warunek B,CB7 = 0 (zob. rozdz. 2.4). Sprawdzając spełnienie tego warunku w odniesieniu do interesujących
nas tutaj form ą7 A7 CT^A q oraz V7 €"'(;V, należy przede wszystkim
sprowadzić je do wspólnego wektora losowego.
Wcześniej wykazaliśmy, że dx = dY +(A7 PA)"1 A7 Pr. Ponieważ X = X° +dv oraz X = X° + d v , więc
= dx + (A7 PA)-1 A7 Pe - d y = (A7'PA)“'Arp£
Korzystając z tego interesującego rozpoznania, formę kwadratową V ArC~!,,A i] błędu T\ estymatora X zastąpimy formą kwadratową błędów pomiaru e. Zatem
V'ArC
1 \r1 = aó2£7'PA(A7>A)-,A7'l>A(ATPA)'-,ArP£ =
= C7Q2£rPA(A7 PA)_i APe = e7 PAfA^C^A)-1 ArPe =
229