231 (44)

METODA ri r.MLMU skończonego

na ogól jest nieciągła i to niezależnie od wyboru punktu £>y ’na e,. Więc przy k = 0 nic daje się skonstruować przestrzeni elementu skończonego F]j^0,(K<⁰⁾ f. C [0, /]) dla rozpatrywanego zagadnienia.

(b)    k = 1. W tym przypadku V^^v> jest równa przestrzeni V_h skonstruowanej dia zadania (10.95). Węzłami na e, są punkty Q[⁰ = x_; = ih i QV = *,+, = - (/ 1)/?. parametrami zaś węzłowymi funkcji de V£^l) są jej wartości w tych punktach, v(Qj^l>)> j = 1*2. Parametry te jednoznacznie wyznaczają wielomian liniowy na e_r Ponieważ wielomiany określone na sąsiednich elementach przyjmują tę samą w^rartość we w-spólnym węźle (rozdzielającym te elementy), to funkcja ,i składająca sic z tych wielomianów jest ciągła. Kładąc c(0) = t(/) = otrzymujemy przestrzeń V*^li spełniającą wymagania zawarte w definicji Vf' przy k = 1. Funkcje bazowe tej przestrzeni są podane na rys. 10.8.

(c)    k = 2. Przestrzeń F‘²⁾ z definicji ma być przestrzenią funkcji, które odcinkami są wielomianami drugiego stopnia (parabolami), czyli ve V*²⁾ marnieć na Cf postać

p|,,(x) = a₀^i>x² + ai^,x+a^t2⁾

Tym razem za węzły' Q'p przyjmujemy 3 punkty:

Q\" = ih * QS> = (i-f 0.5) h ,    Qf = (i +1) h i zadajemy w nich wartości funkcji r: v (Q?j'), j = 1, 2, 3 (parametry węzłowe). W ten sposób określone węzły i parametry węzłowe jednoznacznie wyznaczają wielomian drugiego stopnia oraz gwarantują ciągłość funkcji v w [0,/]. Mamy więc dobrze określoną przestrzeń V*²*, którą można wykorzystać do rozwiązywania zadania (10.95).

Wyznaczymy funkcje bazowe przestrzeni FJ²⁾. Przestrzeń ta jest Lagraa-gc’owska i dlatego każdemu węzłowi odpowiada jedna funkcja bazowa. Funkcja związana z. QⁱJ^,) ma spełniać warunek

Mamy tutaj dwa rodzaje funkcji bazowych, funkcje <p^<l) odpowiadające j = 2 * <p'P dla j = 1 (Q[ⁿ = (?₃^(ł-1>) (zob. rys. 10.10). Możemy więc rozpiąć V*^2> na funk egach

wybranym podziale iż = [0, /] na elementy ej punkty x_t = ih muszą być punktami

k

j—i

i A

RYS. 10.10