249 (45)

to.i/249

HftTODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO

prowadzi do zagadnienia początkowego d!a układów' równań różniczkowych zwyczajnych. Z kolei te zagadnienia rozwiązujemy na ogół także metodami przybliżonymi.

10.4

10.4.1

Metody rozwiązywania wielkich układów liniowych równań algebraicznych

Wstęp

W tym punkcie będziemy zajmować się metodami rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych otrzymanych w' metodzie różnicowej i metodzie elementu skończonego. Macierze tych układów mają następujące specyficzne własności:

(1)    wymiar tych macierzy jest bardzo duży; przy parametrze h (charakteryzuje on siatkę lub podział na elementy) dążącym do zera, wymiar macierzy dąży do nieskończoności,

(2)    są to macierze rozrzedzone i wstęgowe¹, przy czym liczba niezerowych elementów w każdym wierszu nie zależy od wymiaru macierzy',

(3)    układy o tych macierzach są źle uwarunkowane, przy h dążącym do zera, wskaźniki uwarunkowania (cond (A) = U A |U^-1||) dążą do nieskończoności.

Przykładem takim jest układ równań odpowiadający aproksymacji różnicowej zagadnienia Dirichleta dla równania Poissona rozpatrywanego w kwadracie (0, l)x(0, 1) (zob. p. 10.2.1). Przy kroku siatkowym h = 1/(A'+ 1) macierz A tego układu ma wymiar N¹xN². Ma ona tylko pięć niezerowych diagonali i jest macierzą wstęgową o szerokości wstęgi 2A'+ 1 (przy naturalnym uporządkowaniu niewiadomych). Wskaźnik uwarunkowania tegu układu jest natomiast rzędu A^f2.

Metody rozwiązywania układów, z którymi zapoznaliśmy s^;ę w^r rozdziale 6 nie wykorzystują w pełni tych szczególnych własności układów powstałych ^w metodach siatek i elementu skończonego. Wynika stąd potrzeba rozpatrywania specjalnych metod wykorzystujących dodatkowe informacje o tych układach i właśnie o takich metodach będziemy mówić w tym punkcie. Możemy podzielić je na

(1)    metody skończone (bezpośrednie),

(2)    metody iteracyjne.

Z pierwszej klasy metod omówimy: metodę eliminacji Gaussa („przeganiania”) dla układów' z macierzą trójdiagonalną, metodę wykorzystującą szybkie przekształcenia Fouriera (FFT) oraz metodę z macierzą pojemnościową i tzw. algorytm George'a (nested dissectiori). Z metod itcracyjnych przedstawimy uogólnioną jednopunktową metodę Czybyszcwa.

1

Przez rozrzedzone rozumiemy macierze o niewielkiej liczbie elementów niezerowych, wstęgo-*>yn;i zaś nazywamy macierze A ■■ {«„} takie, że dla |i—]\ > k mamy a_i; = 0; 2k + l oznacza ^erokość wstęgi.