257 (8)

9,6.3. Porównanie wzorów dotyczących liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego

9.6. Schemat Banioalllago

Liczba 5, sukcesów ,_f n próbach Bernoulliego

Wzór

Nawiązanie do bloku i rozdziału

S jest mniejsza niż k:S_n<k

M *)=£(?

__l-o\ ¹

■p q

por. 9.6.2d.

i jest co najwyżej równa k:S_n< k

por. 9.6.2b.

S jest równa k:S_n=k

inilra «-*

por. 9.6.1c.

S jest co najmniej równa k:    k

P(S> k

hH

•p q

por. 9.6.2a.

S_tjest większa niż k:S_n>k    P(S„>*)= 2 (;)

por. 9.6.2c.

Utcaga: Gdziekolwiek w matematyce (i nie tylko) pojawią się zwroty: „co najmniej”, „co najwyżej”, „więcej ■iż’, .mniej niż” - należy zadać sobie pytanie: „to znaczy ile?” oraz odpowiedzieć sobie na to pytanie po to, I*-uświadomić sobie znaczenie tych szczególnych zwrotów.

9.6.4. Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego

Liczba S_Ę sukcesów jest liczbą naturalną z przedziału (0,n), czyli S_m= 0 V S„= 1 V S„= 2 V ... V S_n= n u próbach Bernoulliego. Powstaje zatem problem: która spośród tych n + 1 wartości jest najbardziej praw-dopodobna, czyli taka, dla której P(S_a= A: J jest największe.

Niech N oznacza najbardziej prawdopodobną liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego. Wówczas praw-dńre są następujące twierdzenia:

a) (p=0) =*(AT=0)    c)(p(n+l)eC\{Q,l})=>(lV = p(n+l)AlV = p(w+l)-l)

są dwie wartości liczby N

dis jiil zdarzeniem tkmożlróym

jest liczbą całkowitą różną od 0 i 1

b)(p=l)    1) d)(p(it+ 1) 1 C) i (żV=[p(n+ 1)])

dznjeS zdarzeniem pewnym

nie jest liczbą    część całkowita liczby

całkowitą    | ( n + 11 czyli największa

liczba całkowita nieprzekraczająca danej

Iwga: W literaturze probabilistycznej zamiast n często używa się N na oznaczenie liczby prób w schema-®Bernoulliego. Tb N - oznacza co innego - trzeba więc uważać na symbole.

j*abBemoulli (1654-1705), ^ajjonki matematyk i fizyk,

°Ó»al się badaniem teorii 'fctjów oraz teorią prawdo-W*ieństwa. Równocześnie T®°*al się z powodzeniem jWrieniami nicskończono-a po ogłoszeniu pracy ■^niza o algorytmie różnicz-

(1684) pierwszy należycie oceni! jego waż-się pierwszym po nim badaczem nowego nieskończenie małych. W dziedzinie tej wybitne zasługi.

Jego odkrycia w teorii prawdopodobieństwa w przedstawione są w Sztuce przewidywania (Ars conjectandi). Praca składa się z czterech części. Pierwszą część stanowi dzieło Huygensa, lecz Ber-noulli podaje swe uwagi do prawie wszystkich wypowiedzi Huygensa, czasem nawet bardziej od nich istotne; w trzeciej części rozwiązane są różnorodne zadania z teorii prawdopodobieństwa. Przedstawia w niej przede wszystkim ogólne pojęcia o naturze zdarzeń losowych, a następnie dowodzi twierdzenia stanowiącego podstawę wszystkich następnych badań nad prawidłowościami masowych zjawisk losowych.

9. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA