276 (24)

Ryc. 10.2. .Droga do chaosu". Na osi rzędnych odłożono wszystkie wartości, jakie może przybierać p_t dla danej wartości parametru r.

Jak widać, dla niewielkich wartości r układ przybiera tylko jedną wartość. Odpowiada to sytuacji z tyc. 10.la. Dla pewnej jednak wartości - w miejscu rozgałęzienia wykresu czyli bifurkacji - nagle zaczynają się oscylacje pomiędzy dwoma wartościami. Kiedy dalej zwiększamy wartość r. docieramy do następnej bifurkacji. która podwaja liczbę możliwych wartości p_ą. czyli dla tych r układ oscyluje pomiędzy czterema wartościami p₉. Kolejne hifurkacje, pomiędzy którymi odległość stale się zmniejsza, podwajają liczbę możliwych wartości p_m% aż wreszcie jest ich nieskończenie wiele: układ staje się chaotyczny.

10.1.3. Własności sygnału i atraktora układu chaotycznego

Z powyższych rozważań wynika, że niektóre układy nieliniowe - takie jak model populacji opisany powyżej - wykazują zadziwiającą złożoność, mimo że równania opisujące te układy posiadają prostą postać matematyczną.

Na przykładzie równania logistycznego omówimy teraz niektóre ważne właściwości zachowania się układów chaotycznych.

Przede wszystkim - podkreślmy to jeszcze raz - układ chaotyczny jest układem deterministycznym. Jego zachowanie, choć na pozór zupełnie bezładne, jest ściśle zdeterminowane przez równania rządzące jego zachowaniem. Jednak inaczej niż w przypadku innych układów deterministycznych, właściwość ta me pociąga w przypadku układów chaotycznych przewidywalności. Fakt ten wynika z tak zwanej wrażiiwości układu chaotycznego na warunki początkowe. Jak wspomniano, niewielka zmiana warunków początkowych lub pojawienie się niewielkiego zakłócenia. prowadzi w przypadku układów liniowych do niewielkiej zmiany zachowa-

276