325 2

325

8.1. Podstawy teoretyczne

błędy obcięcia

™    ^ _ten proces z narastaniem odsetek; w każdym kroku dołącza się „odsetki”,

^^r°'jni 54 popełnione błędy. W tym samym czasie powstaje nowy „kapitał błędu” ^centowa” może być jednak ujemna (zob. rys. 8.1.3), co tu jest korzystne’

7 ta się tytko z W każdym kroku wprowadza się małe zaburzenia . _zaokrącIcń - powodujące podobne przejęcia na inne elementy rodziny rozwiązań ^rysuiiku 8.1.4 pokazujemy (w przejaskrawionej postaci) to, co sic zwykle dzieje Można

Stopa

rozkazania cS liczcie

rozwiozorir*

dokładne

Rys. 8.1 4

Jeśli posz.czegółne rozwiązania oddalają się szybko jedno od drugiego, to zagadnienie początkowe jest źle uwarunkowane; w przeciwnym razie jest dobrze uwarunkowane. (Metoda numeryczna, która me jest metodą jednokrokową, może wprowadzać błędy przenoszące się inaczej, niż to wynika z samego równania różniczkowego. To jednak na razie pomijamy i wrócimy do tego tematu w przykładzie 8.3.1 i w §8.5.3)

Należy rozróżnić błędy obcięcia globalne i lokalne. Błędem globalnym w punkcie .t_iH. , jert różnica ><„.. — >'(*„+,). gdzie jO) jest dokładnym rozwiązaniem zagadnienia początkowego. Błędem lokalnym w x„., jest różnica między obliczoną wartością _>•„+ i • wartością ^ ^x«+i tego rozwiązania równania różniczkowego, które przechodzi przez punkt (ar*, y*). niezej mów iąc, błędy lokalne są skokami na krzywej schodkowej z rys. 8.1..4. Błędy obcię-^{Cła £}-°^lne i lokalne rozróżnialiśmy już w całkowaniu numerycznym, które jest oczywiście ^zegółnym przypadkiem rozwiązywania równania różniczkowego (z funkcją/niezależną ^ >')• Błąd głohalny jest tam po prostu sumą błędów lokalnych. Dowiedzieliśmy się — np.

⁴ " ~ ^ S^bałny w»zoru trapezów jest rówmy O(lr). a błąd lokalny jest równy ¹ ) (tych terminów' zresztą lam nie używano). Powodem różnicy w rzędzie wielkości obu

^jest to, źe liczba błędów' lokalnych, które się sumuje, jest odwrotnie proporcjo-

do h.

W r ’

ba • . ^nan,ach różniczkowych zasady przenoszenia się błędów są. jak zobaczyliśmy, Bg^dożotie: jednak i tu w wyrażeniach asymptotycznych dla błędów wykładnik przy $ći\>.^!U ^^e    błędu globalnego o I mniejszy niż dla błędu lokalnego (jest tak dla ukła-

^r<’^v»^rnari rzędu pierwszego).