372 (6)

8. WYRÓWNANIE ODPORNE NA BŁĘDY GRUBE

8.1. Założenia podstawowe

W praktyce geodezyjnej spotykamy niekiedy przypadki, gdy wyniki pomiaru są obarczone dużymi błędami. Takie błędy wynikają, na ogół, ze zwykłych omyłek w odczycie wskazań instrumentów pomiarowych, złej numeracji punktów, przekłamań w procesie transmisji danych i ich wstępnego przetwarzania. Duże błędy pomiaru mogą być także związane z chwilowymi, niespodziewanymi zaburzeniami pomiaru (np. szybką i trudną do ustalenia zmianą parametrów środowiska pomiarowego). Najogólniej, błędy o wskazanym charakterze nazywamy błędami grubymi, a obarczone nimi obserwacje - obserwacjami odstającymi.

Pamiętamy, że w rachunku wyrównawczym, ze względów formalnych, błąd pomiaru jest zastępowany poprawką v - ~e. Załóżmy, że błąd pomiaru, a tym samym i poprawka, ma rozkład normalny lub inny rozkład o podobnie nieograniczonej dziedzinie funkcji gęstości. Wówczas, co prawda z małym prawdopodobieństwem, można się spodziewać także dużych błędów pomiaru i dużych poprawek. Tę niedogodność, wynikającą z bezpośredniego przeniesienia probabilistycznych modeli reprezentowanych funkcjami gęstości do praktyki obliczeń, można wyeliminować przez wprowadzenie przedziału, w którym losowe poprawki mają wysokie, chociaż wyraźnie mniejsze od jedności, prawdopodobieństwo wystąpienia. Przedział taki będziemy nazywali przedziałem dopuszczalnym dla losowych poprawek i oznaczali przez i\v. Zakładając symetrię funkcji gęstości poprawki (błędu pomiaru), granice przedziału ustalimy w postaci

Av~ (~u\ u)

Przyjmiemy również, że prawdopodobieństwo wystąpienia losowej poprawki (błędu pomiaru) z przedziału dopuszczalnego Av. tzn. prawdopodobieństwo

P{ -u < v < a) ~ v

jest na tyle wysokie, że może być uznane za pewność statystyczną, a „ogon” rozkładu prawdopodobieństwa, czyli /■*{(v < -«) v(v > «)} = 1    za wielkość

nieistotną (rys. 8.1).

Granice przedziału dopuszczalnego dla losowych poprawek, a tym samym i dla losowych błędów pomiaru, można wiązać z dokładnością pomiaru i przyjętą wartością prawdopodobieństwa y. W tym celu nałoży jednak przyjąć bardziej szczegółowe założenie o probabilistycznym modelu błędów pomiaru. W podobnych jak tutaj sytuacjach, na ogół przyjmuje się, że błąd pomiaru

^a przedział dopuszczalny ^a    v~;~ k

dla losowych poprawek

Rys. 8.1. Przedział dopuszczalny dla losowych poprawek

jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N[0; crj. Wówczas, wyrażając granicę o w funkcji odchylenia standardowego: a-ko, gdzie k jest na razie dowolnym współczynnikiem dodatnim, można zapisać (zob. rozdz. 2.1.1)

KCJ    .y

P{-a < v < a) = P(~ko <v< ko) = 2 f........-U- exp(—-—-)dv = y

J Od2x    90-^

O

lub, po standaryzacji,

P(-ko < v < ko) ~ Pi-k < v < k) = 2 {" _?Lvexp(-- — )dv ~ 20(k) ~ y

o

Wielkość v - v/o jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym N[0; 1] (standaryzowaną poprawką). Wartości funkcji (pik), jak pamiętamy, są tablicowane (tab. I). Zatem dla przyjętego poziomu prawdopodobieństwa y, korzystając z tej tabeli, można odczytać wartość współczynnika k. Kilka par tych wielkości przedstawiamy poniżej.

y czyli pr:iwdo|X)clobiuńst\vo, z którym i- e (-Ara; ko) lub v 6 (-Ar; Ar)	0.38	0.G8	0.87	0.95	0.988	0.997
i i ^k	0.5	1	1.5	*	2.5	3

I\^ra przykład, z prawdopodobieństwem y- 0.988 można twierdzić, że poprawka należąca do przedziału Av = (-2.5a; 2.5er), lub standaryzowana poprawka należąca do przedziału Av = (-2.5; 2.5), jest poprawką losową. Poprawki spoza przedziału dopuszczalnego będziemy traktowali jako poprawki grube reprezentujące grube błędy pomiaru.

Odnieśmy teraz przedstawioną analizę do wyników wyrównania klasyczną metodą najmniejszych kwadratów. Przyjmijmy, że mierząc z jednakowym

373