38 39 (19)

38

ife5V. ■    . r:    __________i ^ .PrzesUzenic lliiiówę

gdzie P jest macierzą, przejścia z bazy D do bazy D' Wyznaczanie współrzędnych sprowadza się więc do rozwiązania odpowiedniego układu Cramera. W przykładach za bazę B będziemy przyjmować bazę standardową odpowiedniej przestrzeni,

a) Współrzędne [o',oj] wektora v spełniają układ równań

w. ..    . . .    /    12    , n

Wynika stąd, ze a< = —, a₇ =--

41    ²    11

b) Współrzędne [crj orj.oi] wektora v wyznaczymy z zależności

12 0'		•; 1		■ 0 '
1 1 2			=	1
.031.				. 0 .

Po zastosowaniu np metody eliminacji Gaussa otrzymujemy

'12 0	^0		r 1 20	0 1		[12 0	0
1 1 2	1	—^1	0-12	1		0 1 -2	-1
0 3 1	0 J		0 3 1	0 .		.0 0 7	3 .

1 0 0

0 0 1

.    2    ,    1,3

^Wl?^{t Q}: = ^ -    = -y, o₃ = y.

c) Układ równań, który spełniają współrzędne [aJ.aji^j) wektora p rozwiążemy wykorzystując inaderz P~¹. Mamy

"		l	1	0 '	-1	1 '	_ 1	” 1	-1	-1'		■ 1 ^1
a7	=	0	0	-2		1		1	1	1		1	=
/ «3 J		. -1	1	2 .		. 2 .	L	. 0	-1	0.		. 2.

2

1

2

d) Współrzędne [aj, a\_x 03, aj ] wektora A znajdziemy z układu równań

'11 10'		*1		" 0 '
01 11		a2		0
00 12		03		3
0 0 1		. °4 .		_ 0 ,

Po rozwiązaniu tego układu np metodą eliminacji Ganssa

' 1	1	1	0	0 '		' 1 1	1	0	0 '		' 1	0	0	0	1 ’
0	1	]	1	0		0 1	1	1	0		0	1	0	0	-2
0	0	1	2	3		0 0	1	2	3		0	0	1	0	1
. 0	0 -1		11 0 _			0 0	0	3	3 _		.0	0	0	^1	1,
t 1 —	1 .<^12			-2,	«i ^11. =		= 1

Czwarty tydzień - zadania    39

Rozwiązanie

W przestrzeni lin { 61,62, 63,    > przyjmujemy, że

B = { 61,62, £3. £4} , B' = { bi,2b\ -f b₂, bi + 63,26i + 64} .

Szukane współrzędne (crj, <*2,0-3 oj] wektora t wyznaczymy z układu równań

' 1 2 1 2 ' 0 10 0		" <»i •i		1    ■ 2
0 0 10 0 0 0 1 _		L		3 . 4

Rozwiązaniem tego układu jest ar\ = —14, oj = 2. 03 = 3, oj = 4.

Zadania

O Zadanie 4.1

Znaleźć z definicji współrzędne podanych wektorów we wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych:

a) 9 = (1,4) € fi², B= {(1.5),(1,6)};

b)    v = (8,1,7,5) £ fi⁴, D = {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (11.1,0), (1,1_:1.1)};

c)    p = x² - 3x + 3 6 fiofc], B = {x² + 3x - 1, —z² + x + 3,2x² — x — 2} ;

d) A =

3 2 1 3

€ Af? x 2, fi =

4 1

0 0

2 2

1 3

O Zadanie 4.2

Wyznaczyć współrzędne wektora v w podanej bazie B' pewnej przestrzeni liniowej mając dane jego współrzędne w bazie B

a)    [4,-3], 0={i,,fc₂}, 0' = {26,-4₂.6₁ + 26₂};

b)    [1,1,-2], fi = {r,x+l,x² + 1} . B' = {1, 1 -ł- x²,x + z²} ;

^c*) (1,2.. .,n], B = |5i, S_2f..b_r J, & = |5, - 62, ?2 - £3, • • •. 5„_i - S„, J_n J

O Zadanie 4.3

Obliczyć współrzędne wskazanych wektorów w wybranych bazach podanych przestrzeni liniowych:

a)    V = {(x - 5y, x + y, 2r + y_t z + y) : z, y E fi}, p = (-2, 4,7,4);

b)    V= {(x,y,i,t)e A⁴ : x - 2y = y - 2z = 0} , p = (8,4,2,9);

c)    V- {p e fi₃[z) p(l) = p(0)} , q = 2x³ - X² - X + 5;

d)    V = {A = (a,j) E M2x2 : ^an + <122 = 0} , B = J    *

O Zadanie 4.4

Zbadać obliczając odpowiednie wyznaczniki, czy podane zbiory wektorów są bazami podanych przestrzeni liniowych:

1

Przykład 4.8

Znaleźć współrzędne wektora v w bazie |61,261 -f ^2. ^1 + 63,26j -f ^4}, jeżeli

w bazie j 6j_p 62, 63, 1>4 J ma on współrzędne [1,2,3,4]. Wykorzystać macierz przejścia z bazy do bazy.