384 385 (5)

384 Akademia sieci Cisco

Podstawowe konwencje

Słowa dziesięć, jedenaście, dwanaście, trzynaście, dwadzieścia, dwadzieścia jeden i tak dalej dotyczą tylko systemu dziesiętnego. Te nazwy liczb właściwe są tylko dla systemu dziesiętnego. Mówiąc „trzydzieści mamy na myśli „trzy dziesiątki". Jeśli mówimy

0    łańcuchu 23 w' systemie piątkowym, nie powiemy „dwadzieścia trzy w systemie piątkowym”, ale „dwa trzy w systemie piątkowym”. Gdybyśmy powiedzieli „dwadzieścia trzy’* oznaczałoby to „dwie dziesiątki i trzy” - sformułowanie „dwadzieścia trzy” ma sens tylko

1    wyłącznie w systemie dziesiętnym. W systemach innych niż system dziesiętny podajemy nazwy liczb w inny sposób. Inny przykład: liczbę 101 w systemie dwójkowym podajemy jako „jeden zero jeden w systemie dwójkowym” lub po prostu „jeden zero jeden", jeśli z kontekstu jest jasne, że chodzi o system dwójkowy. Powodem takiego podawania liczb w innych systemach liczbowych niż dziesiętny, jest to, by nie sugerować liczby dziesiętnej tam, gdzie mamy do czynienia z liczbą na przykład w systemie dwójkowym.

/wróćmy także uwagę, że „21" w liczbie podanej w tekście jako „3A2 w systemie o podstawie 21" oznacza dokładnie dwadzieścia jeden w systemie dziesiętnym. Ahy to było widać wyraźniej, niektórzy piszą „3A2 w systemie o podstawie dwadzieścia jeden" Kolejny przykład: łańcuch „16" we fragmencie tekstu „liczba o podstawie 16” to po prostu „szesnaście”. Oznacza to. że typ systemu liczbowego jest w założeniu podawany za pomocą liczby dziesiętnej (pamiętamy, że w innymi systemie, łańcuch 16 może oznaczać zupełnie inną liczbę). I na koniec jeszcze jeden przykład: „847 w systemie o podstawie 20” odczytujemy jako „osiem cztery siedem w systemie dwudziestkowym”. Obowiązująca konwencja mówi, że liczbę definiującą bazę podajemy zawsze w systemie dziesiętnym.

Koleiną ważną rzeczą jest znaczenie znaku 0. Znak ten jest używany we wszystkich bazach. Znak 0 występujący po lewej stronie łańcucha znaków zawsze może być usunięty bez zmiany wartości tego łańcucha. Na przykład 02947 w systemie dziesiętnym może być zapisane jako 2947, a 0001001101 w systemie binarnym oznacza to samo, co 1001101. Czasami jednak zera w lewej części łańcucha są pozostawiane, po to żeby zaznaczyć obecność pozycji, które, gdyby usunąć zera, nic byłyby widoczne. Ponieważ 8-bitowy bajt jest często traktowany jako jedna całość, łańcuchy binarne są często uzupełniane zerami, aby miały długość ośmiu znaków'. Na przykład w odniesieniu do adresów podsieci liczba 6 jest prezentowana jako binarna liczba 00000110. W odniesieniu do adresów IP bardzo często można się zetknąć z liczbami binarnymi zaczynającymi się od zer, bowiem w tym przypadku pracujemy z oktetami (czyli łańcuchami długości ośmiu znaków). Na przykład binarna liczba 10000 będzie w takim przypadku przedstawiana jako 00010000.

Potęgi w systemach liczbowych

Stosując różne systemy liczbowe będziemy często korzystali z potęg, zwanych również wykładnikami. Krótkie przypomnienie z lekcji matematyki: potęga liczby służy do obrazowania wielokrotnego mnożenia jej przez sarną siebie. Poniższy przykład ilustruje, jak działa potęgowanie dla liczby 2 - jednak te sarnę zasady stosują się również do wszystkich innych liczb. Po pierwsze: 2''=1, co tłumaczymy jako „dwa do potęgi zerowej równa się jeden” (2 nazywamy tutaj podstawą, a 0 wykładnikiem potęgi). To stwierdzenie „je wynika z żadnej wcześniejszej wiedzy, jest to po prostu element definicji potęgi 2", jćzis jest liczby całkowitą. Następnie 2=2 („dwa do potęgi pierwszej równa się dwa”), godnie z definicją matematyczną. Dalej 2‘=2X2=4: „dwa do potęgi drugiej równa się dwa -azy dwa, równa się cztery”. Kolejna potęga to 2’=2x2x2=8: „dwa do potęgi trzeciej rów-ia się dwa razy dwa razy dwa, równa się osiem”. I tak dalej. W oparciu o ten schemat pojemy wyliczyć dowolną potęgę dwójki. Typowy błąd podczas nauki potęgowania polega na myleniu potęg z mnożeniem. Należy się tego wystrzegać: 2V2x4=8, 2⁴=2X2X2 *2=10.

Korzystanie z zapisu potęgowego jest jedną z często stasowanych konwencji podczas pracy z liczbami binarnymi. Na przykład liczbę obiektów-, które można reprezentować za pomocą bitów- można wyliczyć korzystając z formuły s‘. Jeśli mamy 8 bitów- zarezerwowanych dla opisu lub nazwy obiektu, liczba możliwych kombinacji różnych liczb binarnych, które można przypisać temu obiektowi wynosi 2'=256. Jest to bardzo ważny fakt: mając do dyspozycji osiem bitów lub osiem pozycji w- liczbie binarnej, możemy otrzymać 256 różnych liczb binarnych lub 256 różnych łańcuchów' zer i jedynek.

Do tej pory udało nam się przedstawić większość definicji związanych z systemami liczbowymi i sposobów ich interpretowania. W tym momencie powinniście mieć już wystarczające podstawy, aby móc w miarę sprawnie orientować się w różnych systemach liczbowych.

Liczby binarne

Najpierw dowiecie się, jak zapisywać w- pomocniczych tabelach liczby oparte na określonej bazie. Następnie zostaną omówione dwa w-ażne zagadnienia: konwersja liczby binarnej na liczbę dziesiętną i konwersja liczby dziesiętnej na liczbę binarną. Na koniec omówimy obliczenia w systemie binarnym, co jest użyteczne podczas określania adresów

podsieci.

W systemie dziesiętnym posługujemy się potęgami liczby 10. Na przykład liczba 23605 w systemie dziesiętnym oznacza: 2X10000 + 3X1000 + 6X100 + 0X10 + 5X1. Zauważmy, że 10"=1, 10'=10, 10‘=100, 10*=1000, 10⁴=10000. Ponadto, jeśli nawet 0x10=0, nie pomijamy znaku 0 w łańcuchu 23605, ponieważ prowadziłoby to do otrzymania zupełnie innej liczby: 2365=2X1000 + 3X100 + 6X10 + 5X1. Symbol 0 spełnia tu funkcję wypełniacza. Jeśli z jakiegoś powodu chcielibyście zaznaczyć obecność pozycji setek tysięcy i milionów, musielibyście przedstawić 23605 jako 0023605.

Jak to zostało wyjaśnione wcześniej, chcąc oddać znaczenie danej cyfry w liczbie dziesiętnej, można korzystać z potęg liczby 10 (10'', 10’. I0\ ild.). Żeby oddać jej dokładną wartość lepiej używać już rozwiniętych wartości potęg {!, 10, 100, itd.). Wygodnie jest zapisywać to wszystko w tabelach. Tabela T.l ma trzy rzędy: pierwszy wymienia kolejne potęgi liczby 10, drugi rząd zawiera liczby dziesiętne będące ich rozwinięciem, a w trzecim umieszczona jest informacja, ile razy daną potęgę dziesiątki trzeba pomnożyć (przez liczbę z przedziału od 0 do 9). by otrzymać wartość, którą chcemy.