509 2

509

Rozdział 8

(żob. tablicę 3.1.1). Rozwinięcie Taylora cosinusa zawiera tylko potęgi parzyste ilorazu

11. (a) |l — I (wnętrze koła), (b) |l—(zew ₍ ę trze koła). (c) p=\.

(d) Metoda Eulera jest stabilna, ale nie jest stabilna typu A. Metoda wsteczna Eulera jest stabilna i stabilna typu A.

12.    |l +qh+j((/hy ^l- (qh)^s+    Oś rzeczywista: -2J<qhśO (z zadania 7

z $ 8.3). Oś urojona: niech będzie qk—lw, |h>|<_n/8«2.83. gdyż (1 — j łv² rW⁴)² --i (w— l w³)*ś\o-fjw*+(54 w*)²^0<f— 8+ n>*<0.

13.    0<A<_V'6.

14.    Równanie charakterystyczne I —!/m + 4(I - l/w)^J = ?/», tzn. (2— \}u)² = I +2qh.

0&2qh> — I =>u e [i. I]. pierwiastek pojedynczy w I,

2qh < — I => 1/u = 2 — /<£>=» Jh|<^ •

15.    (a) ftt =4. [>₂ -2. _c=l

(b)    Pierwiastki równania charakterystycznego: ę,^cxp|0.1)-3*10“⁶«l.l_t Ci ^ - 4.7. Metoda nic jest stabilna. Łączny efekt błędów zaokrągleń jest jednak mniejszy od

4- l0~⁶(!{₂|^y^ |£zj* + . . + l)~0.7, Większa część błędów bierze się stąd, że |>'i -£i|* * |exp (0.1)-ę, 5:3 10“*. Jeśli pomija się błędy zaokrągleń, to i „ — (l -a) £" +<j(5. gdzie ^sr-510-⁷. Ci⁶*5.3-10*. li. <7C;°*-c.

16.    Składowa oscylująca redukuje się z |— e ^Vl* «³| do ‘    a⁵|, tj. z 2 10"* do

5- 10^-7. Składowa regularna błędu. - £    rośnie ]e^,xa² razy, tj. z 6-ł0“* do

15-10“*.

17.    (a) qh=a, p(C/*ł)-o«r(ę/a))«0, (/O)-C_}. p'(C/>C<0> — <x(Cy> = 0 Stąd

C/a)=I + alj+O (a²))** £/exp (Ł, ąh) + O (A²)

Rozwiązanie szczególne: i., = (^(a).

<b) Zgodność o p z 1. Z (8.5.12)

y(JO=l, Ya—Oo/il 1)=0.

y (x)=x,    — £ a, ih — h y (i_{=0o — kp {I) *■ p'{ l) — tf{ I) =0.

Stąd p (l)=<7 (I), tzn. .2, -1.

(c)    p (O» C^a -1.    rr(0* 2£, Ci -    - I.    h - - I <0    (słaba stabilność).

(d)    fc(0-C‘ • ••    ®(v) = HC^{2 f4}C    * I).    C?= -1.    (słaba    stabilność)

18.    (a) Ja -l2/ń)arsinh(i _v z/i), b=fiajv.

(b) n= 1: 5.78* + 0 - t2J _ }x=    9.29]    =    9.21

n =4: 9.98x4 /»= 71 f 1,1 --21.71 j'    -21.53.

n = 2 6.70-9.29—21.71 -45- —4.47. n = 3: 8.07-9.29-21.71-54=-0.74

Lepsze wyniki można otrzymać za pomocą aproksymacji średmokwadralowej. zauważmy jednak, że błędy czterech równań nic są niezależne, jeśli pomiar wartości y, jest pierwotnym źródłem błędów.