Bez nazwyy

152

QL    (15.3)

lub w postaci rozwiniętej

^6x6 ^łóxl

EA	0	0	EA
l			1
0	12£7	6 EJ	0
	/^3	l^l
n	6 EJ	AEJ	0
	1^2	l
EA	n	0	EA
l			l
	12 EJ	6 EJ	0
	l>	/^2
0	6 EJ	2 EJ	0
	/^2	1
Występujące we		wzorach (15.3)
układzie lokalnym (x,y).

0	0		^ui	J	[*,1
12 EJ	6 EJ
l^l	l^2		^v.		T,
6EJ	2 EJ				K
/^2	l		<P,
0	0
12£7	6EJ
			vk		^Tk
/^3	l^2
6 EJ	AEJ		A		Mk
/^2	1

(15.4) macierze opisują pracę elementu

15.4. Transformacja układu

Ponieważ obciążenia zewnętrzne i więzy geometryczne są zazwyczaj określone w układzie globalnym oraz wygodnie jest prowadzić analizę pracy całej konstrukcji w jednym wspólnym układzie, należy zależność (15.4) przetransformować do układu globalnego {X, V)

Przypomnijmy związki między współrzędnymi punktu w układzie {X,Y) i obróconym o kąt a układzie (.t.y):

x = .Tcosa-t-Ksina ,    (15.5)

y =-A'sina+ Kcoszr .    (15.6)

Dla skrócenia zapisu wprowadzimy oznaczenia: cosa = c, sino: = s i przedstawimy powyższe dwa wzory w zapisie macierzowym:

x

y

c

-s

(15.7)

Według identycznych wzorów transformują się przemieszczenia liniowe u_u w,. Przemieszczenia kątowe przy obrocie układu nie ulegają transformacji, ponieważ można je interpretować jako wektor prostopadły do płaszczyzny (*,>>), a więc skierowany wzdłuż osi z identycznej w obu układach. Tak więc przemieszczenia r,

i

węzła /-tego w układzie globalnym można przetransformować do układu lokalnego poniższym sposobem:

		c s 0		‘U.’
	=	-s c 0		y,
A.		° o ^1

R'= T' k'q^y =T' k'T'r'. k'T^; = K'

T'¹ = T^r,

R^; = T'^r Q'.

lub krótko

9,= Cr,.    (15.9)

Przemieszczenia węzłów elementu transformują się według zależności:

ą^J =

V		c	0'	^r,
		0	c

lub krótko

q^; =T^J r^J.

Identycznie transformuje się macierz obciążeń elementu

Q^J = T' R^;,

gdzie R' oznacza macierz obciążeń elementu y-tego w układzie globalnym. Transformację odwrotną to jest z układu lokalnego do globalnego, wykonuje się za pomocą macierzy odwrotnej, która jest równa macierzy transponowanej a więc

Po wstawieniu do wzoru (15.14) wzoru (15.3) i uwzględnieniu wzoru (15.11) otrzymujemy:

Po oznaczeniu otrzymujemy związek między obciążeniami i przemieszczeniami w układzie globalnym

R'=K'r'.    (15.17)

Z powyższego wynika, że K¹ jest macierzą sztywności elementu w układzie globalnym. Otrzymaliśmy ją przez przetransformowanie macierzy k^J za pomocą macierzy T^J według zależności (15.16).