CCF20090321052

Rozważmy jakiś przykład: pomiar pewnej długości rzędu kilku metrów za pomocą drewnianej linijki z podziałką milimetrową. Wiadomo, że jeśli milimetry oznaczone są za pomocą dostatecznie cienkich kreseczek, to dokładność pomiaru może sięgać nawet jednej dziesiątej milimetra; jeśli jednak linijkę przykładamy kilka razy (gdyż nie obejmuje ona całej mierzonej długości), to łączny wynik pomiaru może zawierać błąd rzędu kilku dziesiątych milimetra. Prawo błędów pokrywa się z prawem Gaussa-Laplace’a dotyczącym odchyleń przy próbach powtarzanych; jeżeli określimy jednostkę dziesiętną błędu u jako taką wartość bezwzględną błędu, że prawdopodobieństwo jej przekroczenia równa się jednej dziesiątej, to zobaczymy, że prawdopodobieństwo błędu o wartości bezwzględnej przekraczającej 2 u równa się/jednej tysięcznej, a prawdopodobieństwo błęcfu o wartości bezwzględnej przekraczającej 3u równa się jednej milionowej. Błędy dodatnie i 'ujemne są przy tym jednakowo prawdopodobne*

Zastosujmy ten wynik do następującego zadania: dwie wielkości a i b zostały zmierzone i wiadomo, że jednostka dziesiętna błędu wynosi u; jakie jest prawdopodobieństwo błędu w ocenie względnej wielkości a i b? Przypuśćmy, że różnica a—b jest dodatnia i oznaczmy przez, h i k błędy pomiaru, dodatnie czy ujemne; wartości otrzymane w wyniku pomiaru wyniosą więc odpowiednio a + h i b + k. Popełnimy błąd w ocenie względnej wielkości a i b, tj. uznamy, że a jest mniejsze od b, jeżeli otrzymamy

czyli

a H- h < b + k k — h > a — b.

Zastosujemy tu pewne łatwo dające się wyprowadzić twierdzenie, głoszące mianowicie, że jednostka odchylenia (czyli błędu) dla sumy (lub różnicy) takiej jak k — h jest równa u J/2, jeśli dla Ji i Je jednostka ta jest równa u. Otrzymujemy stąd, że jeśli a — b = w |/2, różnica Jc — h musi być dodatnia i przekraczać u |/2 jednostek dziesiętnych; prawdopodobieństwo wynosi więc ; jeżeli a — — b = 2u |/2, prawdopodobieństwo wyniesie W tym ostatnim przypadku mamy więc 1999 szans na 2000, że porównując wielkości a i b drogą niezależnego pomiaru jednej i drugiej otrzymamy wynik zgodny z prawdą. Zakładamy tu, że prawdopodobieństwa błędów dodatnich i ujemnych są jednakowe; założenie to może okazać się w przypadku niektórych obserwatorów nieadekwatne; wtedy jednak należałoby inaczej zdefiniować jednostkę dziesiętną u.

Teoria błędów obserwacji pozwala nam w ten sposób oszacować prawdopodobieństwo błędu przy porównywaniu dwóch wielkości, kiedy, zamiast porównywać je bezpośrednio, mierzymy każdą z tych wielkości niezależnie od pozostałej.

Ten sposób postępowania jest często jedynym możliwym, ponieważ nie zawsze jest rzeczą łatwą rozmieścić dwie wielkości tak, aby móc porównać je bezpośrednio, po drugie zaś, porównywanie bezpośrednie daje często błędne wyniki — nawet wtedy, gdy porównywane wielkości są bliskie siebie — jeśli wielkości te są niejednakowo położone względem obserwatora. Na przykład trudno jest porównać długość linii pionowej z długością linii poziomej — powiedzmy, wysokość jakiejś sali z jej długością lub wysokość i szerokość fasady jakiegoś pięciopiętrowego domu.

(51) próby powtarzane i prawdopodobieństwo statystyczne

Prawdopodobieństwem statystycznym nazywa się niekiedy obserwowaną częstość występowania jakiegoś zjawiska w dużej liczbie kolejnych prób.

109