CCF20090421001 (3)

Punktowe grupy symetrii

Punktowa grupa symetrii - grapa, której elementami są operacje symetrii, a określonym działaniem (®) jest iloczyn tyclł operacji

Dla każdego przedmiotu można wskazać skończoną liczbę elementów symetrii (a dla nich operacji symeirii)

Grupa punktowa stanowi zbiór wszystkich punktowych operacji symetrii jakie można wykonać na danym przedmiocie.

^: Elementy symetrii odpowiadające tym operacjom symetrii przecinają się w jednym punkcie.

Grupy punktowe są grupami skończonego rzędu

Symbol grupy punktowej (której eiememajm są operacje symetrii) powstaje przez podanie składających si$ na nią elementów symetrii

Przypomnienie:

Operacja symetrii (przekształcenie) jest jednostkowym działaniem (transformacją). Operacja symeirii otrot, odbicie, inwersja

Element symetrii to obiekt geometryczny o specy iiczr.j vi. właściwościach - definiuje jakie opeiacjs symeun r.iają być wykonane. Element symetrii, oś czterokrotna, płaszczyzna zwierciadlana, środek symetrii

S A-RjŁfctKtjk

Podstawowe makroskopowe elementy sy metrii (odpowiadają im punktowe przekształcenia symetryczne) redukują się do następujących dziesięciu:

1, 2,3, 4, 6, lim(s2),3,4,6

Istnieją tylko 22 niezależne kombinacje punktowych operacji symetrii, co razem z 10 oryginalnymi operacjami daje

32 GRUPY PUNKTOWE

Wśród operacji symetrii tożsamość pełni roię elementu jednostkowego zbioru (dołączenie tożsamości do dowolnej operacji symeirii nie powoduje żadnych dalszych zmian)

5. A x>wczni-rcrci    ił

OpcTiCJc iymeUil

Ci = iżb*		i r i ^_ 7 ; ‘ ! J ! i * i
2 c = iij-	i^1 2a = 36G^1		I ^! : ^1i i im:
u u B J	tr i= = tm-	3^J ia -5ł-j"	I r~ i • : , ! i |
4 o. “W?	V 2n.= iSl)^1	- 7 „A	j* ^1 | : , : 4a = iSir * i .
ó a = ĆnJ-	2a = litr	a^5 3a = i itr	i ., t i ! o* | o- | | ■iu - 24£r j -ła. - iuU' j w - iii.- ’ •

iKażdej n-krotny ai obrotu odpewudz gr^pa p^nkb'»i i.w,cj 5 ą obroży o 'ńttioioow.ośc kąu» o. Ociyczj to «G.w..c2 us.

!. Gruov punktowe z pojedynczym elementem symetrii X
Symbol grupy 1	=>	elementy grupy (u
?	w	{2; 2^! = i}
3	=>	(3; 3^1; 3^3 = 1}
4		{4,4-=2; 4^3; 4^4=1|
6	=>	{6; 6^2 - 3; ć^3 = 2; 6^4 “ 3^2; 6^S; &^6 = 1 j
i	=>	li : l ( = i^J))
m		lnu 1 ( = m^2)) (3 ;3 _;3^3( = i);3^4-3^3;3“(= 1)}
3
A *J	=5	{4 ;4^ł( = 2);4^3;4’( = l))
ć	=>	{6 ;6^2 ;ó^3( = 3);6^ł ;6~ ;6^6 ( = l)'J
Podane grupy punktowe są grupami cyklicznymi ■wszystkie elementy każdej z ruch można, wyprowadzić z pierwszego
V i r		zbiocze (są 10 ich zbiory tworzące)
		S. .4. i.)04-czy t-Pvri ; 1

Grupa punktowa o symbolu: 6 {6; 6² = 3; 6³= 2, ó* = 3²; 6⁵; ó⁶ = t )

i ci; iz grupa.

>    6-cio ciernemu wa (rząd grupy 6)

>    cykliczna (wszystkie elementy grupy mczoa wyprowadzić z elementu ó\ który sumów zbiór [worzmy 1°)

*■ przemienna (kolejność dzielenia rwe ma luznaczenia),bo. 6^J&ó²-ó²3 6^J= 6³ grupy punktowe cykliczne zamsze są grupami sodowym;

Elementem jednostkowym jesi tożsamość i

Dis kazJego ćlćnicr.Ui grupy możne znaiezc eicnwiH od wiem/ r.p

są dla siebie elementami odwiotnjHu, ponieważ óⁱis ó’= i

Rząd ciernemu. 6‘ wynosi 6 ponieważ (6^; f = i ó² wynosi 3 ponieważ (ó²= i ó^ł wynosi 2 ponieważ (6*)- = i