DSC02446 (2)

$£ Mk z ■■■!»■* wte¹ bfr%tb%-3g*^    .F**^

Sk    r«=>r-r. *= U gdm e€f i w€*\ b) x-=l, y«2* *=-2; c) układ

SSlt Ute f*.‘ f«4S iii ii|H ń jednoznaczne, b) dla c—K~7±>/l57) rozwiązania

i IteKteliteteigitiBfe 'irątnkm^.h i wymienić własności działań na nich. p MtomWfcWć—nróap zbiera hczb zespolonych postaci (x, 0) ze zbiorem liczb rzeczywistych.

1 Mk fwk '^pramtań pustad kartezjaósldej i postaci trygonometrycznej liczb zespolo-

wzrr Mamek, podać dffinirję w-tego pierwiastka z liczby zespolonej i zastoao-PB^SutBL

bnhini zespolonej, podać treść podstawowego twierdzenia algebry Wapno ma w dziedzinie liczb zespolonych n pierwiastków , dc ntenargr przykładu metodę rozkładu funkcji wymiernej zespolonej

■aems, zuećruować dathna na macierzach i udowodnić podstawowe ich maSTKnsj, macierzy diagonalnej, macierzy jednostkowej i macierzy adwnWną i w obrany ił przypadku macierzy A obliczyć macierz odwrot-

Wkftadn a równań łanowych o n niewiadomych, przypadkach fstotme różnych), gdy m#w zastosować twierdzenie

daerałacrystycznegc i wartuiti własnych macierzy oraz zastosować

Niech będzie dana funkcja /(z) określona na przedmie otwartym (skończonym lub nieskończonym).

Funkcję Ffx) nazywamy/imkęją pierwotną funkcji /(z) aa danym przedziale, jeżeli (6-1)    r(x)«/(r)

dla każdej wartości z z tego przedziału.

Uwaga. Jeżeli rozważany przedział jest przedziałem domkniętym (a, b>, to funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji/(z), jeśli F(x)« /(z) dla *<x<4, oraz F"{a⁺)=* =/(«) i F”(i“)=/(i), gdzie FV*j oznacza pochodną prawostronną w punkcie x=«, a F'(b~) oznacza pochodną lewostronną w punkcie r=i.

Przykład 6.1. Funkcja F(x) = sio x jest na przedziale (—00, +co) funkcją pierwotną funkcji/(x)=cos x. gdyż jp'(x)=cos xdla x e (—00, +00).

Przykład 6.2 Funkcja Ff,x)=ix¹ jest funkcją pierwotną na przedziale (-00, +00) funkcji f (x)=x, gdyż f(x)*x dla x e (—«o, +oc).

Zauważmy jednak, że w przykładzie 6.1 także funkcja sin x -t C jest funkcją pierwotną funkcji/(x)=cos x na przedziale {—co, +00),ponieważ (sinx + C)'=oos x dla xe(—00, + co). Podobnie w przykładzie 6.2 funkcja $**+C jest funkcją pierwotną mnogi ponieważ ($x^ł + C)'<=x dla xe(-co, +00). Można więc wypowiedzieć następujące twierdzenie:

0

Twierdzenie 1. Jeśli f\x) jest fmkgą pierwoaą fimkcji f(x) na ptmirinlr X, to

1* funkcja &{x)—F(x)+C, gdzie C jest dowolną stelą, jest takie funkcją pierwotną funkcji/(jci na przedziale X.

2* każda funkcja pierwotna #fx) funkcji f(x) da się przedstawić w postaci F(x)+C.

Dowód. Jeśli #(x)=fl[z)+C, to na podstawie wzoru (6.1) ♦'(x)*F’(x)“/(x) dla każdego xmXi dowolnego C. Jeżeli zaś F(x) i tf(x) są funkcjami pierwotnymi funkcji /(x) na przedziale X, to oznaczając p(x)-- <W r)—Rfx) mamy p(xj~0, skąd na podstawie wniosku x twierdzenia Łagrange’ą ę(i)*C A więc ś(^-At)*C, skąd #(x)=»/{x)+C

Wniosek. Jeili F(x) jost funkcją pierwotną fimktji f{x), to zbiór wszystkich fimóuji pierwotnych funkcji f(x) jest postaci flfrjłC piż C jest dowolną stolą.

Wymaganie ilinkcji pierwotnych icst czynnością odwrotną do obliczania pochodnych.