freakpp025

48

48

(3.15)

Wj = exp(-|if Fo) Cj sin(p^) + C® cos(|i^)

a ponieważ Wj = £0j, więc

(3.16)

Jest to rozwiązanie szczególne, gdyż równanie może być spełnione dla różnych |i. Rozwiązaniem ogólnym jest szereg:

(3.17)

0=i©i

i=l

gdzie |ij są jego wartościami własnymi.

Celem wyznaczenia stałych należy uwzględnić warunki brzegowe oraz warunek początkowy. Są one następujące:

• I warunek brzegowy w środku kuli

(3.18)

r=₀; !; = 0    = 0 ; ^ = 0

dr    dc,

• II warunek brzegowy na powierzchni kuli (warunek brzegowy trzeciego rodzaju)

r=R; £ = 1    = ot(T_w -T_f);    -~=Bi0_w    (3.19)

dr    dc,

• III warunek początkowy

t = 0; Fo = 0 -> T = T₀; 0=1    (3.20)

Z warunku symetrii względem środka kuli (I warunek) zachodzi równość:

Cj®=0    (3.21)

Stałe Cj można określić na podstawie warunku początkowego - wzór (3.20). Po uwzględnieniu zależności (3.16) i (3.17) otrzymuje się:

(3.22)

Obie strony zależności (3.22) mnoży się przez ^sin(|ij^jd^, a następnie wykonuje się całkowanie w granicach od 0 do 1:

(3.23)

lej sin(n£) sin(n j£)dę = j^sin(ji ^)d£, i = l 0    0

Z ortogonalności funkcji wynika, że 1

j sin(|ij^) sin(}ij^jdę = 0, gdy i ^j

0

(3.24)

(3.25)

Jsin(ni£)sin(nj£)dS*0, gdy i = j

Z zależności (3.23) po uwzględnieniu warunków (3.24) i (3.25) otrzymuje się zależność służącą do obliczania współczynników Cj w szeregu:

jęsin(n£)dą

C- = —

i

(3.26)

Jsin²(nj^)d^

która po obliczeniu całek przyjmuje postać:

„ _ 2(sinjij - pj cosfij) ^-

pi - sinpj cospj Z kolei, wykorzystując II warunek, można dojść do równania:

(3.27)

tgHi=~rr

Hi

Bi -1

(3.28)

Stałe Cj i Pj są zależne od liczby Biota; Pj = Pj(Bi) oraz Cj = Cj(Bi). Są to funkcje uwikłane, które odczytuje się z tablic bądź wykresów.