MG!29

Tablica 1.3

Krytyczne wartości %²

(X	0,80	0,90	0,95	0,98	0,99	0,995	0,998	0,999
4	5,55	7,78	9,49	11,67	13,28	14,9	16,9	18,5
5	7.2 9	9,24	11,07	13,39	15,09	16,3	18,9	20,5
6	8,56	10,64	12,59	15,03	16,80	18,6	20,7	22.5
7	9,80	12,02	14,07	16,6	18,5	20,3	22,6	24.3
8	11,03	13,36	15,51	18,2	20,1	21,9	243	26,1
9	12,24	14,68	16,9	19,7	21,7	23,6	26,1	27,9
10	13,44	15,99	18,3	21,2	23,2	25,2	27,7	29,6
11	14,63	173	19,7	22,6	24,7	26,8	29.4	31,3
12	15,8	18,5	21.0	24,1	26,2	28.3	31,0	32,9
13	17,0	19,8	22.4	25,5	27,7	29,9	32,5	34.5
14	18,2	21,1	23,7	26,9	29,1	31,3	34,0	36,1
13	19,3	22,3	25,0	28,3	30,6	32,7	35,6	37,7
16	20,5	23.5	263	29,6	32,0	34.2	37,1	393
17	21,6	24,8	27,6	31,0	33,4	35.7	38,6	40,8
18	22,8	26,0	28,9	32,3	34,8	m	40,1	42,3
19	23,9	27,2	30,1	33,7	36,2	38,6	41,6	43,8
20	25.0	28,4	31,4	35,0	37,6	40,0	43,1	45.3
22	27.3	30,8	33,9	37,7	40,3	42,7	45,9	48,3
24	29,6	33,2	36,4	40,3	43,0	45.5	48,7	51,2
26	31,8	35,6	38,9	42,9	45,6	48,2	51.5	54,1
28	34,0	37,9	41,3	45,4	48,3	51.0	54,3	56,9
30	36,3	403	43,8	48,0	50,9	53,7	57,1	59,7

W przypadku gdy hipoteza o normalnym rozkładzie jest odrzucona przez test X² lub metody przybliżone, niekiedy udaje się znaleźć takie przekształcenie wyników pomiarów x_t, że uzyskane wielkości y₍ = /(*,) podlegają rozkładowi normalnemu. W tym przypadku podane wyżej oceny można zastosować w odniesieniu do przekształconych wielkości y_r a następnie przeliczyć je dla wielkości x.. Na przykład często rozkładowi normalnemu podlegają nie same wyniki pomiaru, ale ich logarytmy. Przypadek taki zachodzi wtedy, gdy czynniki zniekształcające wynik pomiaru wywołują efekt proporcjonalny do wyniku pomiaru (tj. gdy stałymi okazują się średnie względne błędy pomiaru). Wtedy mówi się, że wynik pomiaru x podlega rozkładowi logarytmiczno-normalnemu.

1.7. Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów jest jedną z najstarszych i najczęściej stosowanych metod statystyki matematycznej [17]. W najprostszy sposób istotę tej metody można przedstawić następująco.

Niech będzie dana funkcja y = F(x), która w kolejnych punktach x₀, x_v x₂, .... x_m przybiera wartości y₀, y_v y₂,-,y_m- Chcemy znaleźć takie przybliżenie tej funkcji wielomianem (co najwyżej stopnia n<m)

/(*) = b₀ ⁺ bi^x + b2^%1 +    +    (1-22)

aby błąd średni M aproksymacji osiągnął minimum, tj. aby funkcja

<b [b₀, b_v b_n) = [y₀ - (b₀ + b_{x_Q + b₂% +... + b„xf)f +

⁺ |k - {^bo ⁺ Vi ⁺ b2^xi * - ⁺ Mi")f ⁺

₊.............................. |    0-23)

⁺ [y« - (*o⁺b\^xM⁺+-⁺Wf -

= (m + l)Af²

osiągała minimum. Należy podkreślić, że przy takim postawieniu zagadnienia minimalizuje się tylko błąd średni M, z jakim wartości wielomianu /(*)

w punktach x₀, x₂.....x_m przybliżają wartości y₀, y,, y₂.....y_m do funkcji

F(x). W metodzie tej jest poszukiwane minimum funkcji <D(ó₀, b_{, ...,ój i dlatego musi być spełniona zależność

(1.24)

— -    - m _ o

db_Q db_x db_n

Otrzymuje się stąd n +1 równali liniowych i tyle samo niewiadomych b_Q, b_r...,b_H. Dokładność przybliżenia tej funkcji ocenia się przez podanie błędu średniego M aproksymacji, który jest wyznaczany ze wzoru (1.23)

M² - —5— *(*-„.*......ij.    (1.25)

n + 1

Metoda najmniejszych kwadratów pozwala znajdować aproksymacje funkcji, w przypadku gdy n<m. Natomiast gdy n = m, umożliwia ona otrzymanie wielomianu interpolacyjnego, ale w sposób bardziej złożony niż przy zastosowaniu bezpośredniej metody interpolacyjnej.

1.8. Korelacja i regresja liniowa

W celu zbadania zależności między pewnymi wielkościami x i y należy posłużyć się pojęciami regresji i korelacji. Oba te pojęcia dotyczą zależności między tymi zmiennymi, przy czym korelacja zajmuje się ustaleniem, jak silna jest ta zależność, a regresja — charakterem funkcji. Po przyporządkowaniu