6. Płaska fala elektromagnetyczna w ośrodku stratnym
6.1. Równanie falowe w ośrodku stratnym
Rozważmy liniowy, jednorodny ośrodek materialny w których istnieją ładunki swobodne �0, a gę-
stość prądu swobodnego j0 jest, zgodnie z prawem Ohma, proporcjonalna do natężenia pola elek-
trycznego j0 = �E . W takim ośrodku
1
D = �E i H = B (6.1)
�
i równania Maxwella przyjmują postać podaną w pierwszej kolumnie tabeli 6.1. Można wykazać,
że w ośrodku o niezerowej konduktywności � początkowa gęstość ładunku swobodnego �0(0) zani-
ka z czasem wg wzoru
�
F I
�0(t) = �0(0)exp t . (6.2)
G- J
H K
�
Wielkość � a" � � jest tzw. czasem relaksacji. Dla miedzi (dobry przewodnik) jest on rzędu 10 19 s,
dla  słabych przewodników jest znacznie dłuższy, ale w końcu gęstość ładunku swobodnego zani-
ka. Po tym okresie przejściowym przyjmujemy �0 = 0 i równania Maxwella przyjmują postać poda-
ną w drugiej kolumnie tabeli 6.2.
Tabela 6.1. Równania Maxwella w ośrodku stratnym
Ośrodek liniowy Ten sam ośrodek po  rozpłynięciu
i jednorodny ładunku swobodnego �0
"E "E prawo AmpŁre a z poprawką
"� B = ��E + �� "� B = ��E + �� (6.3a)
Maxwella
"t "t
"B "B prawo Faradaya
"� E = - "� E = - (6.3b)
"t "t
1 "�" E = 0 (6.3c) prawo Gaussa
"�" E = �0
�
"�" B = 0 "�" B = 0 (6.3d) bez nazwy
Przykład. Wykazać słuszność wzoru (6.2).
Wskazówka. Korzystamy z równania ciągłości dla ładunku swobodnego
"�0
"�" j0 = - ,
"t
a następnie z prawa Ohma i prawa Gaussa.
6-1
Analogicznie jak dla ośrodków bezstratnych stosując rotację do (6.3a) i (6.3b) otrzymujemy
"E " "B "2B
F��EI
"�("� B) ="("�"B)- "B ="� + �� = ��(" � E)+ �� ("� E) = - �� - ��
G J
H K
"t "t "t "t2
F- "B " " "E "E "2E
I F��E + �� I
"�("� E) ="("�"E)- "E ="� =- ("� B) = - G J
=- �� - ��
G J
H K H K
"t "t "t "t "t "t2
Wykorzystaliśmy tożsamość (5) z tabeli 3.1. Ponieważ "�" B = 0 i "�" E = 0, więc
"E "2E "B "2B
"E - �� - �� = 0 i "B - �� - �� = 0 (6.3)
"t "t2 "t "t2
Podobnie jak dla ośrodka bezstratnego otrzymaliśmy identyczne w swej postaci rozprzężone rów-
nania falowe dla pól E i B.
6.2. Płaska fala monochromatyczna
Poszukajmy rozwiązania równań (6.3) w postaci fali płaskiej monochromatycznej (składowej Fo-
urierowskiej pól elektrycznego i magnetycznego) poruszającej się w dodatnim kierunku osi x3 kar-
tezjańskiego układu współrzędnych:
E(x3,t) = E(x3)e- j�t, B(x3,t) = B(x3)e- j�t . (6.4)
We wzorze (6.4) wprowadzając jednostkę urojoną  j przyjęliśmy wygodniejszy do obliczeń ze-
spolony zapis fali monochromatycznej. Jak widać  zapłaciliśmy za to przekształceniem wektorów
E i B, w wektory zespolone, które nie mają sensu fizycznego i nie należy im przypisywać właści-
wości geometrycznych.
Skoncentrujmy naszą uwagę na polu elektrycznym E. Podstawiając (6.4) do (6.3) otrzymujemy
niezależne od czasu tzw. równanie telegraficzne
"2E "2E
+ j���E + ���2E = + K2E = 0 (6.5)
2 2
"x3 "x3
gdzie
� �2 � � �
F1+ I F1+ j I F1+ j I
K2 = j���+ ���2 = ���2 j = = k2 oraz k = .
G J G J G J
H K H K H K
�� v2 �� �� v
Obliczając pierwiastek z tego wyrażenia otrzymujemy
�
K = k 1+ j = ą + j� (6.6)
��
gdzie
22
� �
F I F I
1+ +1 1+
G J G J -1
H K H K
�� ��
ą = k , � = k (6.7)
2 2
6-2
Rozwiązaniem równania (6.5) mogą być wyrażenia postaci E ~ exp( jKx3) albo E ~ exp(- jKx3).
Jeżeli szukamy fali płaskiej monochromatycznej poruszającej się w dodatnim kierunku osi x3 to
rozwiązanie równania (6.3) może być zapisane w postaci
3
E(x3,t) = E0ej( Kx3-�t ) = E0e- �x3ej(ąx -�t ) (6.8a)
Postępując analogicznie dla pola B otrzymujemy
3
B(x3,t) = B0ej( Kx3-�t ) = B0e- �x3ej(ąx -�t ) (6.8b)
Jak widać część urojona � wielkości K prowadzi do tłumienia fali. Z wielkością tą wiąże się głębo-
kość wnikania �w
1
�w = (6.9)
�
Część rzeczywista wielkości K określa następujące parametry fali:
" długość fali
2Ą
 = (6.10)
ą
" prędkość rozchodzenia się (prędkość fazową)
�
vf = (6.11)
ą
" współczynnik załamania
cą
n = (6.12)
�
Przykład. Moduł i część rzeczywista wektora zespolonego E.
Wektor zespolony E można zapisać w postaci sumy dwóch wektorów rzeczywistych
E = Re(E)+ jIm(E)
Modułem wektora zespolonego nazywamy wyrażenie o postaci
E = E�"E* .
Część rzeczywistą wektora zespolonego można obliczyć z wyrażenia
E + E*
Re(E) = .
2
Przykład: Obliczyć współczynnik K, długość i prędkość fazową płaskiej fali monochromatycz-
nej w ośrodku o zerowej konduktywności.
Przykład. Wychodząc z równania (6.6) wyznaczyć ą i � w postaci podanej w (6.7).
6-3
6.3. Właściwości płaskiej fali monochromatycznej
Tłumione fale płaskie (6.8) spełniają zmodyfikowane równania falowe (6.3) dla dowolnych warto-
ści E0 i B0. Ale równania Maxwella nakładają dodatkowe ograniczenia, które pozwalają określić
względne amplitudy, fazy i polaryzacje E i B.
Analogicznie jak w ośrodku bezstratnym rozpatrując falę płaską rozchodzącą się w kierunku
dodatnim osi x3, ponieważ "�" B = 0 i "�" E = 0, więc
E3 = 0 i B3 = 0 (6.13)
takie fale nazywamy porzecznymi elektromagnetycznymi (TEM  transverse electromagnetic).
Możemy tak zorientować osie układu współrzędnych aby natężenie pola elektrycznego E było spo-
laryzowane wzdłuż osi x1
3
E(x3,t) = e1E01e- �x3ej(ąx -�t ) (6.14)
"B
wtedy z prawa Faradaya "� E = - otrzymujemy
"t
K
B(x3,t) = e2 E01e- �x3ej( ąx3-�t ) (6.15)
�
(z ostatniego równania Maxwella wynika to samo). Jak widać pola E i B są do siebie prostopadłe.
6.4. Wyznaczenie rzeczywistych pól E i B
Wektory opisane równaniami (6.14) i (6.15) są zespolone i nie mają sensu fizycznego. Sens fizycz-
ny mają części rzeczywiste tych wektorów. Aby je wyznaczyć zastosujemy przedstawienie zespo-
lonych wielkości za pomocą ich modułu i fazy:
E01 = E0 exp j�E;
(6.16)
K K0 exp j� K0E0
E01 = E0 exp j�E = exp j(�E + �) = B0 exp j�B
� � �
W powyższych wyrażeniach wielkości E0, B0, K0 są wielkościami rzeczywistymi przy czym
2 2
� � �
F I F I F I
4
K0 a" K = ą2 + �2 = k 1+ = � �� 1+ oraz � a" arctg (6.17)
G J G J G J
H K H K H K
�� �� ą
Jak widać ze wzoru (6.16) �B - �E = � tak więc pole magnetyczne opóz
nia się względem pola
elektrycznego. Rzeczywiste amplitudy wielkości E i B są powiązane zależnością
2
B0 K0 �
F I
= = �� 1+ (6.18)
G J
H K
E0 � ��
Stąd rzeczywiste pola E i B dla fali płaskiej w ośrodku stratnym mają postać
E(x3,t) = e1E0e- �x3cos(ąx3 - �t + �E )
(6.19)
B(x3,t) = e2B0e- �x3cos(ąx3 - �t + �E + �)
6-4
6.5. Przybliżenie słabego przewodnika (dielektryk o małych stratach)
Rozważmy ośrodek o małych stratach, tzn. dla którego
�
<< 1. (6.20)
��
Dla obliczenia ą i � wykorzystamy rozwinięcie w szereg Maclaurina wyrażenia
1 1 1
1+ u = 1+ u - u2+& H" 1+ u
2 8 2
2
�
F I
gdzie u = . W tym przypadku
G J
H K
��
2
�
F I
1+ +1
G J
H K
��
ą = k H" k = � ��,
2
(6.21)
2
2
�
F I 1 �
F I
1+
G J -1
1+
G J -1
H K
�� H K k � � �� � � �
2 ��
� = k H" k = = =
2 22 �� 2 �� 2 �
Wynika stąd, że współczynnik tłumienia � w przybliżeniu nie zależy od częstotliwości. Natomiast
współczynnik fazy ą, a co za tym idzie prędkość fazowa i długość fali
� � 12Ą 2Ą 2Ą
vf = H" = ;  = H" = (6.22)
ą k �� ą k � ��
są w przybliżeniu identyczne w ośrodku małostratnym i bezstratnym. Możemy także zaniedbać
przesunięcie fazowe pola magnetycznego względem elektrycznego, ponieważ
k �
� 1 �
2 ��
tg � = H" = H" 0 �! � H" 0 . (6.23)
ą k 2 ��
Pola elektryczne i magnetyczne fali płaskiej w ośrodku bezstratnego i małostratnym przed-
stawia rysunek 6.1.
Rys. 6.1. Płaska fala elektromagnetyczna w ośrodku bezstratnym i małostratnym.
6-5
6.6. Przybliżenie rzeczywistego przewodnika
Przewodniki charakteryzują się bardzo dużą konduktywnością i możemy założyć, że
�
>> 1. (6.24)
��
Wykorzystując to przybliżenie dla obliczenia ą
22
� �
F I F I
1+ +1
G J G J
H K H K
�� �� � � ���
ą = k H" k = k = � �� = (6.25a)
22 2�� 2�� 2
i analogicznie �
2
�
F I
1+
G J -1
H K
�� ���
� = k H" (6.25b)
22
wyznaczamy prędkość fazową i długość fali
� � 2� 2Ą 2Ą 2Ą
vf = H" = ;  = H" = (6.26)
ą ��� �� ą ��� ���
2 2
Jak widać prędkość fazowa zależy od częstotliwości. Ten efekt nazywamy dyspersją.
Można obliczyć przesunięcie fazowe czyli kąt o jaki pole magnetyczne opóz
nia się względem pola
elektrycznego
� Ą
tg � = H" 1�! � H" . (6.27)
ą 4
Głębokość wnikania maleje wraz ze wzrostem częstotliwości zgodnie ze wzorem
1 2
�w = = (6.28)
� ���
Szczególnie dla dużych częstotliwości (rzędu mega- i gigaherców) głębokość wnikania jest bardzo
mała. Mówimy wtedy o zjawisku naskórkowości.
Pola elektryczne i magnetyczne fali płaskiej w ośrodku stratnym przedstawia rysunek 6.2.
Rys. 6.2. Płaska fala elektromagnetyczna w przewodniku rzeczywistym.
6-6