1
2
Skrypt z wykładów
Politechnika Gdańska
Rok akademicki 2012/2013
Budownictwo
Semestr II
Opracowanie:
Erwin Wojtczak
3
4
SPIS TREÅšCI
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE ............................................................................................................ 7
Równania Maxwella........................................................................................................................... 7
Fale elektromagnetyczne ................................................................................................................. 7
Dyfrakcja i interferencja .................................................................................................................... 8
Polaryzacja ........................................................................................................................................ 10
Prawo odbicia................................................................................................................................... 10
Zasada Fermata................................................................................................................................ 11
Prawo załamania ............................................................................................................................. 11
Całkowite wewnętrzne odbicie i kąt graniczny .......................................................................... 12
KÄ…t i prawo Brewstera ...................................................................................................................... 13
Cienkie warstwy ................................................................................................................................ 13
Pryzmat i rozszczepienie światła..................................................................................................... 13
Soczewki............................................................................................................................................. 13
Zdolność skupiająca (zbierająca).................................................................................................. 14
PROMIENIOWANIE TERMICZNE ........................................................................................................ 15
Widmowa zdolność emisyjna ......................................................................................................... 15
Widmowa zdolność absorpcyjna .................................................................................................. 15
Ciało doskonale czarne .................................................................................................................. 15
Zależność zdolności emisyjnej od długości fali ............................................................................ 15
Prawo przesunięć Wiena ................................................................................................................. 16
Prawo Stefana - Boltzmanna: ......................................................................................................... 16
Teoria Rayleigha-Jeansa ................................................................................................................. 16
Teoria Wiena...................................................................................................................................... 16
Teoria Plancka................................................................................................................................... 16
FIZYKA RELATYWISTYCZNA ............................................................................................................... 18
Teoria eteru........................................................................................................................................ 18
Doświadczenie Michelsona - Morley a......................................................................................... 18
Postulaty Einsteina ............................................................................................................................ 18
Czasoprzestrzeń ................................................................................................................................ 18
Transformacja Lorentza ................................................................................................................... 19
Dylatacja czasu ................................................................................................................................ 19
Skrócenie Lorentza ........................................................................................................................... 19
Transformacja Lorentza dla prędkości .......................................................................................... 20
Prawa mechaniki klasycznej prawdziwe dla mechaniki relatywistycznej............................... 21
Równoważność masy i energii........................................................................................................ 21
Zależność energii całkowitej ciała od pędu................................................................................ 21
DUALIZM KORPUSKULARNO-FALOWY ............................................................................................. 22
Energia fotonu................................................................................................................................... 22
Doświadczenie Lebiediewa............................................................................................................ 22
Doświadczenie z lampą rtęciową i elektrometrem .................................................................... 22
Efekt fotoelektryczny zewnętrzny ................................................................................................... 22
Promieniowanie Roentgena ........................................................................................................... 24
Doświadczenie Comptona............................................................................................................. 25
5
FALOWA NATURA MATERII ............................................................................................................... 26
Teoria budowy atomu ..................................................................................................................... 26
Świecenie gazów.............................................................................................................................. 26
Postulaty Bohra.................................................................................................................................. 26
Wyprowadzenie wzoru Rydberga z postulatów Bohra............................................................... 26
Teoria de Broglie a i jego postulat ................................................................................................. 27
Sinusoidalna fala płaska.................................................................................................................. 28
Funkcja falowa.................................................................................................................................. 28
Zasada nieoznaczoności Heisenberga ......................................................................................... 29
Równanie Schrödingera .................................................................................................................. 29
Własności funkcji falowej................................................................................................................. 30
Studnia (jama) potencjału.............................................................................................................. 30
Oscylator kwantowy ........................................................................................................................ 30
Zakres Pauliego ................................................................................................................................. 31
FIZYKA J
DROWA............................................................................................................................. 32
JÄ…dro atomowe ................................................................................................................................ 32
Defekt masy....................................................................................................................................... 32
Siły jądrowe........................................................................................................................................ 32
Własności sił jądrowych................................................................................................................... 33
Model kroplowy ................................................................................................................................ 33
Model powłokowy............................................................................................................................ 33
Studnie potencjału protonów i neutronów .................................................................................. 34
Promieniotwórczość ......................................................................................................................... 34
Rodzaje promieniowania ................................................................................................................ 34
Rozpad Ä…............................................................................................................................................ 34
Rozpad ² ............................................................................................................................................ 35
Model powłokowy a rozpady ........................................................................................................ 35
Przemiana Å‚ ....................................................................................................................................... 35
Promieniotwórczość naturalna....................................................................................................... 35
Promieniowanie jonizujÄ…ce ............................................................................................................. 35
Izotopy promieniotwórcze............................................................................................................... 36
Prawo rozpadu promieniotwórczego ........................................................................................... 36
Czas połowicznego zaniku (rozpadu)........................................................................................... 36
Średni czas życia............................................................................................................................... 36
Aktywność promieniotwórcza ........................................................................................................ 36
Szeregi promieniotwórcze ............................................................................................................... 37
Detektory promieniowania ............................................................................................................. 37
Pomiary promieniowania ................................................................................................................ 37
Zjawiska osłabiające promieniowanie.......................................................................................... 38
6
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Równania Maxwella
- I prawo Maxwella
1
EdS = ÁdV
+" +"
µ0µr V
s
Jest modyfikacjÄ… prawa Gaussa.
- II prawo Maxwella
BdS = 0
+"
s
Åšwiadczy o braku istnienia monopolu magnetycznego.
- III prawo Maxwella
dĆE
ëÅ‚ öÅ‚
B dl = µ µ µ µ + I
ìÅ‚ ÷Å‚
0 r 0 r p
+"
dt
íÅ‚ Å‚Å‚
l
Rozszerzenie prawa Ampere a o prąd przesunięcia. Uwzględnia, że prąd jest wytwarzany
nie tylko przez poruszające się ładunki - prąd przewodzenia (I ), ale także przez zmianę
p
strumienia pola elektrycznego w czasie. Sumaryczny prąd zostaje powiększony o prąd
przesuniÄ™cia. Wykorzystujemy tu wzór ĆE = E Å" S dla pola jednorodnego lub ogólnie:
ĆE = E Å" dS .
+"
S
- IV prawo Maxwella
dĆB
Edl = -
+"
dt
l
Wykorzystujemy w nim wzór ĆB = B Å" S dla pola jednorodnego lub ogólnie: ĆB = B Å" dS .
+"
S
Ponadto V = - E Å" dr .
+"
Fale elektromagnetyczne
Zmienne w czasie pole magnetyczne o indukcji B powoduje powstanie pola elektrycznego o
natężeniu E. Wektor natężenia jest prostopadły do wektora indukcji. Dalej pole elektryczne
wytwarza pole magnetyczne itd. Wektory B i E sÄ… funkcjami czasu.
B B
E E

W efekcie powstaje fala
elektromagnetyczna
Iloczyn wektorowy E × B wyznacza
kierunek rozchodzenia siÄ™ fali.
7
Ponadto:
E = Em sin(kx - Ét) oraz B = Bm sin(kx - Ét)
1
v =
Prędkość rozchodzenia się fali:
µ0µrµ0µ
r
Dla próżni: W dowolnym ośrodku:
µ =µ =1 c
0 0
v =
µ =8,8510-12 N Å" m2 µ µ
r
r
r ,
2
C
Gdzie n = µrµ jest współczynnikiem zaÅ‚amania fali
r
µ =4Ä„10-7 T Å" m
r
A
elektromagnetycznej w danym ośrodku.
vH"3108 m =c
s
Widmo fal elektromagnetycznych jest bardzo rozległe, zakres jest ogromny.
Dyfrakcja i interferencja
Dyfrakcja i interferencja dla fali elektromagnetycznej zachodzÄ… tak, jak dla fal
mechanicznych. Korzystamy z zasady Huygensa.
 Jeżeli powierzchnia falowa (lub czoło fali) dociera do pewnego punktu ośrodka, to staje się
on z
ródłem nowej fali kulistej
Stąd wynika, że gdy fala trafia na szczelinę, to wytworzona zostaje nowa fala kulista.
Dyfrakcją nazywamy ugięcie fali na przeszkodzie.
Interferencja polega na nakładaniu się fal, które powoduje ich wzmocnienie lub
wygaszenie.
x P
1
Mamy do czynienia z falami spójnymi, tj. falami o takich
Z x
1 2
samych fazach poczÄ…tkowych i drgajÄ…cymi z tÄ… samÄ…
częstotliwością.
Z
2
y1 = Asin (Ét - kx1 ) y2 = Asin(Ét - kx2 )
y = y1 + y2
y = Asin (Ét - kx1 ) + Asin (Ét - kx2 )
Amplitudą fali wypadkowej jest wyrażenie:
x1 + x2 x2 - x1
y = A Å" 2sin (Ét - k )cos(k ) x2 - x1
2Acos(k ) (nie zależy od częstotliwości
2 2
2
x2 - x1 x1 + x2
y = 2Acos(k )sin (Ét - k ) drgaÅ„).
2 2
8
ºWarunek wzmocnienia: ºWarunek wygaszenia:
x2 - x1
cos(k ) = 0
x2 - x1
2
cos(k ) = Ä…1
2 x2 - x1 Ä„
k = + nĄ ,n" N
x2 - x1
2 2
k = nĄ ,n " N
2 2Ä„
k =
2Ä„

k =

2Ä„ x2 - x1 Ä„
Å" = + nÄ„
2Ä„ x2 - x1
 2 2
Å" = nÄ„
 2
x2 - x1 1
= + n
x2 - x1
 2
= n

1
x2 - x1 = (2n +1)
x2 - x1 = n
2


x2 - x1 = (2n +1)Å"
x2 - x1 = 2nÅ"
2
2
Aby nastąpiło wzmocnienie, różnica dróg musi być równa parzystej wielokrotności
połówek długości fali. Natomiast, aby nastąpiło wygaszenie, różnica dróg musi być równa
nieparzystej wielokrotności połówek długości fali.
Dla fal drgajÄ…cych w przeciwnych fazach sytuacja jest inna - warunek wygaszenia staje siÄ™
warunkiem wzmocnienia i odwrotnie (analogiczne wyprowadzenie). Wzory zmieniajÄ… siÄ™,
ponieważ druga fala jest przesunięta w fazie o Ą.
y1 = Asin (Ét - kx1 ) y2 = Asin (Ét - kx2 + Ä„)
Fale elektromagnetyczne pochodzÄ…ce z tego samego z
ródła mają tę samą częstotliwość,
ale różne długości.
Długość fali:
v
› =
½
v - prędkość rozchodzenia się fali stała dla danego ośrodka
½ - czÄ™stotliwość drgaÅ„ fali, zwiÄ…zana ze z
ródÅ‚em [½]=Hz
Zaburzenie elektromagnetyczne jest falą, ponieważ:
1. Ulega dyfrakcji.
2. Interferują zaburzenia (dla których różnica faz jest stała w czasie).
3. Ulega polaryzacji.
Dyfrakcja fali elektromagnetycznej. Aby zaobserwować dyfrakcję potrzebujemy siatki
dyfrakcyjnej.
Może nią być szklana płytka z rysami, które następnie wytrawiono kwasem.
Szczelina musi mieć szerokość rzędu długości fali (d~) [400-700nm].
d
9
Stała siatki (d) - odległość pomiędzy dwiema sąsiednimi rysami. Zwykle to ok. 500 lub 1000
rys na 1mm. Wówczas stała ma wartość d=1/500 mm (d=1/1000 mm).
Każda szczelina jest z
ródłem nowej fali (z zasady Huygensa).
2 1 0 1 2
ekran
Równanie siatki dyfrakcyjnej:
n = d Å" sinÄ…
n - numer prążka
Ä…
 - długość fali monochromatycznej
d - stała siatki dyfrakcyjnej
z
ródło
ą - kąt ugięcia
fali
Fala elektromagnetyczna - zaburzenie pola magnetycznego i pola elektrycznego. Zmienne
pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne, a zmienne pole elektryczne wytwarza pole
magnetyczne. Pola te są wzajemnie prostopadłe i, podobnie, ich wektory drgają w
płaszczyznach do siebie prostopadłych. Za własności optyczne fali odpowiada wektor E ,
ponieważ w ogólnoÅ›ci, we wzorze n = µrµ , µ *#*# µ .
r r
r
Polaryzacja
Polaryzacja - uporządkowanie drgań wektora natężenia pola elektrycznego
( E ). Polaryzacji dokonuje się poprzez stosowanie polaryzatorów. Są to
specjalne przyrządy, które powodują osłabienie wektora natężenia pola
poprzez  przepuszczenie tylko części wektorów E  . Polaryzacja następuje
także poprzez odbicie, albo przy użyciu specjalnych kryształów (np.
kryształów dwójłomnych). Np polaryzacja liniowa (rys. obok).
Światło porusza się po liniach prostych, ale może ulec załamaniu, odbiciu lub rozproszeniu.
Zwierciadła - powierzchnie, które całkowicie odbijają padające na nie światło. Wyróżniamy
zwierciadła płaskie, wklęsłe i wypukłe.
Zad. Jaka powinna być wysokość zwierciadła
½H
H H
płaskiego, aby było ono w stanie w całości odbić
obiekt o wysokości H?
Odp: ZwierciadÅ‚o musi mieć wysokość co najmniej ½H.
przedmiot zwierciadło obraz
Promień krzywizny zwierciadła płaskiego wynosi ", nie następuje skupienie promieni.
Zwierciadła wklęsłe oraz wypukłe mają skończone promienie krzywizny i skupiają one
promienie świetlne w punkcie zwanym ogniskiem zwierciadła (wklęsłe w ognisku
R
f =
rzeczywistym a wypukłe w pozornym). Odległość ogniska od zwierciadła
2
nazywamy ogniskową, oznaczamy f, a jej długość to połowa promienia krzywizny.
Zdolność skupiającą zwierciadła określamy jako odwrotność ogniskowej:
1
Z =
[Z]= D
f
Prawo odbicia (podawane też jako dwa):
1. Promienie: padający i odbity oraz normalna do powierzchni odbijającej leżą w jednej
płaszczyz
nie.
2. Kąt padania jest równy kątowi załamania (kąty pomiędzy odpowiednimi promieniami a
normalnÄ… do powierzchni odbijajÄ…cej).
10
Zasada Fermata:  Promień świetlny przebywa drogę pomiędzy dwoma punktami w
ekstremalnym czasie (tj. najkrótszym lub najdłuższym) .
Z
Dowód prawa odbicia z zasady Fermata.
2
2
Droga światła: s = h12 + x2 + h2 + (d - x)
Ä…
D
Czas przebycia drogi przez światło:
h
²
1
s 1
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
Ä… ²
t = = h12 + x2 + h2 + (d - x)
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ h
c c 2
x d-x
Czas zależy od odległości z
ródła od punktu odbicia:
t = f (x)
d
Skoro czas ma być ekstremalny, to:
Z - z
ródło światła, D - detektor
dt
= 0
dx
öÅ‚
1 ëÅ‚ 2x - 2(d - x)
ìÅ‚ ÷Å‚
+ = 0
2
c ìÅ‚ 2 h12 + x2 2 h2 + - x)2 ÷Å‚
(d
íÅ‚ Å‚Å‚
x d - x
- = 0
2
h12 + x2 2 - x)
h2 + (d
x d - x
=
2
h12 + x2 2 - x)
h2 + (d
Ä…,² sÄ… ostre
sinÄ… = sin ²
Ä… = ²
Załamanie światła.
c
1 1 c v1 =
Ä…
v = '" c = '" n = µ µ0 Ò! v = n1
0
n
µ µ0µ µr µ µ0
0 r 0 n
1
v1 `" v2
c
n
2
v2 =
n2
n>0 (współczynnik załamania - zależy
²
od własności elektrycznych ośrodka)
Prawo załamania
Promień padający, promień załamany oraz normalna
do powierzchni łamiącej leżą w jednej płaszczyz
nie.
Ponadto stosunek sinusa kÄ…ta padania do sinusa kÄ…ta
c
Ä…
v1 =
załamania jest równy stosunkowi prędkości promieni
n1
n świetlnych w obu ośrodkach oraz odwrotnemu
1
v1 `" v2 stosunkowi współczynników załamania promieni w tych
n
2
c
ośrodkach.
v2 =
sinÄ… v1 n2
n2 = =
sin ² v2 n1
²
W szczególnym przypadku, jeżeli ośrodkiem, z którego
wychodzi promień jest powietrze, mamy zależność:
sinÄ…
= n , gdzie n jest współczynnikiem załamania w
sin ²
ośrodku, do którego trafia promień.
11
Z
Dowód prawa załamania z zasady Fermata.
Droga światła jest różna o obu ośrodkach:
Ä…
h
1
c
s1 = h12 + x2
v1 =
Ä…
n1
x d-x
2
2
n
1
s2 = h2 + (d - x)
n
2
d c
v2 =
Czas przebycia drogi przez światło:
n2
Z - z
ródło światła,
²
s1 s2 n1 n2
t = t1 + t2 = + = s1 + s2 D - detektor ²
h
2
v1 v2 c c
n1 n2 2 1
2 2
2
ëÅ‚n1 öÅ‚
t = h12 + x2 + h2 + (d - x) = h12 + x2 + n2 h2 + (d - x)
ìÅ‚ ÷Å‚
D
íÅ‚ Å‚Å‚
c c c
Czas zależy od odległości z
ródła od punktu odbicia:
t = f (x)
Skoro czas ma być ekstremalny, to:
1 1
1 2
2 2
2
ëÅ‚n1 öÅ‚
t = h12 + x2 + h2 + (d - x)
t = h12 + x2 + n2 h2 + (d - x)
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ v1 v2
c
dt
dt
= 0
= 0
dx
dx
ëÅ‚ öÅ‚ 1 2x 1 - 2(d - x)
1
ìÅ‚n 2x + n2 - 2(d - x) ÷Å‚ 0 = +
0 =
2
1
v1 2 h12 + x2 v2 2 h2 + - x)2
ìÅ‚ 2 ÷Å‚
2 (d
c
2 h12 + x2
2 h2 + (d - x)
íÅ‚ Å‚Å‚
1 x 1 (d - x)
x d - x
0 = -
0 = n1 - n2
2
v1 h12 + x2 v2 h2 + - x)2
2 (d
2
h12 + x2
h2 + (d - x)
1 x 1 (d - x)
x d - x
=
n1 = n2
2
v1 h12 + x2 v2 h2 + - x)2
2 (d
2
h12 + x2
h2 + (d - x)
sinÄ… sin ²
n1 sinÄ… = n2 sin ²
=
v1 v2
sinÄ… n2
=
sinÄ… v1
sin ² n1
=
sin ² v2
Całkowite wewnętrzne odbicie i kąt graniczny
Mamy z nimi do czynienia przy przejściu z ośrodka
gęstszego optycznie do rzadszego. Kąt graniczny
jest to kąt padania, dla którego kąt załamania jest
²=90º
kątem prostym. Wówczas promień załamany ślizga
się po powierzchni załamującej. Dla kątów
n
2
większych niż kąt graniczny nie obserwujemy
n
1
promienia załamanego w drugim ośrodku -
Ä…
Ä…
następuje wtedy całkowite wewnętrzne odbicie.
n2
sinÄ… =
gr Ä…gr
n1
Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia jest
wykorzystywane w światłowodach.
12
KÄ…t i prawo Brewstera
Zawsze powstaje promień odbity - światło nigdy nie
załamuje się całościowo.
Ä…B Ä…B
Prawo Brewstera: Jeżeli promień załamany tworzy z
promieniem odbitym kÄ…t prosty, to odbita wiÄ…zka
n
1
światła jest całkowicie spolaryzowana liniowo. Kąt
n
2
padania, dla którego zachodzi taka sytuacja,
nazywamy kÄ…tem Brewstera (Ä…B ²
).
sinÄ…B n2 ² = 90o -Ä…B sin ² = sin(90o -Ä… ) = cosÄ…B
= B
sin ² n1
n2
tgÄ… =
B
n1
Cienkie warstwy
Ä… Ä… Ä…
Dla wiązki światła obserwujemy interferencję na
n
2
cienkich warstwach. Najpierw następuje
równoległe przesunięcie wiązki, fale ulegają
n
1
rozszczepieniu, a następnie interferują.
² ² ²
cienka
warstwa
² ²
Pryzmat i rozszczepienie światła
Ä…
Światło w pryzmacie zostaje rozszczepione
na światła monochromatyczne.
W szczególnym przypadku, gdy
promień biegnący wewnątrz
pryzmatu jest równoległy do
jego podstawy, możemy złożyć
dwa pryzmaty podstawami (lub
wierzchołkami), oszlifować je i
otrzymać w ten sposób soczewkę skupiającą - wypukłą (lub
rozpraszającą - wklęsłą).
Soczewki
Każda soczewka posiada ognisko, przy czym soczewka skupiająca
posiada ognisko rzeczywiste (miejsce przecięcia promieni skupionych),
natomiast soczewka rozpraszajÄ…ca - ognisko pozorne (miejsce
przecięcia przedłużeń promieni rozproszonych).
Równanie soczewki (prawdziwe też dla zwierciadeł):
f - ogniskowa soczewki
1 1 1
x - odległość przedmiotu od soczewki
= +
f x y y - odległość obrazu od soczewki
Ogniskowa soczewki zależy od materiału soczewki oraz od otoczenia. Ma wartość dodatnią
dla soczewki skupiajÄ…cej i ujemnÄ… dla rozpraszajÄ…cej.
f - ogniskowa soczewki
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
1 ns 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚ n , n - współczynniki zaÅ‚amania: soczewki i otoczenia
= -1÷Å‚ìÅ‚ + s o
ìÅ‚
f no Å‚Å‚íÅ‚ R1 R2 ÷Å‚ R1, R2 - promienie krzywizny soczewki
íÅ‚ Å‚Å‚
13
Soczewkę skupiającą można łatwo zmienić w rozpraszającą i na odwrót poprzez
umieszczenie jej w odpowiednim środowisku, takim, by ogniskowa zmieniła znak.
Ogniskowa jest uzależniona od rodzaju padającego światła, bo jej wartość zmienia się
wobec zmian współczynnika załamania, który jest z kolei uzależniony od długości fali.
Aberracja chromatyczna
Jest to zjawisko występujące w przypadku, gdy ognisko jest rozmyte, ponieważ padające
światło białe zostaje rozszczepione, a pojedyncze światła monochromatyczne skupiają się w
różnych punktach.
Zjawiska optyczne są szeroko wykorzystywane w różnego rodzaju przyrządach optycznych
(np. lupa, luneta, teleskop, mikroskop) oraz w okulistyce.
Zdolność skupiająca (zbierająca)
n
1 1
Zs = [Z]=1D =
Zn =
(dioptria) Zastępcza zdolność skupiająca układu: "Zi
f m
i=1
Zad. Jaka jest ogniskowa układu, złożonego ze zwierciadła
wklęsłego o promieniu R, wypełnionego cieczą o współczynniku
załamania n?
Zu = 2Zs + Zz
WiÄ…zka dwa razy przechodzi przez
1 n ëÅ‚ 1 1 öÅ‚ 2
soczewkÄ™ i raz zostaje odbita przez îÅ‚ Å‚Å‚
= 2ëÅ‚ -1öÅ‚ìÅ‚ - +
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ïÅ‚"śł÷Å‚
zwierciadło. Korzystamy z zastępczej
f 1 R
íÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚÷Å‚ R
íÅ‚ Å‚Å‚
zdolności skupiającej.
1 2n 2 2
= - +
f R R R
R
Odp: f = .
1 2n R
2n
= Ò! f =
f R 2n
14
PROMIENIOWANIE TERMICZNE
promieniowanie termiczne
Widmo fal elektromagnetycznych jest rozległe.
Na granicy światła widzialnego i podczerwieni
 [nm]
znajduje siÄ™ zakres promieniowania cieplnego
400 700
(termicznego).
zakres widzialny podczerwień
Wszystkie ciała absorbują i emitują ciepło.
Jeżeli T >T , to przeważa emisja. Jeżeli T c o c o
Własności widma promieniowania termicznego:
- Widmo jest ustalane w zależnoÅ›ci od dÅ‚ugoÅ›ci fali () lub od czÄ™stotliwoÅ›ci drgaÅ„ (½),
powiÄ…zanych wzorem: ½ = c .

- Część zakresu promieniowania cieplnego pokrywa się z zakresem widzialnym.
- Widmo promieniowania termicznego zależy od temperatury i barwy ciała.
- Wielkościami charakteryzującymi ciało są zdolność emisyjna oraz zdolność absorpcyjna.
Widmowa zdolność emisyjna - wielkość fizyczna liczbowo równa stosunkowi energii
wypromieniowanej przez jednostkę powierzchni ciała w jednostce czasu w postaci fali
elektromagnetycznej w bardzo wÄ…skim przedziale czÄ™stotliwoÅ›ci (½;½+d½) lub w bardzo
E J W
îÅ‚ Å‚Å‚
wÄ…skim przedziale dÅ‚ugoÅ›ci fali (;+d). µ =
ïÅ‚s = ûÅ‚
t Å" S Å" m2 m2 śł
ðÅ‚
Widmowa zdolność absorpcyjna - monochromatyczny współczynnik pochłaniania - wielkość
wskazująca, jaka część energii fal elektromagnetycznych w wąskim przedziale częstotliwości
(½;½+d½) lub w wÄ…skim przedziale dÅ‚ugoÅ›ci fali (;+d), padajÄ…cej na powierzchniÄ™ ciaÅ‚a
zostaje przez to ciało pochłonięta. a [1] (wielkość bezwymiarowa).
Ciało doskonale czarne
Model ciała wprowadzony przez Kirchhoffa, opisujący ciało w pełni
pochłaniające padające nań promieniowanie niezależnie od kierunku
padania tego promieniowania, składu widmowego i polaryzacji. Niczego
nie odbija ani nie przepuszcza, stąd jego zdolność absorpcyjna ma
wartość 1.
Ciało doskonale czarne wyobrażano sobie jako wnękę z małym otworkiem, wypełnioną
sadzą. W takiej sytuacji światło wpada we wnękę, ale nie może jej opuścić, gdyż wciąż
odbija się w jej wnętrzu.
Kirchhoff odkrył i sformułował prawo dotyczące promieniowania cieplnego. Mówi ono, iż
stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorpcyjnej w danej temperaturze dla danego
ciała jest wielkością stałą i równą zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego w tej
µ(½ ,T )
temperaturze. = E(½ ,T)
a(½ ,T )
Konsekwencją tego prawa jest fakt, iż ciała, które silniej emitują promieniowanie, także silniej
je absorbujÄ… - dobre emitery sÄ… dobrymi absorbentami.
µ(,T)
Zależność zdolności emisyjnej od długości fali
Dwa prawa dotyczÄ…ce widma promieniowania
termicznego zaobserwowano empirycznie:
prawo przesunięć Wiena oraz prawo Stefana-
Boltzmanna.

15
W
îÅ‚ Å‚Å‚
µ(,T)
ïÅ‚m2 śł
Prawo przesunięć Wiena:  maksymalna długość fali
ðÅ‚ ûÅ‚
T
1
promieniowania termicznego jest odwrotnie proporcjonalna
1
b
max ~
do temperatury . max = , b - stała.
T
T T 2 1
Wynika stąd, że maksimum widma promieniowania cieplnego
przesuwa się w zależności od temperatury.
[m]
Prawo Wiena ma zastosowanie w astrofizyce - służy do
1 2
określania temperatury gwiazd. Jest też wykorzystywane w
termometrach wysokotemperaturowych, np. do pomiarów
temperatur w piecach hutniczych (nie jest możliwy pomiar
bezpośredni).
Prawo Stefana - Boltzmanna:  całkowita zdolność emisyjna ciała jest wprost proporcjonalna
4
¾ (T ) = ´T
do czwartej potęgi jego temperatury .
µ(,T)
Całkowita zdolność emisyjna jest polem pod wykresem
zdolności emisyjnej. Temperaturę podajemy w Kelwinach.
Dzięki temu prawu wyznaczono temperaturę Słońca.
¾ (T)

µ(,T)
 Fizycy to dziwni ludzie&  & więc postanowili dopasować
W R-J
teoriÄ™ do obserwacji empirycznych. Na poczÄ…tku
powstały: teoria Rayleigha-Jeansa oraz teoria Wiena.
Teoria Rayleigha-Jeansa - wykorzystano w niej fakt,
iż w ciele doskonale czarnym opisanym jako wnęka z

sadzÄ… mamy do czynienia ze stojÄ…cÄ… falÄ… przestrzennÄ….
Otrzymano wówczas wzór na zdolność emisyjną postaci:
2
8Ä„½ kT
µ (½ ,T ) =
c3
Zależność ta sprawdza się tylko dla fal długich. W falach krótkich miałaby miejsce tzw.
 katastrofa w nadfiolecie - emitowana byłaby nieskończona energia, co nie jest możliwe.
Teoria Wiena - bazuje na teorii gazu doskonałego. Dla gazów określamy średnie prędkości
cząsteczek, istnieje pewien rozrzut (ich wartości mogą być mniejsze lub większe dla różnych
cząsteczek). Prawdopodobieństwo wystąpienia danej prędkości w pewnej przestrzeni
opisuje rozkład Maxwella. Opisuje on dobrze również rozkład prędkości cząsteczek w
gorącym ciele. Wien określił zależność:
C2
öÅ‚
µ (,T ) = C1-5 expëÅ‚- ÷Å‚
ìÅ‚
T
íÅ‚ Å‚Å‚
,
gdzie C1,C2 - stałe. Teoria Wiena okazała się być prawidłowa tylko dla fal krótkich.
W żadnej z dwóch teorii nie otrzymano maksimum.
Teoria Plancka
Planck, nieco póz
niej zmodyfikował wzór Wiena, aby był on prawidłowy dla wszystkich
długości fal. Powrócił do teorii Newtona, który jako pierwszy stwierdził, że światło jest wiązką
16
korpuskuł. Planck nazwał je fotonami i określił, że energia przenoszona przez każdy z nich ma
c
wartość: Ef = h½ = h , gdzie h=6,6510-34 [J s]

Ciało doskonale czarne w założeniu miało nie emitować żadnej energii. Jednak każde ciało
składa się z drgających atomów, które wysyłają konkretną porcję energii. Każdy oscylator
emituje energiÄ™ równÄ… wielokrotnoÅ›ci pojedynczej porcji energii: E = nh½ .
Wzór na zdolność emisyjną, który dobrze opisuje całą krzywą doświadczalną ma postać:
2Ä„c3 h
µ (,T ) =
.
hc
5
expëÅ‚ öÅ‚ -1
ìÅ‚ ÷Å‚
kT
íÅ‚ Å‚Å‚
dµ const
Z warunku: = 0 , otrzymamy zależność: max = (prawo przesunięć Wiena).
d T
"
4
Z kolei po scałkowaniu:
+"µ(,T )d otrzymujemy: ¾ (T ) = ´T (prawo Stefana-Boltzmanna).
0
Teorię Plancka potwierdzono póz
niej poprzez zjawiska fotoelektryczne oraz efekt Comptona,
a także poprzez badanie widm wodoru i gazów wodoropodobnych.
17
FIZYKA RELATYWISTYCZNA
Zgodnie z transformacją Galileusza światło powinno mieć różne prędkości względem
różnych układów odniesienia [ v = v' + u ,| u |= const ].
Teoria eteru
Stwierdzono, że musi istnieć bezwzględny układ odniesienia i chciano zmierzyć prędkość
ziemi względem niego. Skoro istnieje pewien  zewnętrzny układ odniesienia , to prędkości na
Ziemi, w tym prędkość światła, będą różne w różnych kierunkach. Okazało się jednak, że
prędkość światła jest w każdym kierunku taka sama.
Doświadczenie Michelsona - Morley a
Doświadczenie polegało na wykorzystaniu
ogromnego interferometru. Składał się on ze
Z
1
z
ródła światła (Ś), półprzepuszczalnej błony
Z
światłoczułej (B), dwóch zwierciadeł (Z ,Z ) oraz 2
1 2
Åš B
detektora (D).
Wiązka światła ze z
ródła trafiała na błonę i
rozszczepiała się na dwie wiązki o
| u |
prostopadłych kierunkach, które docierając do
detektora pokonywały różne drogi. Z
D
transformacji Galileusza wynikałoby, że
poruszały się one również z innymi prędkościami
(jeżeli uwzględnimy prędkość ruchu Ziemi). Świadczyć o tym powinny prążki na detektorze,
których jednak nie zaobserwowano. Wobec tego prędkość obu wiązek światła powinna być
identyczna. Doświadczenie dowiodło, że prędkość światła jest jednakowa w każdym
układzie odniesienia i w ten sposób obaliło istnienie eteru. Doświadczenie było powtarzane,
jednak stwierdzono, że brak prążków jest wynikiem błędu pomiaru.
Nieco póz
niej Einstein stwierdził, że doświadczenie prowadzi do stwierdzenia, iż należy
wybrać pomiędzy prawami Newtona i transformacją Galileusza a prawami Maxwella
i transformacją Lorentza. Wobec tego zaprezentował swoje postulaty - postulaty Einsteina:
1. Wszystkie prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
2. Prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach
odniesienia i wynosi c H" 3108 m/ .
s
Wynika z nich, że nie ma żadnego wyróżnionego inercjalnego układu odniesienia, a
określanie ruchu ma sens dopiero po obraniu konkretnego układu. Ponadto, czas nie jest
wielkością uniwersalną, czego konsekwencją są: względność równoczesności, dylatacja
czasu, skrócenie długości w kierunku ruchu i równoważność masy i energii.
Czasoprzestrzeń
Einstein wprowadził czwarty wymiar i w ten sposób powstała czasoprzestrzeń. Współrzędne
geometryczne czasoprzestrzeni zapisujemy: [x,y,z,ct]. Wielkością niezmienniczą dla
2 2 2 2
2
czasoprzestrzeni jest interwał czasoprzestrzenny: S = ("x) + ("y) + ("z) + c2("t) , S=const.
Lampa błyskowa w wagonie
| u |
Długości dróg dotarcia światła do obu ścian wagonu
l2 l1
są różne, bo wagon zdąży się przesunąć, zanim
światło dotrze do ścian. Efekt jest w zasadzie
niezauważalny w codzienności.
l l
2 2
18
Transformacja Lorentza
Transformacja prosta Transformacja odwrotna
x'+ut' x - ut
x = x'=
u - prędkość układów względem siebie (jeden
u2 u2
1- 1-
uznajemy za nieruchomy), | u |= const
c2 c2
y = y' y'= y
Transformacja Galileusza jest
z = z' z'= z
szczególnym przypadkiem transformacji
x' x
Lorentza, gdyż dla u«c z powyższych
t'+u t - u
c2 c2
t = t'= wzorów otrzymujemy wzory
u2 u2
transformacyjne Galileusza.
1- 1-
c2 c2
y y
Dylatacja czasu
Mamy nieruchomy układ odniesienia OXY i poruszający
| u |
się względem niego z prędkością | u |= const wzdłuż osi OX Z
układ O X Y . Z układem ruchomym są związane:
L
zwierciadło Z oraz z
ródło światła i detektor w punkcie O .
x x
W chwili początkowej układy nakładają się: t=t =0.
Obliczamy czas przebycia przez światło drogi od z
ródła
0 0
ut
do zwierciadła i spowrotem.
2L
- UkÅ‚ad ruchomy: t'= Ô! 2L = ct'Ô! 4L2 = c2t'2
c
2
ut
ëÅ‚ öÅ‚
- UkÅ‚ad nieruchomy: s = 2 L2 + Ô! s2 = 4L2 + u2t2 Ô! c2t2 = 4L2 + u2t2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
A
ącząc powyższe równania mamy:
c2t2 = c2t'2 +u2t2
c2t2 - u2t2 = c2t'2
t2(c2 - u2)= c2t'2
c2t'2
t2 =
c2 - u2
t'2
t2 = '
u2
1-
c2
t'
t = ,t > t'
u2
1-
c2
y y
| u |
Skrócenie Lorentza
Mamy nieruchomy układ odniesienia OXY i układ
poruszający się względem niego z prędkością | u |= const
układ O X Y . Z układem ruchomym są związane: x x
zwierciadło Z oraz z
ródło światła i detektor w punkcie O .
Z
0 0
W chwili początkowej układy nakładają się: t=t =0.
L
19
Obliczamy drogę przebytą przez światło od z
ródła do
zwierciadła i spowrotem.
- UkÅ‚ad ruchomy: L'= c Å"t'
- Układ nieruchomy: L = t1(c + u)= t2(c - u), t = t1 + t2
u2
L = L' 1- , L < L'
Po wyprowadzeniu ostatecznie otrzymujemy zwiÄ…zek:
c2
Długość ciała ulega skróceniu, ale tylko w kierunku ruchu.
Dlatego też np. w sytuacji poniżej skróceniu ulega tylko składowa pozioma długości pręta.
Zmienia się również wartość kąta.
y
y
| u |
l
Ć
x
0
x
0
Transformacja Lorentza dla prędkości
dx dx'
vx = vx '=
dt dt
dy dy'
vy = vy '=
dt dt
dz dz'
vz = vz '=
dt dt
vx '+u
vx =
vx '
1+ u
c2
Konsekwencją tego przekształcenia jest wzór na
vy '
vy =
relatywistyczne składanie prędkości:
ëÅ‚ öÅ‚
u2 vx '
1- ìÅ‚ ÷Å‚
u
c2 ìÅ‚1+ c2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
vx '+u
vx =
vz '
vx '
vz =
1+ u
ëÅ‚ öÅ‚
u2 vx '
1- ìÅ‚ ÷Å‚
u
c2
c2 ìÅ‚1+ c2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Np:
Mamy ruch wzdłuż osi x. Prędkość światła jest w układzie
0
x
| u |
ruchomym równa c. Wyznaczmy prędkość światła w
0
x
układzie nieruchomym, jeżeli układ ruchomy porusza się
vx =c
względem niego z prędkością u.
c + u c + u c + u c
vx = = = = (c + u)Å" =
c
c u c + u
c + u
1+ u 1+
c2 c c
Prędkość okazała się być równa taka sama, pomimo ruchu układów względem siebie.
Dowodzi to słuszności drugiego postulatu Einsteina.
20
Prawa mechaniki klasycznej prawdziwe także dla mechaniki relatywistycznej:
r F
a =
m
m0
ale, m = , co jest zauważalne tylko w mikroświecie.
p = mv
v2
1-
d p
c2
F =
dt
Masa zmienia się wraz z prędkością. Zjawisko jest wykorzystywane w cyklotronie i betatronie.
W betatronie w odróżnieniu od cyklotronu następuje zmiana indukcji pola, poza tym
urządzenia są podobne (ich celem jest przyspieszanie cząstek). Promień toru cząstki zależy
od jej pędu, a skoro pęd zależy od masy, to masa wpływa na zwiększenie promienia toru.
Przy zwiększaniu prędkości rośnie masa ciała. Powoduje to zmniejszenie przyspieszenia,
przez co prędkość maleje i nigdy nie przekracza prędkości światła!
Równoważność masy i energii
E0 = m0c2
º Energia spoczynkowa:
m0c2
E = mc2 =
º Energia caÅ‚kowita ciaÅ‚a w ruchu:
v2
1-
c2
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1
m0c2
-1÷Å‚
º Energia kinetyczna w relatywistyce: Ek = mc2 - m0c2 = - m0c2 Ek = m0c2ìÅ‚
ìÅ‚
v2 ÷Å‚
v2
ìÅ‚ ÷Å‚
1-
1-
ìÅ‚
c2 ÷Å‚
c2 íÅ‚ Å‚Å‚
Jeżeli ostatnie równanie rozwiniemy w szereg, to dla v znacznie mniejszych od c otrzymamy:
m0v2
Ek H"
2
p2 m0
º W mechanice klasycznej mamy: Ek = ; p = mv i z mechaniki relatywistycznej: m = .
2m0
v2
1-
c2
StÄ…d otrzymujemy:
m0v v2 v2
p = Ô! p 1- = m0v Ô! p2 - p2 = m0 2v2 Ô! p2c2 - p2v2 = m0 2v2c2 Ô! m0 2v2c2 + p2v2 = p2c2 Ô!
c2 c2
v2
1-
c2
p2c2
m0c2
v2(m0 2c2 + p2)= p2c2 Ô! v2 =
oraz E =
p2 + m0 2c2
v2
1-
c2
Dalej mamy:
p2 + m0 2c2
m0c2 m0c2 m0c2
E = c p2 + m0 2c2
E = = = = m0c2 Ô!
m0c
m0c
p2
p2 + m0 2c2 - p2
1-
p2 + m0 2c2
p2 + m0 2c2
p2 + m0 2c2
Otrzymany wzór przedstawia zależność energii całkowitej ciała od pędu w mechanice
relatywistycznej. Potwierdził on teorię Plancka głoszącą, że światło jest wiązką korpuskuł.
21
DUALIZM KORPUSKULARNO-FALOWY
Energia fotonu
Każdy foton niesie kwant energii (ale masa spoczynkowa fotonu wynosi 0, ponieważ nie
zaobserwowano nigdy nieruchomego fotonu).
c
E = p Å" c , a ponadto: E = h½ = h
f f

h ½
c
p = = h
pc = h Ò! Wzór wiąże cechÄ™ korpuskuÅ‚ - pÄ™d z cechÄ… fal - dÅ‚ugość (lub czÄ™stotliwość).
 c

Wzór umożliwia obliczenie masy fotonu (w ruchu).
h
h
m =
p = = mc Ò!
c

Doświadczenie Lebiediewa
Mamy odpompowany cylinder przykryty szklaną pokrywką (przepuszczającą światło). Jest
też wiatraczek z czterema kulistymi tarczami, od góry pokrytymi sadzą, a od spodu
powierzchnią lustrzaną. Światło leciała przez cylinder i obserwowano ruchy wiatraczka.
Dowodziło to, że fotony zderzały się z tarczami, a więc musiały
istnieć. Gdy trafiały na sadzę, były absorbowane i wiatraczek
absorpcja odbicie
słabo się poruszał. Gdy przepuszczano je z drugiej strony -
"p=pf "p=2pf
trafiały na powierzchnię lustrzaną i wiatraczek szybciej się
poruszał, bo otrzymywał większy pęd.
Doświadczenie z lampą rtęciową i elektrometrem
Lampa rtęciowa oświetla elektrometr przez płytkę kwarcową, która zatrzymuje
promieniowanie ultrafioletowe. Gdy elektrometr jest naładowany dodatnio, to po usunięciu
płytki nic się nie dzieje. Jeżeli jest on naładowany ujemnie, wówczas następuje jego
rozładowanie. Miało miejsce zjawisko fofotelektryczne zewnętrzne.
Efekt fotoelektryczny zewnętrzny
- Zjawisko zostało odkryte przypadkowo. Lampę próżniową dwuelektrodową oświetlano
ultrafioletem, chcąc otrzymać promienie katodowe. Okazało się, że przez próżnię płynie
prąd. Stwierdzono, że w lampie pozostały gazy resztkowe i uznano to za błąd.
- Zjawisko nie jest obserwowane dla każdej fali świetlnej - zachodzi w zależności od długości
fali.
- Wielkość otrzymanego fotoprądu nie zależy bezpośrednio od energii, jaką fala przenosi,
ale od natężenia światła.
- Einstein stwierdził, że pojedynczy foton o energii Ef padając na metal ginie, a na jego
miejsce pojawia się również jeden elektron.
- W metalach występują wolne elektrony, ale w temperaturze pokojowej mają zbyt małą
energię, aby wyrwać się z sieci krystalicznej - trzyma je energia wiązania. Dopiero
dodatkowa energia niesiona przez fotony daje im możliwość uwolnienia z metalu.
E = W + Ek , gdzie W jest pracą wyjścia elektronu, równą co
- Równanie Einsteina-Millikana:
f
do wartości energii wiązania elektronu w danym metalu, a Ek jego energią kinetyczną. W
m0v2
większości przypadków korzystamy ze wzoru klasycznego na energię kinetyczną: Ek = ,
2
z relatywistycznego ( Ek = mc2 - m0c2 ) w odosobnionych przypadkach.
- Wyrwane elektrony poruszajÄ… siÄ™, dlatego obserwujemy fotoprÄ…d.
22
- Granicą zjawiska fotoelektrycznego zewnętrznego jest określana następująco: minimalna
energia fotonu równa jest pracy wyjścia elektronu z metalu: E e" W . Mówimy o granicznej
f
hc
czÄ™stotliwoÅ›ci lub granicznej dÅ‚ugoÅ›ci fali: h½ = = W . Dla ½ <½ , czy  > gr zjawisko nie
gr gr
gr
zachodzi - energia fotonu jest zbyt mała, by wyrwać elektron.
- Zjawiska fotoelektrycznego zewnętrznego nie da się wytłumaczyć za pomocą teorii
falowej, więc dowodzi ono, iż światło jest wiązką korpuskuł.
hc
= n
- Energia strumienia świetlnego , gdzie n - liczba fotonów. Im większa liczba fotonów,

tym większe jest natężenie światła i większa jest energia przenoszona przez strumień
świetlny, a więc większe jest natężenie fotoprądu.
W podobnym czasie udowodniono, że światło ma naturę korpuskularną (poprzez efekt
fotoelektryczny zewnętrzny) oraz falową (Hertz potwierdził teorię Maxwella poprzez
doprowadzenie do interferencji i dyfrakcji długiej fali radiowej).
W zjawisku fotoelektrycznym zewnętrznym zaobserwowano, że przy danej długości fali, jeżeli
zwiększymy natężenie światła, to wzrasta liczba fotoelektronów. A ponieważ fala zawsze
niesie tę samą ilość energii (przy ustalonej długości), to trzeba uwzględnić, że światło jest
wiązką korpuskuł.
Jeżeli chcemy mieć metal naładowany powierzchniowo, musimy zabrać energię kinetyczną
hc
wybitym elektronom, nie da się bowiem tak idealnie dobrać długości fali, aby = W

h½
Fala świetlna (zwykle UV), pada na jedną z elektrod kondensatora.
Ustalamy tę elektrodę jaką dodatnią, wówczas elektron nie wylatuje i
e
zostaje na powierzchni metalu. Pomiędzy elektrodami występuje napięcie,
hc
= W + eU
zwane napięciem hamowania. Ek = eU i w konsekwencji:
h
h

Uh
R
Zad. Kulę miedzianą, umieszczoną w próżni, oświetlamy światłem o  > gr . Dana
jest również praca wyjścia elektronu z miedzi W oraz promień kuli R. Do jakiego
Cu
ładunku naładuje się kula?
Energia kinetyczna ma związek z potencjałem na powierzchni kuli: Ek = eV . Ponadto:
hc hc hc W 1 Q
Ek = -W . A wiÄ™c: eV = -W Ò! V = - . Dalej: V = Ò! Q = 4Ä„µ0VR .
  e e 4Ä„µ0 R
4Ä„µ0R hc
ëÅ‚ öÅ‚
Ostatecznie: Q =
ìÅ‚ -W
÷Å‚
e 
íÅ‚ Å‚Å‚
4Ä„µ0R hc
ëÅ‚ öÅ‚
Odp: Q =
ìÅ‚ -W
÷Å‚
e 
íÅ‚ Å‚Å‚
Czasem możemy zaobserwować zjawisko wybijania elektronów z pyłu księżycowego -
widać charakterystyczną aureolę -  księżyc w lisiej czapie .
Zjawisko fotoelektryczne zachodzi też w półprzewodnikach, ale ma nieco inny mechanizm.
23
Promieniowanie Roentgena
Było początkowo nazywane promieniowaniem X, ponieważ nie
wiedziano, czym naprawdÄ™ jest. Roentgen
chciał osiągnąć promieniowanie katodowe.
Wykorzystał układ nazywany lampą
rentgenowską. Przyspieszał w niej elektrony
napięciem rzędu 10kV. Zaobserwował, że
występuje dodatkowe świecenie. Natężenie tego światła zmieniało
się w sposób ciągły w zależności od długości fali, ale
zaobserwowano też charakterystyczne piki (dopiero na wykresie).
Elektrony miały energię rzędu 10keV. Jeden elektronowolt to
1eV =1,6Å"10-19 J
energia, jaką uzyskuje jeden elektron przyspieszany napięciem wielkości 1V .
Uzyskane promieniowanie przenikało materię, jednak nie zaobserwowano żadnych zjawisk
charakterystycznych dla fal. Promieniowanie Roentgena jest czasem nazywane
promieniowaniem hamowania, bowiem elektrony rozpędzają się, a następnie zatrzymują na
antykatodzie i przekazują jej energię eU. Antykatoda uzyskując energię wysyła kwant
hc
Å›wiatÅ‚a, eU = h½ = i powstaje charakterystyczne widmo promieniowania

rentgenowskiego. Dla tego widma można określić graniczne wartości częstotliwości i
c
dÅ‚ugoÅ›ci fali: ½ = . Charakterystyczne piki na wykresie natężenia promieniowania od
gr
gr
długości fali (oznaczane K i L) występują, gdy elektron posiada bardzo dużą energię i wnika
głęboko do materiału tworzącego antykatodę. Wówczas wybija elektron z głębi siatki
krystalicznej, powstaje tam puste miejsce, a elektron wracajÄ…c do niego przechodzi z orbity
wyższej na niższą, co wywołuje emisję energii. Długość fali promieniowania rentgenowskiego
można oszacować następująco:
hc hc 4 m
U = 10 kV = 10 V
eU = Ò!  = ; ; e = 1,6 Å"10-19C ; c = 3Å"108 ; h = 6,625 Å"10-34 Js
 eU s
m
6,625Å"10-34 Js Å"3Å"108
s
 = H" 10-10 m = 1Å - angstrem [engsztrem]
1,6 Å"10-19C Å"104V
Nie udało się sztucznie otrzymać siatki
dyfrakcyjnej, która mogłaby załamywać
fale długości jednego angstrema. Taką
siatkę stworzyła jednak natura - jest to siatka
krystaliczna. Istotny w tym przypadku jest nie
kÄ…t padania, a kÄ…t dopeÅ‚niajÄ…cy go do 90º,
tzw. kąt poślizgu.
2d sin¸ = n
Warunek dla siatki:
Promienie ugięte na krysztale są
monochromatyczne. Na kliszy otrzymujemy
charakterystyczne zaciemnienia. TakÄ… kliszÄ™
nazywamy laogramem. Na jej podstawie można
określić rodzaj struktury krystalicznej.
24
Doświadczenie Comptona
Compton chciał w swoim doświadczeniu
rozproszyć promienie rentgenowskie.
Promieniowanie
rozproszone
Åš=0
Åš=Ä„/4
Dla Åš=0 zaobserwowano jeden pik. Dla
większych kątów obserwowano po dwa piki,
przy czym im większy kąt, tym większe było
Åš= Ä„/2
przesunięcie (przesunięcie comptonowskie)
drugiego pika w kierunku fali długich. Wówczas
zmniejszała się energia fotonu i jest to logiczne,
Åš= 3Ä„/4
ponieważ foton przekazywał część swojej
energii elektronowi. Tego zjawiska też nie dało
się wytłumaczyć za pomocą teorii falowej,
długość fali 
więc świadczy ono o korpuskularnej naturze
światła.
Na nieruchomy elektron pada foton i następuje zderzenie cząstek. Jest
to zderzenie doskonale sprężyste - zachowane są energia i pęd.
pf '
Przed zderzeniem Po zderzeniu
p
f
Foton: Foton:
Åš
c c
E = h = p Å" c E '= h = p 'Å"c
f f f f
 '
h h
pe
p = p '=
f f
 '
Elektron: Elektron:
p = p ' + pe
f f
E0 = m0c2
E = mc2 = c pe 2 + m0 2c2
E + m0c2 = E '+c pe 2 + m0 2c2
f f
pe = 0
pe = ...
" =  - '
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy zależność: - wzór na
h
h
" = (1- cos¸ )
przesunięcie comptonowskie. Ponadto: , gdzie jest comptonowską
m0c
m0c
długością fali. Maksymalna zmiana długości fali równa jest podwojonej wartości
comptonowskie długości fali.
25
FALOWA NATURA MATERII
Teoria budowy atomu
- model Thomsona -  ciastko z rodzynkami - atom jest dodatnio naładowaną masą z
umieszczonymi w niej naładowanymi ujemnie ładunkami; model dowodził obojętności
ładunku atomu, ale nie wyjaśniał np. widm gazów szlachetnych w wysokich
temperaturach.
- model Rutherforda - w bardzo małej przestrzeni jest zbity ładunek dodatni i dookoła niego
krążą po orbitach kołowych ujemne ładunki - elektrony, które wypromieniowują energię;
teoretycznie powinny kiedyś stracić całą swoją energię i spaść do jądra, ale tak się nie
dzieje.
- model Bohra - w oparciu o teorię Plancka Bohr stworzył własną teorię, której znaczącym
elementem sÄ… orbity bohrowskie - miejsca najbardziej prawdopodobnego umiejscowienia
elektronów.
Świecenie gazów
Gazy w pewnych warunkach wykazują świecenie. To świecenie widm opisał Rydberg,
1 1 1
öÅ‚, k " N
= R Å"ëÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
wprowadzając wzór: , gdzie R=1,09677107 m-1 jest stałą Rydberga.
2
 22 k
íÅ‚ Å‚Å‚
Powyższy wzór opisuje widmo w zakresie widzialnym - seria Balmera. Nieco póz
niej wzór
1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚, n, k " N
= R Å" - ÷Å‚
ìÅ‚
został zmodyfikowany przez Ritza: . Ten wzór opisuje widmo
2
 n2 k
íÅ‚ Å‚Å‚
dowolnej serii. Został on stworzony doświadczalnie na podstawie badań widma wodoru.
Postulaty Bohra:
I. Elektron w atomie wodoru porusza się po orbicie kołowej i podlega prawom fizyki
klasycznej. Siłą dośrodkową jest siła oddziaływania coulombowskiego.
II. Dozwolone są jedynie te orbity, z punktu widzenia mechaniki klasycznej, na których
h
h
L = n = nh,n " N
h =
elektron mam moment pędu skwantowany. , gdzie , a n jest
2Ä„
2Ä„
numerem orbity - pierwszą liczbą kwantową - liczbą główną.
III. Elektron przy przejściu z jednej orbity na drugą może emitować bądz
absorbować kwant
E - E = h ½
światła. , gdzie En - energia wiązania elektronu na n-tej orbicie, a Ek -
n k
na k-tej.
Wyprowadzenie wzoru Rydberga z postulatów Bohra
2
1 e Å" e mvn e2
(1 ) : Å" = Ò! rn =
2
4Ä„µ0 rn2 rn 4Ä„µ0mvn
h h
(2) : L = n '" L = rn × pn '" pn = mvn Ò! mvnrn = n
2Ä„ 2Ä„
2
mvn e2
(3) : En = Ekin + Epot = -
2 4Ä„µ0rn
2
e
prędkość elektronu na n-tej orbicie
e2 h
v =
n
(1 ) '" (2) : mvn Å" = n Ò!
2 2 µ nh
0
4Ä„µ0mvn 2Ä„
26
e2 µ0n2h2 promieÅ„ n-tej orbity
rn =
rn = Ò!
Ä„me2 Å"
e4
4Ä„µ0m Å"
4µ02n2h2
m e4 e2 me4 me4
4
(3) : En = Å" - = - Ò! me
energia
E = -
2 µ0n2h2
4µ02n2h2 4Ä„µ0 Å" 8µ02n2h2 4µ02n2h2
n
2
2 2 elektronu na
8µ n h
0
n-tej orbicie
Ä„me2
(4) : h½ = En - Ek
me4 me4 me4 1 1 hc me4 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 me4 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
h½ = - - = Ô! = Ò!
ìÅ‚ - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
2
k n2 Å‚Å‚  k n2 Å‚Å‚  = 8µ0 2h3c ìÅ‚ k 2 - n2 ÷Å‚
8µ02n2h2 8µ02k h2 8µ02h2 2 8µ02h2 2
íÅ‚ íÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Z postulatów Bohra otrzymujemy tę samą zależność, która wynikała z obserwacji
doświadczalnych (wzór Rydberga).
e-
Postulaty Bohra dobrze opisywały widmo atomu wodoru. Podobnie było w
+Ze
przypadku jonów wodoropodobnych. Są one atomami o liczbie atomowej Z,
z których usunięto Z-1 elektronów. Posiadają one różne ładunki jądra
wartości Ze, ale zgodne są co do posiadania tylko jednego elektronu.
mZ2e4
Wówczas: En = - . W rozważaniach pomijamy siłę grawitacji, ponieważ jest ona
8µ02n2h2
me Å" mp
e2
bardzo maÅ‚a: Fe = - ;FG = G ; gdzie: e =1,6Å"10-19C,me = 9,1Å"10-31kg,mp =1,6Å"10-27 kg
4Ä„µ0r2
rn 2
Klasyczna teoria Bohra została obalona, ale nie zaprzestano jej stosowania, ponieważ w
bardzo dobry sposób opisuje widma wodoru.
Teoria de Broglie a i jego postulat
h
h
 =
Louis de Broglie stwierdziÅ‚, że materia jest falÄ…. Postulat de Broglie a: p = mv = Ò!
mv

h
 Fala materii o masie m, poruszającej się z prędkością v ma długość  .
mv
Zależność ta jest wykorzystywana w mikroskopach elektronowych.
Fale materii są bardzo małe. Do pokazania ich dyfrakcji użyto kryształów. Dokonano tego
np. dla elektronu, jednak potrzebne były duże prędkości. Było to możliwe, ponieważ
elektrony oddziaływały z cząstkami wewnątrz sieci krystalicznej, a poza tym relatywistycznie
zmieniała się ich masa. Najpierw jednak udało się przeprowadzić doświadczenie z
6,625Å"10-34 4Å"10-7
neutronami, dla których:  = H" . Dla prędkości v =1000m/s otrzymano fale
1,67Å"10-27 Å"v v
dÅ‚ugoÅ›ci rzÄ™du 1Å, wiÄ™c możliwe byÅ‚o ukazanie dyfrakcji.
Dualizm korpuskularno - falowy wprowadzony dla światła przez Plancka został póz
niej
przeniesiony na materiÄ™ przez de Broglie a.
- parametry falowe: dÅ‚ugość , czÄ™stotliwość ½,
- parametry korpuskularne: pęd p, energia E.
Założenie leżące u podstaw mechaniki kwantowej postawił do Broglie twierdząc, że w
przyrodzie panuje symetria, więc skoro światło - fala jest w pewnym przypadku wiązką
cząstek, to podobnie materia w pewnych sytuacjach zachowuje się jak fala. Póz
niej
Schrödinger opisaÅ‚ funkcjÄ™ falowÄ….
27
Następnie Davisson i Germer doprowadzili do interferencji elektronów na sieci krystalicznej -
zaobserwowali na ekranie prążki interferencyjne, ale były one widoczne dopiero przy dużej
liczbie elektronów. Elektrony były przyspieszane napięciem U w polu elektrycznym, więc:
1 p2
E k = mv2 = eU Ô! = eU Ò! p = 2meU
2 2m
h
h h
 =
długość fali materii elektronu przyspieszanego napięciem U
p = mv = Ò!  = Ò!
 p 2meU
10-9
Jeżeli podstawimy wartości stałych (h,m,e), to otrzymamy:  H" , długość takiej fali jest
2U
bardzo mała, dlatego jej dyfrakcję interferencję obserwowano tylko w kryształach.
Sinusoidalna fala płaska
Dla fal wyróżniamy prędkość fazową oraz prędkość grupową. W myśl teorii de Broglie a
cząstka jest paczką falową, a więc prędkość jej poruszania jest prędkością grupową.
Równanie fali pÅ‚askiej: Å› = Asin(Ét - kx)
É dÉ
Charakteryzują ją dwie prędkości: fazowa i grupowa. v = ; vg = . Prędkość grupowa -
f
k dk
prędkość przemieszczania się maksimum paczki falowej. Każde zaburzenie można uznać za
paczkÄ™ falowÄ… kilku fal sinusoidalnych.
É 2Ä„ 2Ä„
(1) : E = h½ = h Ò! É = E Ò! dÉ = dE
2Ä„ h h
2Ä„ h 2Ä„ 2Ä„
(2) : k = '"  = Ò! k = p Ò! dk = dp
 p h h
v
g
dÉ dE p2 2 p mv
(1) '" (2) : = '" E = Ò! vg = = = v
dk dp 2m 2m m
x
vg = v
Prędkość grupowa fali materii to prędkość korpuskuły - .
"x
Fale materii są zauważalne tylko w mikroświecie, ponieważ w makroświecie mają zbyt małe
długości.
Funkcja falowa - wielkość fizyczna będąca w danym miejscu pola falowego i w danej chwili
miarą zaburzenia równowagi elementów.
Równanie fali pÅ‚askiej: Å› = Asin(Ét - kx) . Korzystamy również ze wzoru Eulera: eix = cos x + i sin x .
RozwiÄ…zanie równania fali pÅ‚askiej zaproponowaÅ‚ uczeÅ„ Schrödingera - Max de Born, który,
È =È Å" ei(kx-Ét) .
korzystając z analogii do fali mechanicznej, zapisał funkcję falową w postaci:
0
Sens fizyczny ma dopiero iloczyn funkcji falowej i jej sprzężenia i jest on równy gęstości
2
*
È Å"È = È
prawdopodobieństwa wystąpienia cząstki w pewnym elemencie w przestrzeni .
Prawdopodobieństwo wystąpienia cząstki w elemencie objętości dV określa się
"
2 2
nastÄ™pujÄ…co: dP = È dV . Ponadto oczywista jest zależność: dV = 1, która Å›wiadczy o
+"È
-"
tym, że cząstka zawsze znajduje się w jakimś punkcie przestrzeni.
28
Zasada nieokreśloności (nieoznaczoności) Heisenberga:  jest rzeczą niemożliwą
równoczesne i dokładne zmierzenie pary wielkości fizycznych takich, jak położenie i pęd
oraz energia i czas .
h
"x Å" "px e"
2Ä„
h
"y Å" "py e"
2Ä„
h
"z Å" "pz e"
2Ä„
h
Przyjmijmy ruch wzdÅ‚uż osi 0X: "x Å" "px e" .
2Ä„
px 2 2 px "E
Ponadto: E = Ò! "E = "px '" px = mvx Ò! "E = vx"px Ò! "px =
2m 2m vx
h
"x h
"t Å" "E e"
Podstawiamy do nierównoÅ›ci: "E e" Ò! (druga postać zasady nieoznaczonoÅ›ci).
2Ä„
vx 2Ä„
Zasada ujawnia się np. w przypadku elektronu: można określić jego energię na danej
orbicie, ale wtedy jest trudno dokładnie zmierzyć czas jego życia.
Konsekwencje zasady nieoznaczoności są zauważalne w mikroświecie, w makroświecie nie
da się ich zaobserwować.
Równanie Schrödingera - równanie umożliwiajÄ…ce zapisanie funkcji falowej, potrzebnej do
określenia prawdopodobieństwa występowania cząstki w przestrzeni. Bazujemy w nim na
2
dP = È dV
równaniu falowym.
ëÅ‚ öÅ‚
h2 "2È "2È "2È h "È
÷Å‚
- ìÅ‚ + + +VÈ = i Å"
, gdzie V jest energiÄ… potencjalnÄ… czÄ…stki.
2
ìÅ‚
8Ä„ m "x2 "y2 "z2 ÷Å‚ 2Ä„ "t
íÅ‚ Å‚Å‚
Rozwiązując powyższe równanie możemy znalez
ć orbity w atomach. Z tego równania
wykazano, że orbity bohrowskie są miejscem najbardziej prawdopodobnego występowania
elektronów.
Równanie Schrödingera jest równaniem różniczkowym stopnia drugiego. Jest to równanie
operatorowe.
îÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
h2 "2 "2 "2 Å‚Å‚ h "È ëÅ‚ öÅ‚
h2 "2 "2 "2 ÷Å‚
, gdzie: - ìÅ‚
+ + jest operatorem energii
ïÅ‚- 8Ä„ 2m ìÅ‚ "x2 + "y2 + "z2 ÷Å‚ +V śłÈ = i 2Ä„ Å" "t
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ìÅ‚
8Ä„ m "x2 "y2 "z2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
kinetycznej, a V operatorem energii potencjalnej.
RozwiÄ…zujÄ…c równanie Schrödingera otrzymujemy energie wÅ‚asne na poszczególnych
orbitach oraz postać funkcji falowej. Funkcja falowa opisuje stan cząsteczki. Funkcję falową
możemy rozdzielić na zależność przestrzenną i zależność czasową (która jest
eksponencjalna).
-iEt
h
h
h
È (x, y, z,t) =È (x, y, z)Å"e
, = 2Ä„
Jeżeli rozważymy ruch wzdłuż jednej z osi, np osi 0X, to zapisujemy jednowymiarowe
h2 "2È
- +VÈ = EÈ
równanie stacjonarne Schrödingera:
2
8Ä„ m "x2
29
Własności funkcji falowej:
"
*
- Å"È dV = 1 - czÄ…stka znajduje siÄ™ gdzieÅ› w przestrzeni,
+"È
-"
- skończona - cząstka ma skończone wymiary,
- ciągła - cząstka jest niepodzielna,
- jednoznaczna - czÄ…stka jest jedna.
Studnia (jama) potencjału
Mamy studnię potencjału o szerokości a. W obszarach 1 i 3
1 2 3
potencjał jest nieskończony, więc funkcja falowa jest zerowa
V=" V=0 V=" - tam nie ma cząsteczki. Cząstka ma skończony potencjał
tylko w obszarze 2 i tylko tam może się znajdować (wewnątrz
È=0 È`"0 È=0
studni).
0 a
2
"2È 8Ä„ mE
h2 "2È
+ È = 0
V = 0 Ò! - +VÈ = EÈ Ô!
2
"x2 h2
8Ä„ m "x2
2
8mĄ E
È = A1 sin kx + A2 cos kx
Rozwiązanie ostatniego równania: , gdzie k2 = , a A1,A2 - stałe.
h2
Widać ze wzoru, iż funkcja falowa ma charakter oscylacyjny.
2
n2Ä„ h2
En =
Energia czÄ…stki wewnÄ…trz studni jest skwantowana:
2ma2
Energia cząstki na poszczególnych poziomach energetycznych:
2
Energia È (x)
È (x)
n=1
n=2
n=3
Oscylator kwantowy
V(x)
Może nim być np. jon drgający w sieci krystalicznej.
En
Poziomy energetyczne są tutaj równoodległe (inaczej
1
niż w poprzednim przypadku).
V = kx2
En-1
W makroświecie nie obserwujemy kwantyzacji energii, 2
różnice są zbyt małe do zaobserwowania. Inaczej jest
w mikroświecie - wielkości są większego rzędu i można
je zaobserwować. x
Równanie Schrödingera ma też zastosowanie w atomach wodoropodobnych. Wtedy jednak
należy przejść na współrzędne sferyczne i równanie przyjmuje bardzo skomplikowaną
postać. Rozwiązując je dochodzimy do wniosku, że orbity bohrowskie są miejscami
30
najbardziej prawdopodobnego występowania elektronów w atomie. Bohr stwierdził, że
elektrony mogą zajmować tylko określone miejsca w przestrzeni wokół jądra atomowego (tj.
orbity bohrowskie). Określił też liczby kwantowe:
- n - główna liczba kwantowa, numer orbity,
- l - orbitalna liczba kwantowa,
- m - magnetyczna liczba kwantowa, informuje o własnościach magnetycznych.
E
= n2
Liczby kwantowe sÄ… zwiÄ…zane z równaniem Schrödingera. Ważny jest tu wzór: , gdzie
En
E jest energiÄ… w stanie podstawowym.
Zakres Pauliego:  w danym stanie elektrycznym nie mogÄ… siÄ™ znalez
ć cząstki o tych samych
liczbach kwantowych . Aby to założenie było rzeczywiście spełnione, wprowadzono
czwartą liczbę kwantową - spin (liczbę spinową), czyli moment własny. Dla wodoru w stanie
podstawowym wykonano doświadczenie, polegające na przepuszczeniu wiązki elektronów
w polu magnetycznym. Zaobserwowano wówczas efekt Zeemana, na ekranie pojawiły się
dwa punkty (a nie jeden), co oznaczałoby, że elektron  ma dwie energie . (Podobny efekt
daje przepuszczenie wiÄ…zki przez pole elektryczne - obserwujemy
s=½
efekt Starka). Okazało się, że obie wartości były takie same, ale
n, l, m
jedna z nich była ujemna, co jest wywołane faktem, iż spin jest
s=×½
wektorem (znak wynika ze zwrotu). Na danym poziomie
energetycznym mogą występować dwa elektrony - o tych samych
liczbach n, l, m, ale o przeciwnych spinach.
Wszystkie czÄ…stki o spinie s=½ to fermiony - podlegajÄ… one statystyce Fermiego - Diraca.
Z kolei cząstki o spinie całkowitym (np. fotony) nazywamy bozonami - podlegają one
statystyce Bosego - Einsteina.
31
FIZYKA J
DROWA
Atomy mają rozmiary rzędu jednego angstrema.
JÄ…dro atomowe
Ma ono rozmiary rzędu 10-15m, jest więc skupione na obszarze znacznie mniejszym niż atom.
Ma ładunek elektryczny dodatni. Wyróżniamy jądra trwałe (stabilne) oraz nietrwałe
(niestabilne) - promieniotwórcze. Każde jądro składa się z protonów i neutronów:
- proton: mp = 1,672 Å"10-27 kg , qp = 1,6 Å"10-27C ,
- neutron: mn = 1,674 Å"10-27 kg , qn = 0C .
JÄ…dro bywa nazywane nuklidem, symboliczne oznaczenie:
A - liczba masowa, równa liczbie nukleonów (neutronów i protonów)
A
Z - liczba atomowa (porządkowa), równa liczbie protonów
X
Z
A-Z - liczba neutronów
Jądra danego pierwiastka mogą się różnić liczbą neutronów i wtedy są izotopami (Z1=Z2,
A1`"A2). Najbardziej znane izotopy (wodoru) wykryto w spektrometrze masowym:
1 2 3
H H H (prot, deuter i tryt). Nuklidy o tej samej liczbie A to izobary (Z `"Z , A =A ). Z kolei,
1 2 1 2
1 1 1
jeżeli jądra mają tę samą liczbę neutronów są izotonami (A1 - Z1 = A2 - Z2).
1
3
R = (1,2 Å"10-15)Å" A
Średni promień jądra pierwiastka: , gdzie A - liczba masowa.
Gęstość materii jądrowej (jądro jest w przybliżeniu sferą):
mj 3mn
A Å" mn kg
Á =
Á = = Ò! Á = 2,3 Å"1017 (najbardziej upakowana materia)
3
4 4 3
m3
4Ä„ Å"(1,2 Å"10-15)
Ä„R3 Ä„ Å"(1,2 Å"10-15) Å" A
3 3
Defekt masy
Z Å" mp + (A - Z) Å" mn `" mj
Okazuje się, że . Ma to związek z tzw. defektem masy. Masa  ginie , a
Ew = "m Å" c2
tak naprawdÄ™ zostaje zamieniona na energiÄ™ wiÄ…zania jÄ…dra atomowego.
Wykres nie jest ciągły, można dostrzec  piki
dla pierwiastków związanych z liczbami
 magicznymi , tj. wielokrotnościami liczby 4.
Siły jądrowe
Mają ogromne wartości w porównaniu z innymi rodzajami sił (elektrostatycznymi,
magnetycznymi czy grawitacyjnymi).
32
Własności sił jądrowych:
- nie zależą od ładunku elektrycznego (trzymają zarówno protony jak i
neutrony),
- są krótkozasięgowe (zasięg rzędu 10-14 - 10-15m),
- mają własność wysycania, tzn. że każdy nukleon oddziałuje z ograniczoną
liczbą najbliższych sąsiednich nukleonów:
- nie są siłami centralnymi tzn. że nie działają wzdłuż prostych łączących
środki oddziałujących nukleonów.
- cząstką elementarną oddziaływania sił jądrowych są mezony (Ąż, Ą- i Ą+), masa mezonów
równa jest 1/7 masy protonu lub neutronu.
Modele struktury jÄ…dra atomowego
Najbardziej charakterystyczne modele to model kroplowy i model powłokowy.
Model kroplowy - przyrównuje jądro atomowe do kropli cieczy.
- nukleony jak cząsteczki cieczy oddziałują tylko z najbliższymi sąsiadami,
- emisję cząstki z jądra można porównać z wyparowaniem cząsteczki z cieczy,
- ruch nukleonów w jądrze może być analogiczny do ruchu termicznego cząsteczek w
cieczy.
Na podstawie modelu kroplowego opracowano wzór łączący energię wiązania z liczbą
atomową i masową - półempiryczny wzór Bethego-Weizsaekera.
2
2
2
a3Z (A - 2Z) -34
3
Ew = a1A - a2 A - - a4 Ä… a5 A
, gdzie A - liczba masowa, Z - liczba atomowa.
1
3 A
A
Model kroplowy lepiej sprawdza siÄ™ w przypadku jÄ…der nieparzystych:
Model powłokowy - powstał, aby wyjaśnić istnienie liczb magicznych.
Model zakłada, że nukleony znajdują się na orbitach scharakteryzowanych przez określone
liczby kwantowe. Nukleony obsadzają poszczególne poziomy zgodnie z zasadą Pauliego,
przy czym protony i neutrony zapełniają swoje oddzielne poziomy. Energia i kolejność
poziomów jakie zajmują poszczególne nukleony, zależy od przyjętego potencjału. Jeżeli
przyjmiemy, że potencjał jest tylko funkcją odległości od środka masy jądra i posiada
symetrię sferyczną, to orbity zajmowane przez nukleony są rozwiązaniami równania
33
h
ëÅ‚
" + V(r)öÅ‚È = EÈ
Schrödingera: ìÅ‚ ÷Å‚ . KsztaÅ‚t potencjaÅ‚u musi speÅ‚niać dwa podstawowe
2m
íÅ‚ Å‚Å‚
warunki:
- nie sięga daleko poza jądro (siły jądrowe są krótkiego zasięgu),
- nie zmienia się znacznie wewnątrz jądra i nie ma osobliwości w środku jądra.
Kształt potencjału przyjmowano jako oscylator harmoniczny, jamę potencjału nieskończenie
głębokiego, studnię prostokątną z wklęsłym dnem.
Studnie potencjału protonów i neutronów:
Promieniotwórczość
Wyróżniamy dwa rodzaje promieniotwórczości: naturalną i sztuczną.
Bequerel przeprowadził doświadczenia z różnymi pierwiastkami. Niektóre z nich
powodowały zaczernienie kliszy fotograficznej, inne - nie. Stwierdził, że istnieje pewne
promieniowanie i chciał je zbadać, sprawdzając jak oddziałuje na nie pole magnetyczne i
elektryczne.
Rodzaje promieniowania
- promieniowanie Ä… - emisja jÄ…dra helu He2+,
- promieniowanie ² - emisja elektronu e- lub pozytonu e+,
n
- promieniowanie Å‚ - promieniowanie elektromagnetyczne.
Rozpad Ä…
A A 4
X Z-4Y +2He + Q + Å‚
Widmo promieniowania Ä…
Z -2
EÄ… E
Cząstka ą w studni potencjału
Cząstka ą w myśl mechaniki klasycznej nie opuści studni E
potencjału, jeżeli ma energię mniejszą od energii wiązania
EwÄ…
czÄ…stki Ä… (ma zbyt niski poziom energetyczny) - odbije siÄ™ od
jej ściany. Prawdopodobieństwo odbicia jest równe 1. Dla
mechaniki kwantowej prawdopodobieństwo to mniejsze od 1
Ä…
EÄ…
i cząstka może opuścić studnię (efekt tunelowy).
2rj
34
 n
Rozpad ²
Widmo
- rozpad ²- - emisja elektronu,
promieniowania ²
- rozpad ²+ - emisja pozytonu.
E
Rozpad ²- Rozpad ²+
A A A A
X Z +1Y + e- + Q + Å‚ X Z -1Y + e+ + Q + Å‚
Z Z
~
n p + e- +½e p n + e+ +½e
(dla zachowania spinu powstaje antyneutrino (dla zachowania spinu powstaje neutrino
elektronowe - czÄ…stka o masie zaniedbywanej, elektronowe - czÄ…stka o masie zaniedbywanej,
Å‚adunku zerowym a spinie 1/2) Å‚adunku zerowym a spinie -1/2)
Model powłokowy a rozpady
Model powłokowy tłumaczy rozpady. Protony i neutrony zapełniają niezależnie swoje
poziomy energetyczne.
Na poczÄ…tku mamy jÄ…dro NastÄ™puje rozpad ²- - neutron Może też nastÄ…pić rozpad ²+ -
nieparzysto - nieparzyste, przechodzi w proton i mamy proton przechodzi w neutron i
bardzo nietrwałe. jądro parzysto - parzyste. mamy jądro parzysto - parzyste.
p p p
n n n
Przemiana Å‚
Poprzez emisjÄ™ promieniowania elektromagnetycznego
Å‚ jÄ…dro przechodzi ze stanu wzbudzonego do stanu
podstawowego.
Promieniotwórczość naturalna - zjawisko samorzutnego rozpadu jąder połączone z emisją
promieniowania jonizujÄ…cego (czÄ…stek Ä…, ² lub promieniowania Å‚).
Promieniowanie jonizujące - promieniowanie, które przekazuje swoją energię atomom
otaczającego go środowiska powodując ich jonizację - zostają oderwane elektrony.
ą - strumień dodatnio naładowanych jąder helu. Ma zasięg kilku cm.
Powoduje silną bezpośrednią jonizację. Posiada widmo liniowe.
Można je zatrzymać zwykłą kartką papieru lub folią. Jest bardzo
niebezpieczne dla zdrowia.
² - emisja strumienia elektronów o prÄ™dkoÅ›ci bliskiej prÄ™dkoÅ›ci Å›wiatÅ‚a w
próżni - podlega mechanice einsteinowskiej. Powoduje
bezpośrednią jonizację ośrodka. Posiada widmo ciągłe. Zasięg do
kilkudziesięciu cm, w zależności od przenoszonej przez elektrony
energii. Daje się ekranować warstwą ok. 10 kartek papieru, szkłem
organicznym, aluminium lub foliÄ… miedzianÄ….
Å‚ - bardzo przenikliwe promieniowanie elektromagnetyczne. Powoduje
pośrednią jonizację ośrodka. Zasięg w zależności od przenoszonej
energii i gęstości ośrodka, do kilkunastu m. Ekranuje się cegłami
ołowianymi, szkłem ołowianym, żeliwem.
35
Izotopy promieniotwórcze - są to pierwiastki, których jądra atomów są niestabilne i
samorzutnie ulegają przemianie promieniotwórczej. W przyrodzie występuje ich ok. 40,
sztucznie otrzymano ok. 9000 radionuklidów.
Prawo rozpadu promieniotwórczego
(Bazujemy na statystyce, mamy do czynienia z prawdopodobieństwem rozpadu).
N0 - początkowa liczba jąder pierwiastka promieniotwórczego.
dN ~ N
Ważymy próbkę, znając rodzaj pierwiastka określamy liczbę
dN = -Ndt
moli w próbce, mnożymy ją przez stałą Avogadro i wtedy
N t
dN
mamy liczbę atomów - a więc i liczbę jąder.
= -
+" +"dt
N
dN - liczba jąder, które uległy rozpadowi
N0 0
N N - liczba jąder pozostała po czasie dt
t
ln N = - Å"t
0
N0  - stała rozpadu promieniotwórczego, jest charakterystyczną
wielkością dla pierwiastka (każdy ma inną); []=1/
s
ln N - ln N0 = -t
N
ln = -t
Minus oznacza ubywanie jÄ…der.
N0
N
= e-t
N = N0e-t
Ze wzoru wynika, iż zanik jąder jest eksponencjalny
N0
Czas połowicznego zaniku (rozpadu)
1
t = T1 Ô! N = N0
-T1
1
2
2
2
= e
2
-T1
1
2
ln 2
N0 = N0e
- ln 2 = -T1 Ò!
T1 =
2
2
2

"
Średni czas życia
xf (x)dx
+"
Wartość średnia dla f=f(x): x = 0
"
f (x)dx
N = N0e-t
+"
0
" "
+"t Å" N0e-tdt +"t Å" e-tdt
1
0 0 Średni czas życia jąder atomu pierwiastka promieniotwórczego jest
1
t = = = (...)= Ò!
" "
t =
odwrotnością stałej rozpadu.

-t

N0e-tdt
+" +"e dt
0 0
Aktywność promieniotwórcza - jest to liczba rozpadów w jednostce czasu.
dN
A = -
[A]= Bq (bekerel)
dt
Przykłady z
ródeł promieniowania Przykłady okresów połowicznego zaniku
36
Datowanie węglem
Metoda określania wieku, np. skał, wykorzystująca izotop 14C oraz jego okres połowicznego
zaniku. Metoda jest dość skomplikowana, ponieważ trzeba uwzględnić nie tylko zanik jąder,
ale także możliwość jednoczesnego zwiększania się ich liczby.
Szeregi promieniotwórcze
Detektory promieniowania - urządzenia służące do wykrywania promieniowania. Przykłady:
- komora jonizujÄ…ca,
- liczniki scyntylacyjne - wykorzystują fakt, iż atom przechodząc ze stanu wzbudzonego do
podstawowego emituje błyski związane z wydzielaniem energii przy przejściu elektronu z
powłoki wyższej na niższą,
- klisza aparatu - zaczernia się pod wpływem promieniowania,
- komora Czerenkowa - sÅ‚uży do wykrywania promieniowania ²; jeżeli prÄ™dkość Å›wiatÅ‚a w
c
danym ośrodku ( v = ) jest mniejsza niż prędkość elektronu ( ve > v ), to elektron wysyła
n
charakterystyczne promieniowanie (promieniowanie Czerenkowa),
- licznik Geigera-Müllera - kondensator w postaci cylindra; jednÄ… okÅ‚adkÄ™ stanowi walec,
drugą drucik wewnątrz walca; w walcu znajduje się rozrzedzony gaz; układ
jest podłączony do z
ródła napięcia (ale niezbyt dużego); jeżeli na licznik
pada promieniowanie, to z czÄ…steczki gazu zostaje wybity elektron i
powstaje jon; jon i elektron dążą do okładek, co obserwujemy poprzez
zmianę ładunku na okładkach; zmiana ładunku jest proporcjonalna do
liczby jonów i elektronów, dzięki czemu można obliczyć ilość
promieniowania.
Pomiary promieniowania
Przy pomiarach promieniowania należy uwzględnić tzw. promieniowanie tła. Jest to
zewnętrzne promieniowanie, którego udziału nie można skutecznie wykluczyć, np.
promieniowanie kosmiczne, albo z Czarnobyla. W badaniach, dla ochrony zdrowia, stosuje
się specjalne osłony.
dx
Na osłonę o grubości d pada promieniowanie I0. Rozpatrujemy
I I-dI
element o grubości dx, na który pada promieniowanie I.
I0 I
d
37
dI ~ Idx
dI = -µIdx
dI
= -µdx
I
Minus oznacza pomniejszenie promieniowania.
I d
dI
= -µ
+" +"dx µ - liniowy współczynnik absorpcji; jest on charakterystyczny dla
I
I0 0
I danego materiaÅ‚u (każdy ma inny); [µ]=m-1
d
ln I = -µ Å" x
0
I0
ln I - ln I0 = -µd
I
ln = -µd
I0
I
= e-µd
I0
I = I0e-µd
Przy przechodzeniu przez warstwÄ™ zanik promieniowania jest eksponencjalny.
Zjawiska osłabiające promieniowanie:
- efekt fotoelektryczny zewnętrzny
- efekt Comptona
- kreacja par pozyton-elektron - aby zaszło to zjawisko, kwanty promieniowania ł muszą
mieć dużą energię ( E > 1,02MeV ), ponadto jądro pierwiastka musi być dosyć ciężkie.
f
38
 39
40