AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE
Maci ej Gucma
Jakub Mont ewka
PODSTAWY MORSKIEJ
NAWIGACJI INERCYJNEJ
q, M
Szczecin 2006
0
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE
Maciej Gucma
Jakub Montewka
PODSTAWY MORSKIEJ
NAWIGACJI INERCYJNEJ
Szczecin 2006
1
Autorzy:
Jakub Montewka: część I
Maciej Gucma: część II
REDAKCJA NACZELNA
Redaktor naczelny
prof. dr hab. inż. Bernard Wiśniewski
Komitet Naukowy
prof. dr hab. inż. Bernard Wiśniewski
dr hab. inż. Zbigniew Matuszak, prof. AM
Komitet Wydawnictw Dydaktycznych
dr inż. kpt. ż.w. Jerzy Hajduk, prof. AM
dr hab. inż. Ruta Leśmian-Kordas, prof. AM
dr hab. inż. Jerzy Listewnik, prof. AM
RECENZENT
dr hab. inż. Cezary Specht, prof. AMW
REDAKTOR MERYTORYCZNY
dr inż. kpt. ż.w. Jerzy Hajduk, prof. AM
� Copyright by Akademia Morska, Szczecin 2006
ISBN 10 83-89901-20-X
ISBN 13 978-83-89901-20-0
2
Spis treści
Wstęp & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .& 5
Część I
Nawigacja inercyjna
Spis najważniejszych symboli wykorzystanych w części I & & & .& & & & 9
Wprowadzenie & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..& 11
1. Układy odniesienia w nawigacji inercyjnej & & & & & & & & & .& & & 13
1.1. Układ inercyjny & & & & & & & & & & & & & & & & .& ...& & & 14
1.2. Układ geograficzny & & & & & & & & & & & & & & .& & ...& ..& 15
1.3. Układ geocentryczny & & & & & & & & & & & & & & .& & ..& & 15
1.4. Układ geodezyjny & & & & & & & & & & & & & & .& ..& & & .& 15
1.5. Układ związany z obiektem & & & & & & & & & & & & ...& & ..& 16
2. Transformacja wektora położenia do wybranego układu odniesienia & & . 16
3. Klasyfikacja układów nawigacji inercyjnej & & & & & & & & & & & & . 22
3.1. Układy kardanowe & & & & & & & & & & & & & & .& & & & ..& 22
3.2. Układy bezkardanowe & & & & & & & & & & & & & & .& ..& ...& 26
4. Systemy nawigacji inercyjnej INS  Inertial Navigation Systems & & & .. 27
4.1. Wyznaczanie przemieszczenia obiektu w systemach nawigacji
inercyjnej & & & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & & . 28
4.2. Określanie pozycji w systemach nawigacji inercyjnej & & & & & & . 30
4.3. Ustawianie położenia początkowego & & & & & & & & & & & & & 34
5. Zalety i wady układów nawigacji inercyjnej & & & & & & & & & & & & 36
Część II
Budowa i dokładność sensorów inercyjnych
Spis najważniejszych symboli wykorzystanych w części II & & & & & & & 39
41
Wprowadzenie & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & ..& & &
6. Budowa żyroskopów & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 41
6.1. Żyroskopy mechaniczne i MEMS & & & & & & & & & & & & & & 42
6.2. Żyroskopy piezoelektryczne (ceramiczne) & & & & & & & & & & .. 45
3
6.3. Żyroskopy FOG & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & ... 47
6.4. Żyroskopy RLG & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & .. 52
7. Budowa akcelerometrów & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & 55
8. Dokładność sensorów inercyjnych & & & & & & & & & & & & & & .& . 60
8.1. Dokładność żyroskopów & & & & & & & & & ..& & .& .& & & & . 60
8.2. Dokładność akcelerometrów & & & & & & & & & & & .& & & .& .. 63
9. Dokładność systemu INS & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & 63
9.1. Procesy stochastyczne w modelowaniu błędów INS & & & & & & .. 64
9.2. Gaussowski biały szum & & & & & & & & & & & & & & & & & & 66
9.3. Losowy bias & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & & & . 68
9.4. Random Walk & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & & .. 69
9.5. Procesy Markowa & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & 70
9.6. Możliwe kombinacje procesów losowych w systemach inercyjnych .. 71
9.7. Analiza Fourierowska i falkowa w zastosowaniach nawigacji
inercyjnej & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & & & & 72
10. Filtracja Kalmana & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & & .. 75
Literatura & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & & & & & & & . 79
Spis rysunków & & & & & & & & & & & & & & .& & & & & & & & & & . 81
4
 Wstęp
W nawigacji morskiej zachodzi konieczność estymacji wektora stanu, na
elementy którego składają się między innymi przyspieszenie liniowe oraz
prędkość kątowa badanego obiektu. Wartości te można mierzyć w sposób
bezpośredni, używając wyspecjalizowanych urządzeń, takich jak akcelerometry i
żyroskopy, które zwyczajowo należą do grupy urządzeń nawigacji inercyjnej.
Dziedzina ta w zastosowaniach morskich, domyślnie zarezerwowana dla
celów militarnych, zdobywa coraz większą popularność na gruncie
użytkowników cywilnych. Przyczyną tego stanu rzeczy jest zarówno
konieczność wspomagania działania systemów pozycjonowania, jak i znaczny
wzrost prędkości obliczeniowej komputerów oraz opracowanie nowych,
znacznie tańszych technologii wytwarzania czujników inercyjnych.
Oddana do rąk czytelnika książka swoim zakresem obejmuje takie
współczesne zagadnienia nawigacji inercyjnej jak:
 opis teoretyczny układów odniesień mających zastosowanie w nawigacji
inercyjnej,
 klasyfikacja układów nawigacji inercyjnej,
 ogólne zasady transformacji informacji pochodzącej z układów
inercyjnych,
 zasady działania i budowa żyrokompasów nawigacyjnych,
 funkcjonowanie i konstrukcja akcelerometrów,
 opis czynników wpływających na dokładność pracy układów
inercyjnych.
Zagadnienia poruszane w niniejszej publikacji stanowią jedynie wstęp do
konstrukcji i funkcjonowania układów inercyjnych w zastosowaniach
cywilnych. Jednym z czynników mających wpływ na powstanie tego
opracowania jest brak aktualnej literatury tematu w języku polskim, pomimo tak
burzliwego w ostatnich latach rozwoju opisywanej dziedziny.
Nowo budowane statki wyposażane są w różnego typu układy nawigacji iner-
cyjnej, stąd przekonanie autorów, iż w niedalekiej przyszłości znajomość
funkcjonowania takich układów i systemów stanie się wymogiem.
Dodatkowym elementem, jaki znalazł swoje miejsce w książce, są
przykładowe ceny modułów nawigacji inercyjnej. Pomimo wyjątkowo szybkiej
dezaktualizacji tego typu informacji, wydaje się, iż dla celów porównawczych
umieszczenie jej jest uzasadnione.
Książka zawiera zagadnienia teorii i praktyki nawigacji technicznej, a
przeznaczona jest w szczególności dla:
5
 pracowników naukowych, zajmujących się problematyką nawigacji
technicznej;
 studentów uczelni morskich ze specjalności:
nawigacja morska,
połowy morskie,
inżynieria ruchu morskiego,
hydrografia morska;
 osób zawodowo zajmujących się implementacją systemów
elektronicznych na jednostkach pływających.
Autorzy mają nadzieję, że użytkownik odnajdzie w publikacji poszukiwane
informacje, a dobór literatury pozwoli na bezpośrednie odniesienie do z
ródeł.
Wyrażamy jednocześnie przekonanie, że wszelkie niedoskonałości, braki oraz
niespójności tego opracowania zostaną wykryte przez czytelnika, a wiedzą tą
podzieli się z autorami, do czego zachęcamy.
Dziękujemy Panu Profesorowi Cezaremu Spechtowi za wnikliwą recenzję
i bezcenne uwagi merytoryczne, bez których powstanie tego opracowania
byłoby niemożliwe.
Pragniemy podziękować wszystkim, którzy w sposób bezpośredni
przyczynili się do powstania tej publikacji, a w szczególności: dr Januszowi
Chrzanowskiemu za wstępną recenzję, dr hab. inż. Lucjanowi Gucmie za rady
merytoryczne i leksykalne, dr inż. Pawłowi Zalewskiemu za skierowanie naszej
uwagi na problemy nawigacji inercyjnej, naukowcom z Wydziału Inżynierii
Geomatycznej Uniwersytetu w Calgary za pomoc w zdobyciu materiałów.
Autorzy
Maciej Gucma
Jakub Montewka
([e-mail])
([e-mail])
Dedykujemy tę książkę naszym Ojcom.
6
Część I
Nawigacja inercyjna
7
8
Spis najważniejszych symboli wykorzystanych w części I
r - wektor położenia w układzie geocentrycznym;
- macierz cosinusów kierunkowych (DCM), transformująca
Cb
i
wektor położenia z układu b związanego z obiektem (indeks
górny) do układu i inercyjnego (indeks dolny);
cos(�xR) - cosinus kierunkowy kąta pomiędzy osią x układu i a osią R
układu b;
źx, ź y, ź z - składowe wektora obrotu ź;
ź - wartość kąta obrotu układu;
- wektor trójelementowy prędkości kątowej obiektu w układzie
n
�m
geograficznym względem układu inercyjnego;
 - długość względem południka niebieskiego;
r
a - przyspieszenie ciała;
r
siła oddziałująca na ciało o masie m;
-
F
m - masa ciała;
ax, ay, az - przyspieszenia składowe obiektu względem osi: x, y, z;
Vx, Vy, Vz - składowe prędkości liniowej obiektu względem osi: x, y, z;
x(t), y(t), z(t) - przebyta droga obiektu względem osi: x, y, z;
dt - przedział czasu, w którym następuje rejestracja wartości
przyspieszeń (granice całkowania);
vx, vy, vz - składowe wektora prędkości względem osi: x, y, z;
i - 1, 2, 3,& , n;
- przedział czasu określający częstotliwość próbkowania 
"t
"t = ti  t0.
9
10
Wprowadzenie
Podstawowym zadaniem nawigacji jest wyznaczenie pozycji geograficznej
obiektu przemieszczającego się w przestrzeni trójwymiarowej (3D  ang. three
dimensional), w celu bezpiecznego doprowadzenia go do punktu docelowego,
z założoną dokładnością i we właściwym czasie. Zadanie to rozwiązywane jest
metodami autonomicznymi przy zastosowaniu różnego rodzaju pokładowych
urządzeń oraz systemów pomiarowych. Pierwszymi wykorzystywanymi do tego
celu urządzeniami były kompasy magnetyczne, logi, sekstanty oraz
żyrokompasy. Urządzenia te umożliwiają wyznaczenie pozycji obiektu na
podstawie pomiaru natężenia pola magnetycznego Ziemi, ciśnienia przepływu
wody, położenia ciał niebieskich, czy stałych charakterystycznych obiektów na
lądzie.
W zależności od stosowanych urządzeń, nawigację można podzielić na
następujące działy:
- nawigacja astronomiczna, astronawigacja  jest to nawigacja oparta na
obserwacji ciał niebieskich, przy dokładnej znajomości bieżącego czasu;
- nawigacja terrestryczna  jest to nawigacja morska oparta na obserwacji
znaków nawigacyjnych i innych charakterystycznych obiektów
znajdujących się na wybrzeżu, możliwa na odległościach do około 20
mil morskich;
- nawigacja zliczeniowa  jest to przybliżone określenie pozycji statku
wodnego lub powietrznego na podstawie znajomości jego ostatniej
zmierzonej pozycji oraz kierunku (kursu) i szybkości ruchu;
- nawigacja pilotowa  jest to lokalna nawigacja wodna z uwzględnieniem
znaków nawigacyjnych znajdujących się na danym akwenie i terenach
okalających go, stosowana w otoczeniu portów, na prowadzących do
nich torach wodnych oraz w innych oznakowanych miejscach trudnych
nawigacyjnie (cieśniny, rafy, mielizny, zatopione wraki itp.);
- nawigacja radiowa, radionawigacja  jest to nawigacja oparta o sygnały
radiowe wysyłane przez specjalne nadajniki;
- nawigacja satelitarna, np.: GPS  jest to nawigacja na podstawie
sygnałów radiowych wysyłanych przez sztuczne satelity Ziemi;
- nawigacja meteorologiczna, meteonawigacja  jest to nawigacja
prowadzona dowolnymi metodami, a polegająca na prowadzeniu statku
szlakiem najkorzystniejszych warunków meteorologicznych;
- nawigacja bezwładnościowa  inercyjna.
We współczesnych systemach nawigacji satelitarnej (GNSS  z ang. Global
Navigational Satellite System) rolę punktów odniesienia pełnią satelity, których
położenie na orbicie w dowolnej chwili czasu uniwersalnego (UTC  ang.
11
Universal Time Coordinated) względem Ziemi jest znane oraz systematycznie
monitorowane.
Wszystkie systemy nawigacyjne i związane z nimi instrumenty pomiarowe
umożliwiają wyznaczenie pozycji obserwowanej. W nawigacji, oprócz pozycji
obserwowanej, wykorzystuje się również pojęcie pozycji zliczonej i nawigacji
zliczeniowej.
Nawigacją zliczeniową nazywane są metody wyznaczania pozycji obiektu
w danej chwili na podstawie ostatniej pozycji obserwowanej (pozycji o znanych
współrzędnych), przebytej drogi obliczanej według wskazań przyrządów
pokładowych oraz znanego kąta drogi. W żegludze morskiej nawigację
zliczeniową stosowano od dawna, gdy niemożliwe było wyznaczenie pozycji
obserwowanej. Zadaniem układów nawigacji zliczeniowej jest wyznaczenie
przemieszczenia obiektu w nawigacyjnym układzie współrzędnych. Z reguły
układem tym jest układ współrzędnych geograficznych. Przykładem układów
nawigacji zliczeniowej są układy nawigacji inercyjnej, w których proces
zliczenia prowadzony jest z wykorzystaniem czujników pomiarowych w postaci
przyspieszeniomierzy oraz żyroskopów. Przyspieszeniomierze wyznaczają
wartości przyspieszeń liniowych, natomiast żyroskopy służą do wyznaczania
prędkości kątowych.
Przyspieszeniomierze wyznaczają wartości przyspieszeń względnych, gdyż
samodzielnie nie są w stanie uwzględnić oddziaływania sił pola grawitacyjnego
Ziemi. Przyspieszeniomierz zamontowany na obiekcie umieszczonym na orbicie
geostacjonarnej poruszałby się razem z Ziemią, jednak wyliczone wartości
przyspieszenia oraz prędkości obiektu byłyby równe zeru. Chcąc wyznaczyć
przyspieszenia rzeczywiste, wielkości otrzymane z pomiaru muszą zostać
skorygowane w bloku obliczeniowym układu nawigacyjnego o wartość
przyspieszenia ziemskiego. Żyroskopy natomiast, w zależności od
zastosowanych rozwiązań sprzętowych, wyznaczają wartości prędkości
kątowych lub kąty obrotu względem danej osi.
Droga, jaką przebył obiekt, może być wyznaczona na podstawie całkowania
prędkości liniowej lub dwukrotnego całkowania przyspieszenia obiektu
względem czasu. Kąt orientacji przestrzennej (kurs) wyznaczany jest poprzez
jednokrotne całkowanie prędkości kątowych obiektu względem czasu. Metody
określania pozycji za pomocą urządzeń zawierających elementy pomiarowe,
wykorzystujące zasady dynamiki Newtona, czyli przyspieszeniomierzy i
żyroskopów, stanowią istotę nawigacji inercyjnej (bezwładnościowej). W chwili
obecnej najczęściej spotykanymi w praktyce układami nawigacji zliczeniowej są
układy nawigacji inercyjnej [19], wchodzące w skład systemów nawigacji
inercyjnej.
Podstawowymi blokami, wchodzącymi w skład systemów nawigacji
inercyjnej (INS  ang. Inertial Navigation Systems) są:
12
- blok pomiarowy (IMU  ang. Inertial Measurement Unit), składający się
z czujników: przyspieszeniomierzy (dwa lub więcej  z reguły trzy
czujniki) oraz żyroskopów (trzech lub więcej, z reguły stosowane są
trzy), zamontowanych na wspólnej platformie;
- blok obliczeniowy, składający się z komputerów nawigacyjnych,
których zadaniem jest modelowanie pola grawitacyjnego Ziemi,
całkowanie sygnałów wyjściowych z IMU oraz wyznaczanie i
kontrolowanie pozycji obiektu.
Istnieje wiele modeli układów nawigacji inercyjnej, charakteryzujących się
różnym stopniem skomplikowania, przyjętymi rozwiązaniami konstrukcyjnymi
czy dokładnością, a co za tym idzie również i ceną. Jednak wszystkie te układy
można podzielić na dwie podstawowe kategorie:
- układy kardanowe (ang. gimbaled),
- układy bezkardanowe (ang. strap-down).
W rozdziale tym przedstawiona zostanie ogólna zasada działania oraz
budowa układów inercyjnych. Przedstawione będą także podstawowe reguły
matematyczne związane z wyznaczaniem położenia oraz parametrów ruchu
obiektu za pomocą układów nawigacji inercyjnej.
1. Układy odniesienia w nawigacji inercyjnej
W nawigacji inercyjnej obiekt traktowany jest jako punkt materialny
poruszający się w nawigacyjnym układzie współrzędnych. Aby możliwe było
wyznaczenie parametrów ruchu tego obiektu, jego położenia oraz ułożenia w
przestrzeni wyrażonego we współrzędnych nawigacyjnych, niezbędne jest
wyznaczenie układów odniesienia.
Układem odniesienia nazywany jest punkt lub układ punktów w
przestrzeni, względem którego określa się położenie lub zmianę położenia (ruch)
wybranego ciała. Wybrany punkt często wskazuje się poprzez wskazanie ciała, z
którym związany jest układ współrzędnych. Wybór układu odniesienia jest
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku. Układ odniesienia można wybrać
dowolnie, tak, by wygodnie opisać ruch. Z układem odniesienia związuje się
zazwyczaj układ współrzędnych, z którym bywa czasami mylony [28].
Układem odniesienia w nawigacji inercyjnej jest trójwymiarowa przestrzeń
wyznaczana przez układ trzech płaszczyzn. Wyróżnia się pięć zasadniczych
układów odniesienia (ang. reference frames), z których cztery związane są
z przestrzenią, a jeden z obiektem. Każdy z nich składa się z trzech płaszczyzn
wzajemnie prostopadłych, prawoskrętnych, reprezentowanych przez trzy osie:
x, y, z. Różnice pomiędzy układami odnoszą się do:
13
- przyjmowanego modelu kształtu Ziemi (kula lub elipsoida),
- typu układu (kartezjański lub biegunowy),
- miejsca, w którym znajduje się środek układu (środek Ziemi lub
lokalnie).
W obliczeniach nawigacyjnych, w zależności od zastosowanego systemu
nawigacji inercyjnej (analityczny, półanalityczny, bezkardanowy), przyjmowane
są różne układy odniesienia dobierane w taki sposób, aby w konkretnych
zastosowaniach zapewnić najbardziej wygodny i właściwy opis obserwowanych
parametrów.
Na rysunku 1 przedstawiono wykorzystane w nawigacji układy odniesienia
oraz ich wzajemne relacje. Każdy z układów reprezentowany jest przez trzy
odpowiednio oznakowane osie.
Rys. 1. Układ płaszczyzn odniesienia: inercyjny (x, y, z); geograficzny (xe, ye, ze);
geocentryczny (xc, yc, zc); geodezyjny (N, E, D)
y
ródło: [6].
1.1. Układ inercyjny
Układ inercyjny opisywany jest przez trzy osie, oznaczone odpowiednio: x,
y, z i oznaczany wielką literą I, od angielskiego Inertial frame. Układ ten jest
podstawowym układem odniesienia z początkiem w środku Ziemi. Sam układ
pozostaje nieruchomy względem przestrzeni, co oznacza, że w stosunku do
gwiazd nie wykonuje ruchu obrotowego. Osie x, y leżą w płaszczyz
nie równika,
natomiast oś z pokrywa się z osią obrotu Ziemi.
14
1.2. Układ geograficzny
Układ geograficzny opisywany jest przez trzy osie, oznaczone
odpowiednio: xe, ye, ze i oznaczany wielką literą E, od angielskiego Earth frame.
W układzie tym Ziemia ma kształt kuli, więc odległość obiektu znajdującego się
na jej powierzchni od środka Ziemi jest stała. Osie główne układu leżą na
kierunkach: północnym, wschodnim oraz wzdłuż wektora prostopadłego do
powierzchni Ziemi.
Układ geograficzny jest układem biegunowym, którego naturalnym
środkiem jest środek Ziemi. Współrzędne obiektu wyznaczane są poprzez:
- długość geograficzną - g,
- szerokość geograficzną - �g,
- wysokość nad powierzchnią odniesienia - hg.
1.3. Układ geocentryczny
Układ geocentryczny opisywany jest przez trzy osie, oznaczone
odpowiednio: xc, yc, zc i oznaczany wielką literą C. Według nomenklatury
anglojęzycznej określany jest mianem geocentric frame.
Układ ten aproksymuje kształt Ziemi elipsoidą obrotową. Jest to układ
biegunowy z początkiem w środku ciężkości Ziemi. Oś z skierowana jest wzdłuż
linii łączącej obiekt ze środkiem Ziemi, oś y skierowana jest na wschód,
natomiast oś x leży w płaszczyz
nie południka lokalnego. Położenie obiektu
określane jest przez współrzędne geocentryczne:
- długość geocentryczną - gc,
- szerokość geocentryczną - �gc,
- wektor odległości od środka Ziemi - Rgc.
Ze względu na przyjęty model odwzorowania powierzchni Ziemi, odległość
punktu od środka Ziemi zależy od pozycji tego punktu na elipsoidzie.
1.4. Układ geodezyjny
Układ geodezyjny opisywany jest przez trzy osie, oznaczone odpowiednio:
N, E, D i oznaczany wielką literą N. Według nomenklatury anglojęzycznej
określany jest mianem geografic frame. Podobnie jak w przypadku układu
geocentrycznego, układ geodezyjny aproksymuje kształt Ziemi elipsoidą
obrotową i również jest to układ biegunowy. Układy geodezyjny i
geocentryczny różnią się natomiast położeniem środka układu, gdyż środek
układu geodezyjnego znajduje się na przecięciu płaszczyzny równikowej z linią
prostopadłą do elipsoidy w punkcie pomiarowym.
15
Parametry określające pozycję w tym układzie to:
- długość geodezyjna - c,
- szerokość geodezyjna - �c,
- wektor odległości od środka układu - Rc.
1.5. Układ związany z obiektem
Układ związany z obiektem opisywany jest przez trzy osie, oznaczone
odpowiednio: R, P, Y i oznaczany wielką literą B. Według nomenklatury
anglojęzycznej układ określany jest mianem Body frame. W skład tego układu
wchodzą trzy płaszczyzny reprezentowane przez trzy osie obrotu obiektu:
kołysanie - R (ang.: roll), kiwanie - P (ang.: pitch), myszkowanie - Y (ang.:
yaw) (rys. 2). Początek układu znajduje się w środku ciężkości obiektu,
układ jest kartezjański, prawoskrętny. W porównaniu z wcześniej
przedstawionymi układami, ten jest odrębny, gdyż nie odnosi się do Ziemi. Trzy
płaszczyzny układu związane z obiektem pozwalają jedynie na
wyznaczenie położenia oraz ułożenia obiektu względem jego położenia
początkowego. Wyznaczenie pozycji geograficznej w tym układzie nie
jest możliwe.
P
R
Y
Rys. 2. Układ odniesienia związany z obiektem [R, P, Y] (body frame)
y
ródło: opracowanie własne.
2. Transformacja wektora położenia do wybranego układu
odniesienia
Wektor położenia obiektu w przestrzeni trójwymiarowej jest wektorem
trójelementowym, a położenie punktu opisywane jest przez trzy współrzędne
16
(x, y, z). Jednak nie każdy wektor położenia umożliwia wyznaczenie pozycji
geograficznej obiektu.
Wektor położenia wyznaczony we współrzędnych lokalnych nie będzie
zawierał informacji o pozycji geograficznej obiektu. Chcąc uzyskać taką
informację należy przeprowadzić transformację wektora położenia do
odpowiedniego układu odniesienia. Transformacja w układach nawigacji
inercyjnej dokonywana jest w sposób ciągły przez komputer pokładowy.
Algorytmy obliczeniowe oparte są przede wszystkim na rachunku
macierzowym.
Orientacja przestrzenna obiektu opisywana jest przez co najmniej trzy
niezależne parametry. Najbardziej obrazowym opisem są kąty względnego
obrotu rozpatrywanych układów współrzędnych. Jednym ze sposobów opisu
orientacji obiektu w przestrzeni jest macierz Ci cosinusów kierunkowych kątów
b
obrotu wersorów* układu współrzędnych związanego z obiektem, do układu
współrzędnych nawigacyjnych.
W podrozdziałach przedstawione zostaną podstawy teoretyczne związane
z problemem transformacji wektora położenia oraz przyjęte oznaczenia i
nomenklatura dotycząca tego zagadnienia [6, 12].
Wektor
Wektory opisujące położenia obiektu, jego prędkość liniową, kątową lub
inne stany obiektu, oznaczane są pogrubioną, małą literą:
r  wektor położenia w układzie geocentrycznym.
Macierz kolumnowa
Wektor związany z danym układem odniesienia i opisywany przez
współrzędne (x, y, z), można zapisać jako macierz jednokolumnową (column
matrix  CM). Indeks górny macierzy (i) wskazuje na typ układu odniesienia. W
tym wypadku jest to układ inercyjny:
*
Wersor, inaczej wektor jednostkowy  wersorem dla wektora a jest wektor a� o tym
samym kierunku i zwrocie, jednak długości 1. Wersory o kierunkach i zwrotach
zgodnych z osiami prostokątnego układu współrzędnych OX, OY, OZ oznacza się
tradycyjnie symbolami i, j, k.
17
rx
Ą# ń#
ó#r Ą#
ri = = rx, ry , rz (1.1)
{ }
y
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#rz Ś#
W przypadku zapisu macierzowego wektora położenia, indeks górny,
informujący o typie układu jest pomijany. Poszczególne parametry wektora
posiadają natomiast indeksy dolne, nomenklaturowo związane z danym
układem. W wypadku inercyjnego układu odniesienia są to indeksy x, y, z. Inny
typ zapisu (współrzędne wektora ujęte w klamrę) informuje, iż wektor odnosi się
do układu inercyjnego.
Transformacja współrzędnych
Wektor położenia obiektu w danym układzie współrzędnych, zapisany
w formie macierzy kolumnowej może być transformowany do innego układu
dzięki zastosowaniu macierzy cosinusów kierunkowych (direction cosine matrix
 DCM).
W poniższym przykładzie dokonywana jest transformacja bezpośrednia 
z układu związanego z obiektem, reprezentowanego przez indeks b do układu
inercyjnego  indeks i:
b
ri = Ci rb (1.2)
gdzie:
Cb - macierz cosinusów kierunkowych (DCM), transformująca wektor
i
położenia z układu b związanego z obiektem (indeks górny) do
układu i inercyjnego (indeks dolny).
W celu wyznaczenia pozycji geograficznej można także dokonywać
transformacji wielokrotnej, przechodząc pomiędzy kilkoma układami. W
przykładzie transformowany jest wektor rb do wektora ri, przechodząc kolejno z
układu związanego z obiektem do układu horyzontalnego (Cnb), a następnie z
układu horyzontalnego do układu inercyjnego (Cin):
n
ri = CCbrb (1.3)
i n
W przypadku transformacji macierzowych istotna jest kolejność
wykonywania działań, gdyż iloczyn macierzowy nie jest przemienny W
niektórych przypadkach zapis w odwrotnej kolejności może spowodować, iż
działania będą niewykonalne:
18
n b n
CCbrb `" CCi rb (1.4)
i n n
Macierz cosinusów kierunkowych definiowana jest jako tablica składająca
się z dziewięciu wielkości, związanych ze sobą dodatkowymi zależnościami
[19]:
cos(� ) cos(� ) cos(�xY )
Ą# ń#
xR xP
ó#cos(� ) cos(� ) cos(� )Ą#
Cb = CRPY = (1.5)
i xyz yR yP yY
ó# Ą#
ó# Ą#
zR zY
Ł#cos(� ) cos(�zP ) cos(� )Ś#
gdzie:
- macierz cosinusów kierunkowych (DCM),
Cb
i
x i R
cos(�xR ) - cosinus kierunkowy kąta pomiędzy osią układu a osią
układu b.
W przypadku, gdy dwa rozpatrywane układy są wzajemnie prostopadłe,
zachodzi zależność:
T
Ci = (Cb) (1.6)
b i
Podstawową wadą opisu orientacji przestrzennej za pomocą macierzy
cosinusów kierunkowych jest duża liczba parametrów i dodatkowych związków
między nimi, co opóz
nia obliczenia prowadzone w czasie rzeczywistym.
Zyskującym ostatnio na popularności sposobem opisu transformacji
współrzędnych w układach nawigacyjnych, umożliwiającym szybkie
przeliczanie wektora stanu, jest rachunek oparty na kwaternionach, które
traktowane są jako wielkości opisujące obrót układu o kąt ź. Wartości
kwaternionu znajdują się zawsze w przedziale [ 1, 1], co znacznie ułatwia i
przyspiesza obliczenia numeryczne.
Ze względu na liniowość równań, brak funkcji trygonometrycznych i
stosunkowo niewielką liczbę parametrów, zastosowanie ich w algorytmach
obliczeniowych otwiera nowe możliwości rozwojowe urządzeń nawigacji
inercyjnej.
Kwaterniony są wielkościami definiowanymi przez cztery parametry: q1, q2,
q3, q4, gdzie składowe: q1, q2, q3 opisują położenie chwilowej osi obrotu układu,
natomiast parametr q4 określa wartość kąta obrotu. Składowe kwaternionu są do
siebie wzajemnie prostopadłe, czyli spełniają warunek ortogonalności:
19
2 2 2 2
q1 + q2 + q3 + q4 = 1 (1.7)
Poniższe wzory prezentują podstawowe zależności między wielkością
kwaterionu a położeniem układu:
źx ź
q1 = sin( )
ź 2
źy ź
q2 = sin( )
ź 2
(1.8)
źz ź
q3 = sin( )
ź 2
ź
q4 = cos( )
2
źx ź
Ą#
sin( )ń#
ó# Ą#
ź 2
ó# Ą#
q1 ó# źy ź Ą#
Ą# ń#
ó#q Ą#ó# sin( )Ą#
2
ó# Ą#ó# ź 2 Ą# (1.9)
q = =
q
ó# Ą#ó#
q3 źz ź
Ą#
sin( )Ą#
ó#q Ą#ó#
Ł# 4 Ś#ó# ź 2 Ą#
ó# Ą#
ź
cos( )
ó# Ą#
Ł# 2 Ś#
2 2
ź = źx + ź2 + źz (1.10)
y
gdzie:
źx, źy, źz -
składowe wektora obrotu ź,
ź - wartość kąta obrotu układu.
Prędkość kątowa
Prędkość kątowa jednego układu względem innego wyrażana jest w formie
macierzy kolumnowej. Indeks dolny macierzy informuje o kierunku obrotu
układu:
�b = �R,�P,�Y (1.11)
{ }
ib
20
Powyższy zapis informuje o obrocie układu związanego z obiektem (b)
względem układu inercyjnego (i) wyrażonego we współrzędnych układu b.
Dzięki przedstawieniu prędkości kątowych w formie wektorowej, transformacja
tych wielkości pomiędzy układami odniesienia dokonywana jest analogicznie
jak w przypadku wektora położenia.
�ib = �in + �nb (1.12)
Zmiana kierunku obrotu układu skutkuje zmianą znaku wektora lub zmianą
kolejności indeksów tego wektora:
-�ib = �bi (1.13)
Transformacja wektora prędkości kątowej
Transformacja wektora prędkości kątowej pomiędzy układami
współrzędnych dokonywana jest w sposób analogiczny jak w przypadku
wektora położenia. W celu uproszczenia obliczeń niezbędne jest ujęcie wektora
� w formie macierzy symetrycznej. Macierz taka opisywana jest symbolem &! ,
gdzie oznaczenia indeksów pozostają bez zmian:
b
�ib �! &!b (1.14)
ib
�R Ą# -�Y �P ń#
0
Ą# ń#
ó#
ó#� Ą#
�! �Y 0 -�R Ą# (1.15)
P
ó# Ą#
ó# Ą#
ó#-�P �R 0 Ą#
ó# Ą#
Ł#�Y Ś#
Ł# Ś#
Poniższa zależność przedstawia transformację wektora prędkości kątowych
obiektu wyrażonego w formie macierzy s y m e t r y c z n e j , przedstawionego
w układzie odniesienia związanym z obiektem ( &!b ) do układu inercyjnego
ib
( &!i ):
ib
&!i = Ci &!b Cb (1.16)
ib b ib i
Wielkości mierzone oraz wyliczane
W celu uniknięcia pomyłek związanych z nomenklaturą, należy rozróżnić
parametry bezpośrednio mierzone przez urządzenie oraz wielkości podawane
jako wynik końcowy. Wartości mierzone bezpośrednio przez czujniki, takie jak
21
trójelementowy wektor prędkości kątowych, względem układu związanego
z obiektem, podawane jako sygnał wyjścia z trójosiowego żyrokompasu,
b
%
oznaczane są znakiem (~) np.: �ib :
b
% % % %
�ib = �R,�P,�Y (1.17)
{ }
Wielkości wyliczane przez urządzenie, na podstawie parametrów
zmierzonych bezpośrednio przez czujniki oraz po uwzględnieniu problemów
geometrycznych związanych z transformacją, oznaczane są symbolem (^) np.:
n
Ć
�in :
& & &
n
Ć Ć Ć
Ć
�in = 
os L, -L, - %5ńin L (1.18)
{ }
gdzie:
n - wektor trójelementowy prędkości kątowej obiektu w układzie
Ć
�in
geograficznym, względem układu inercyjnego,
długość względem południka niebieskiego,
 -
d
&
 = - pierwsza pochodna parametru  względem czasu,
dt
L - długość geograficzna,
dL
&
L = - pierwsza pochodna parametru L względem czasu.
dt
3. Klasyfikacja układów nawigacji inercyjnej
Systemy układów nawigacji inercyjnej można podzielić na dwie grupy
według następującej systematyki [6, 19]:
1. Układy kardanowe:
a) układy geometryczne,
b) układy analityczne  system INS stabilizowany przestrzennie (ang.
SSINS  Space Stabilized INS),
c) układy półanalityczne  system INS stabilizowany lokalnie (ang.
LLINS  Local Level INS),
2. Układy bezkardanowe  system INS związany na stałe z układem (ang.
SINS  Strapdown INS).
3.1. Układy kardanowe
Układy kardanowe składają się z dwóch podstawowych elementów:
22
- zewnętrznej ramki zbudowanej z trzech lub czterech pierścieni
wzajemnie prostopadłych tworzących tzw. zawieszenie kardanowe;
- platformy czujników umieszczonej wewnątrz ramki, na której
zamontowane są trzy przyspieszeniomierze oraz trzy żyroskopy.
Charakterystyka zawieszenia kardanowego umożliwia utrzymanie
platformy w stałym położeniu względem wybranego układu współrzędnych, bez
względu na wychylenia obiektu we wszystkich trzech płaszczyznach. W
układach kardanowych platforma zmienia położenie względem płaszczyzn
obiektu, gdy ten wykonuje manewr.
W grupie układów kardanowych można wydzielić dwie podgrupy:
- układy stabilizowane przestrzennie, gdzie platforma zachowuje stałe
położenie względem przestrzeni;
- układy stabilizowane lokalnie, gdzie platforma czujników
utrzymywana jest w zadanej płaszczyz
nie lokalnej na podstawie
informacji o kątach obrotu obiektu względem przestrzeni
otrzymywanych z żyros-kopów. Układy te posiadają dodatkowo pętle
sprzężenia zwrotnego z serwomechanizmem, który powoduje
odchylenie platformy względem zawieszenia kardanowego oraz
przestrzeni o kąt obrotu zarejes-trowany przez żyroskopy, jednocześnie
utrzymując platformę w płaszczyz
nie lokalnej.
Układy kardanowe były pierwszymi układami nawigacji inercyjnej, pow-
stały i rozwijały się w okresie, gdy przetwarzanie sygnałów z czujnika w czasie
rzeczywistym, ze względu na niewielkie możliwości obliczeniowe ówczesnych
maszyn cyfrowych, nie było jeszcze możliwe. Na rysunku 3 schematycznie
przedstawiono kardanowy układ nawigacji inercyjnej.
Rys. 3. Kardanowy układ nawigacji inercyjnej
y
ródło: [6].
23
Układy geometryczne
Elementami składowymi układów geometrycznych są dwie platformy,
które w czasie ruchu obiektu zmieniają położenie zarówno względem siebie, jak
i względem obiektu. Na jednej z platform umieszczone są żyroskopy, na drugiej
przyspieszeniomierze. Płaszczyzna żyroskopów orientowana jest względem
układu równikowego (inercyjnego, przestrzennego), natomiast płaszczyzna
akcelerometrów  względem lokalnego układu horyzontalnego.
W układach geometrycznych, wpływ obrotu Ziemi oraz obiektu na
płaszczyznę żyrokompasów i akcelerometrów jest kompensowany, dzięki czemu
kąty, jakie tworzą ze sobą obie te płaszczyzny, odwzorowują szerokość oraz
długość geograficzną pozycji, w której znajduje się obiekt.
W układach analitycznych oraz półanalitycznych występuje tylko jedna
platforma, na której umieszczone są żyroskopy oraz przyspieszeniomierze.
Platforma ta zmienia swoją orientację przestrzenną względem obiektu. Układy
różnią się ustawieniem platformy względem przestrzeni.
Układy analityczne  układy INS stabilizowane przestrzennie
Osie czujników zamontowanych w układach stabilizowanych przestrzennie
pozostają przez cały czas pracy zgodne z osiami układu inercyjnego. Oznacza to,
że układ (platforma z czujnikami) utrzymuje stałe położenie względem
przestrzeni, niezależnie od położenia i ułożenia obiektu.
Każde odchylenie obiektu od osi układu inercyjnego, wyznaczone przez
czujniki, kompensowane jest poprzez odpowiednie odchylenie platformy, tak
aby osie główne układu wciąż pozostawały zgodne z osiami układu
przestrzennego.
Zasadę działania, na której opierają się układy analityczne, przedstawiono
schematycznie na rys. 4.
W punkcie startowym A, układ horyzontalny (D, E) oraz układ przestrzenny
(Zi, Xi) są ze sobą zbieżne, co oznacza, że ich osie pokrywają się. W trakcie
przemieszczania się obiektu do punktu B, układ lokalny wykonuje obrót
względem układu przestrzennego. Zmierzona przez żyroskopy zmiana położenia
obiektu względem układu przestrzennego powoduje obrót platformy o wartość
kąta zarejestrowaną przez żyroskopy. W ten sposób położenie układu względem
przestrzeni pozostaje niezmienne.
Całkowanie przyspieszeń odbywa się w odniesieniu do układu
przestrzennego, a otrzymane w ten sposób dane przeliczane są następnie do
lokalnego układu odniesienia.
Istotną wadą systemów inercyjnych stabilizowanych przestrzennie jest fakt,
iż czujniki przyspieszeń oraz żyrokompasy poddawane są działaniu zmiennego
pola grawitacyjnego.
24
Zi
Xi
D
Zi
"�
E
Zi
A
dS Xi
D
Xi
B
E
"�
Rys. 4. System INS stabilizowany przestrzennie
y
ródło: [27].
Układy półanalityczne - układy INS stabilizowane lokalnie
Półanalityczne układy nawigacji inercyjnej charakteryzują się tym, że
platforma, na której znajdują się żyroskopy i przyspieszeniomierze utrzymywana
jest w płaszczyz
nie horyzontu lokalnego [19]. Oznacza to, że względem układu
przestrzennego platforma pozostaje w ciągłym ruchu.
Na rysunku 5 przedstawiono schematycznie zasadę działania układów
stabilizowanych lokalnie. Oś skrętu żyroskopu oraz oś czułości
przyspieszeniomierza leżą w płaszczyz
nie rysunku. Żyroskop zachowuje stałe
położenie w przestrzeni, natomiast platforma z przyspieszeniomierzami,
utrzymując stałe położenie względem układu lokalnego, zostaje odchylona od
położenia poziomego o kąt �. Zaburzenie takie jest równoważne
przemieszczeniu układu o odległość S wzdłuż powierzchni Ziemi. Całkowanie
przyspieszeń oraz obliczenia nawigacyjne realizowane są w odniesieniu do
układu lokalnego.
Zaletą systemów inercyjnych stabilizowanych lokalnie jest względna
prostota obliczeń, nie wymagająca transformacji współrzędnych z układu
przestrzennego do układu lokalnego. Wadą natomiast są błędy systemów,
występujące na dużych szerokościach geograficznych, szczególnie w rejonach
podbiegunowych.
25
Zi
Xi
D
Zi
a
"�
E
A
dS
Xi
D
a
B
E
"�
Rys. 5. System INS stabilizowany lokalnie
y
ródło: opracowanie własne.
3.2. Układy bezkardanowe
Układy bezkardanowe nawigacji inercyjnej składają się z bloku czujników,
czyli trzech przyspieszeniomierzy i trzech żyroskopów, zamocowanych
nieruchomo względem obiektu oraz pokładowych komputerów nawigacyjnych
[12]. Układy te, w porównaniu z układami kardanowymi, charakteryzują się
prostszą budową, gdyż nie zawierają żadnych elementów ruchomych, konieczne
jest natomiast stosowanie większych mocy obliczeniowych, aby z odpowiednią
szybkością uzyskiwać na bieżąco pełne informacje nawigacyjne. Dodatkową
funkcję pełnią komputery nawigacyjne, modelujące przestrzeń trójwymiarową
oraz rozwiązujące równania dotyczące ruchu platformy we wszystkich sześciu
stopniach swobody, w celu transformowania położenia obiektu do układu
geograficznego. W układach kardanowych transformacja dokonywana była
częściowo mechanicznie dzięki zastosowaniu zawieszenia kardanowego. W
układach strap-down realizowane jest to poprzez modelowanie matematyczne,
większe muszą być także zakresy pomiarowe zastosowanych czujników. Jednak
wraz z rozwojem technik komputerowych oraz zwiększaniem możliwości
obliczeniowych maszyn cyfrowych, układy bezkardanowe stopniowo zastępują
układy kardanowe.
Na rysunku 6 przedstawiono schemat pojedynczego układu
bezkardanowego składającego się z bloku trzech akcelerometrów i trzech
żyroskopów. Osie czujników zorientowane są zgodnie z osiami położenia
obiektu, na którym układ jest zainstalowany. Pomiary przyspieszeń oraz
26
kierunku dokonywane są względem układu związanego z obiektem, natomiast
parametry ruchu obiektu oraz jego położenie wyliczane są na bieżąco w
komputerze pokładowym, poprzez transformację parametrów do układu
geograficznego.
Rys. 6. Bezkardanowy układ nawigacji inercyjnej typu strap-down
y
ródło: [12].
W układzie można wyróżnić dwa podstawowe tory:
- tor prędkości kątowych mierzonych przez żyroskopy,
- tor przyspieszeń mierzonych przez przyspieszeniomierze.
W chwili obecnej systemy oparte na układach kardanowych ustępują
miejsca systemom, w których zainstalowano układy typu strap down.
Wskazywanymi w literaturze [12, 19] zaletami tych ostatnich są:
- prostota budowy,
- brak ruchomych elementów mechanicznych,
- mały pobór mocy,
- większa odporność na przeciążenia w porównaniu z układami
kardanowymi,
- natychmiastowa gotowość do pracy.
Wadą ich jest skomplikowany sposób oraz intensywność obliczeń
numerycznych wykonywanych w czasie rzeczywistym, wymagające dużych
mocy obliczeniowych. Jednak dzięki dynamicznemu rozwojowi technologii
komputerowych oraz miniaturyzacji, wymagania sprzętowe nie są już
przeszkodą w rozwoju tego rodzaju systemów.
4. Systemy nawigacji inercyjnej INS  Inertial Navigation
Systems
Metody określania pozycji za pomocą urządzeń zawierających elementy
pomiarowe, wykorzystujące zasady dynamiki Newtona, czyli
27
przyspieszeniomierzy i żyroskopów, stanowią istotę nawigacji inercyjnej,
zwanej także nawigacją bezwładnościową. Działanie systemów inercyjnych
opiera się na drugiej zasadzie dynamiki Newtona, według której przyspieszenie
ciała jest wprost proporcjonalne do oddziałującej na to ciało siły, a odwrotnie
proporcjonalne do masy tego ciała [6, 17, 21]:
r
r F
a = (1.19)
m
gdzie:
r
przyspieszenie ciała,
a -
r
siła oddziałująca na ciało o masie m,
-
F
m - masa ciała.
W systemach nawigacji inercyjnej realizowany jest pomiar przyspieszeń
oraz kątów obrotu w trzech płaszczyznach (x, y, z). Pomiar przyspieszeń
dokonywany jest za pomocą urządzeń zwanych przyspieszeniomierzami
(akcelerometrami), natomiast pomiaru kątów obrotu dokonują żyroskopy,
zamontowane na pokładzie obiektu (statku, samolotu, samochodu).
Na podstawie analizy danych pochodzących z pomiaru wartości sił oraz
prędkości kątowych poruszającego się obiektu, system realizuje proces
zliczenia, prowadzący do uzyskania pozycji geograficznej we współrzędnych
geograficznych (�, , h).
4.1. Wyznaczanie przemieszczenia obiektu w systemach nawigacji
inercyjnej
Pomiar przyspieszeń liniowych oraz kątowych obiektu dokonywany jest
zazwyczaj w lokalnym układzie odniesienia, natomiast wyznaczenie pozycji
obiektu wymaga transformacji składowych przemieszczenia do układu
nawigacyjnego, pozwalającej wyznaczyć pozycję geograficzną. Położenie
obiektu, względem układu nawigacyjnego nazywane jest orientacją przestrzenną
obiektu.
Na podstawie pomiaru przyspieszenia obiektu obliczane jest jego
przemieszczenie, natomiast kąty orientacji przestrzennej wyznaczane po
jednokrotnym scałkowaniu prędkości kątowych, pozwalają na wyznaczenie
kursu obiektu. Znajomość początkowej pozycji obserwowanej pozwala
natomiast na bardzo dokładne wyznaczenie pozycji zliczonej obiektu w chwili t
na podstawie obliczonych wartości przemieszczenia i kąta [6, 17, 21].
28
Na rysunku 7 przedstawiono schematycznie zasadę wyznaczania
parametrów wektora przemieszczenia obiektu w układzie trzech współrzędnych
(x, y, z).
a) b)
Rys. 7. Zasada wyznaczania wektora przemieszczenia obiektu
na podstawie całkowania składowych wektora przyspieszenia:
a) wypadkowy wektor przyspieszenia obiektu,
b) schemat bloków całkujących przyspieszenia
y
ródło: [19].
Na rysunku 7 a) literą a oznaczono wypadkowy wektor przyspieszenia
obiektu. Wektor ten wyliczany jest na podstawie wskazań trzech
akcelerometrów, których osie umieszczone są ortogonalnie, czyli wzajemnie
prostopadle. Przyspieszeniomierze rejestrują wartości przyspieszeń składowych
(ax, ay, az) względem osi układu lokalnego (x, y, z). W punkcie b)
przedstawiono zasadę wyznaczania prędkości obiektu oraz przebytej przez
obiekt drogi poprzez całkowanie przyspieszeń składowych.
Matematyczne zasady wyznaczania parametrów ruchu obiektu
przedstawiają wzory 1.20  1.22 [6, 17]:
29
t
VX (t) = (t)dt
X
+"a
0
(1.20)
t
x(t) = (t)dt
X
+"V
0
t
VY (t) = (t)dt
Y
+"a
0
(1.21)
t
y(t) = (t)dt
Y
+"V
0
t
VZ (t) = (t)dt
Z
+"a
0
(1.22)
t
z(t) = (t)dt
Z
+"V
0
gdzie:
ax, ay, az - przyspieszenia składowe obiektu odpowiednio względem
osi: x, y, z;
Vx, Vy, Vz - składowe prędkości liniowej obiektu odpowiednio
względem osi: x, y, z;
x(t), y(t), z(t) - przebyta droga obiektu odpowiednio względem osi: x, y, z;
- przedział czasu, w którym następuje rejestracja wartości
dt
przyspieszeń (granice całkowania).
4.2. Określanie pozycji w systemach nawigacji inercyjnej
Na podstawie wskazań instrumentów pokładowych, wchodzących w skład
układu nawigacji inercyjnej, otrzymywane są następujące parametry [18, 21]:
- kierunek północny, wskazywany przez żyrokompas;
- wskazania wektorowego miernika prędkości kątowych;
- wskazania wektorowego miernika przyspieszeń;
- kierunek pionowy, wskazywany przez siłę grawitacyjną;
- wskazania zegara pokładowego.
Na podstawie wymienionych parametrów, całkując zarejestrowane
przyspieszenia, tworzony jest zbiór dyskretnych wartości składowych wektora
prędkości w chwili ti:
30
vx (ti )= vx (t0 + i"t)
vy (ti )= vy (t0 + i"t)
(1.23)
vz (ti )= vz (t0 + i"t)
gdzie:
vx ,vy ,vz - składowe wektora prędkości względem osi: x, y, z;
i - 1, 2, 3,& , n;
- moment wyznaczenia ostatniej pozycji obserwowanej;
t0
- moment wyznaczenia pozycji zliczonej;
ti
"t - przedział czasu określający częstotliwość próbkowania 
"t = ti - t0 .
Na podstawie przedstawionych powyżej dyskretnych wartości
poszczególnych składowych wektora prędkości, drogą interpolacji wyznaczane
są funkcje vx (t),vy (t),vz (t) , ciągłe w przedziale czasowym
t0 d" t d" ti = t0 + n"t .
Znając wartości funkcji oraz współrzędne pozycji obserwowanej,
traktowane jako współrzędne początkowe (x0, y0, z0), można wyznaczyć
współrzędne pierwszej pozycji zliczonej (x1, y1, z1) , które są równe:
t1
x1 = x0 + (t)dt
x
+"v
t0
t1
y1 = y0 + (t)dt (1.24)
y
+"v
t0
t1
z1 = z0 + (t)dt
z
+"v
t0
gdzie:
t1 = t0 + n"t.
Na rysunku 8 przedstawiono schemat blokowy układu kardanowego
nawigacji inercyjnej. Schemat ogólnie opisuje zasadę wyznaczania pozycji
obiektu w tego typu układach. Gdzie:
31
1. Czujniki pomiarowe jest to zestaw trzech przyspieszeniomierzy oraz
trzech żyroskopów umieszczonych w zawieszeniu kardanowym. Dane
wyjściowe z tego bloku to przyspieszenia wzdłuż trzech osi wybranego
układu odniesienia.
2. Blok czujników jest bezpośrednio sprzężony z serwomechanizmem
zawieszenia kardanowego, utrzymującym platformę czujników w
stałym położeniu. Informacje o kątach obrotu zarejestrowanych przez
żyrokompasy przekazywane są do silników korygujących, które sterują
odchyleniami platformy o wartość kąta uzyskaną z żyrokompasów.
Serwo-
mechanizm Kompensacja Model pola
Prędkość
Pozycja
zawieszenia błędów grawitacyj- początkowa
początkowa
kardanowego żyroskopów nego Ziemi
x (t0)
x (t0)
x 1
x 1
Kompensacja
t
x1(t) �
Czujniki
t
x 2
błędów
x 2
pomiarowe x2(t) 
przyspieszen
+"
x 3 t0 x 3 t0
+"
x3(t) h
iomierzy
Rys. 8. Schemat blokowy układu wyznaczania pozycji
w kardanowym układzie nawigacji inercyjnej
y
ródło: [12].
3. Blok kompensacji błędów żyroskopów odpowiada za korektę
sygnałów pochodzących z bloku czujników pomiarowych. Sygnały z
żyroskopów korygowane są pod kątem wpływu ruchu obrotowego
Ziemi, zmian położenia obiektu na wartości rejestrowane przez
żyroskopy oraz typowych błędów żyrokompasów.
4. Blok kompensacji błędów przyspieszeniomierzy realizuje
kompensacja błędów czujników oraz uwzględnienie wpływu pola
grawitacyjnego Ziemi i przyspieszenia Coriollisa na wskazania
czujników.
5. Model pola grawitacyjnego Ziemi to blok, który w sposób dynamiczny
wyznacza wartości pola grawitacyjnego Ziemi w danej pozycji obiektu.
Informacja o wartości pola jest na bieżąco przesyłana do bloku
kompensacji błędów przyspieszeniomierzy.
6. W węzłach sumacyjnych następuje wyznaczanie wartości przyspieszeń
skorygowanych, odnoszących się do geograficznego układu odniesienia.
32
7. Pierwszy blok całkujący przyspieszenia wylicza całki oznaczone
z wartości przyspieszeń składowych względem czasu, dając w rezultacie
prędkości składowe obiektu wzdłuż trzech osi układu. Podanie
prędkości początkowej pozwala na wyliczenie prędkości bieżącej
obiektu.
8. Drugi blok całkujący oblicza przebytą drogę na podstawie całkowania
prędkości składowych względem czasu. Podanie pozycji początkowej
pozwala na wyznaczenie przez układ pozycji bieżącej obiektu we
współrzędnych geograficznych.
Rysunek 9 przedstawia schemat blokowy układu wyznaczania pozycji dla
bezkardanowego układu nawigacji inercyjnej. Najistotniejsze różnice pomiędzy
blokami wyznaczania pozycji układów kardanowych a typu strap-down,
wynikają z zamocowania czujników w stosunku do obiektu. W układach
bezkardanowych czujniki są nieruchome względem obiektu, komputer natomiast
rozwiązuje równania matematyczne opisujące ruch obiektu we wszystkich
sześciu stopniach swobody, zastępując w tym zadaniu zawieszenie kardanowe.
przyspieszenie przyspieszenie
Przyspieszenie
względem układu względem układu
Pozycja
całkowite Prędkości
związanego z obiektem inercyjnego
Kompensacja błędów Transformacja
akcelerometrów przyspieszeń
Kompensacja błędów Transformacja
Model pola grawitacyjnego Ziemi
żyroskopów układów odniesienia
Prędkość zmiany
Położenie obiektu
położenia obiektu
Rys. 9. Schemat blokowy układu wyznaczania pozycji
w bezkardanowym układzie nawigacji inercyjnej
y
ródło: [12].
1. Kompensacja błędów akcelerometrów to blok, który oprócz
wymienionych już wcześniej błędów, dodatkowo uwzględnia błędy
generowane wskutek dużych przeciążeń, jakim w układach strap-down
poddawane są akcelerometry. Jednym ze z
ródeł błędów jest siła
związana z przyspieszeniem poprzecznym względem osi czułości,
oddziałująca na akcelerometry, zależna od szybkości zmiany położenia
obiektu. W układach kardanowych, dzięki zastosowaniu zawieszenia
kardanowego, akcelerometry były izolowane od tego rodzaju zakłóceń.
33
2. Transformacja przyspieszeń oraz transformacja układów
odniesienia to bloki, które pełnią rolę analogiczną do roli bloku
serwomechanizmu w układach kardanowych. W blokach tych następuje
transformacja wektorów przyspieszeń oraz układów odniesienia z
poziomu obiektu do wybranego poziomu lokalnego.
Podobnie jak układy kardanowe, układy typu strap-down wymagają
procedury inicjalizacji, czyli podania parametrów początkowych: prędkości oraz
pozycji. Na przedstawionym schemacie bloki całkowania przyspieszeń
domyślnie uwzględniają te procedury.
4.3. Ustawianie położenia początkowego
Aby układ nawigacji zliczeniowej mógł rozpocząć pracę, wymagane jest
podanie początkowych wartości parametrów nawigacyjnych. Układy nawigacji
inercyjnej są pod tym względem układami specyficznymi, gdyż czujniki
zamontowane są na obiekcie nie poruszającym się względem Ziemi, a na skutek
jej obrotu dobowego poddawane są zmiennym warunkom pracy, przez co,
pozostając nieruchome, zwracają pewną wartość przyspieszenia [6, 12, 19].
Dokładność, z jaką zostają wprowadzone parametry początkowe oraz
uwzględnienie wpływu wspomnianych zmiennych warunków pracy układu,
rzutuje znacząco na póz
niejsze wskazania całego układu. Wymagane parametry
początkowe układu to:
- pozycja początkowa,
- prędkość początkowa,
- położenie początkowe.
Wartości pozycji obiektu podawane są na podstawie informacji z
zewnętrznych z
ródeł pozycjonowania, np.: z systemów GNSS. Wartość
prędkości ustawiana jest jako zerowa w momencie, gdy obiekt nie porusza się.
Ustawianie położenia układu nazywane jest poziomowaniem układu.
Procedura wprowadzania parametrów początkowych w układach nawigacji
inercyjnej nazywana jest wstępną orientacją układu nawigacyjnego [19]. Z punktu
widzenia metodologicznego, procedura ta jest taka sama zarówno dla układów
kardanowych, jak i bezkardanowych. Różnica pojawia się natomiast w
rozwiązaniach technicznych. W przypadku układów kardanowych, podczas
orientacji wstępnej następuje odpowiednie ustawienie platformy czujników, w
układach bezkardanowych położenie startowe oraz wszystkie parametry
potrzebne do zliczania pozycji wyliczane są przez komputer nawigacyjny.
Przed przystąpieniem do orientacji dokonywana jest kalibracja czujników
pomiarowych oraz uwzględniany jest wpływ m.in.: ruchu obiektu, temperatury
oraz pola magnetycznego na wskazania przyspieszeniomierzy oraz żyroskopów.
W trakcie przeprowadzania procedury orientacji wstępnej należy:
34
- wykonać żyrokompasowanie układu, czyli określić kierunek północy
rzeczywistej, a następnie zorientować platformę układu nawigacyjnego
względem tego kierunku;
- wypoziomować układ, czyli ustawić platformę w płaszczyz
nie
równikowej lub horyzontu lokalnego (układy kardanowe), wyznaczyć
położenie osi przyspieszeniomierzy względem horyzontalnego układu
współrzędnych (układy bezkardanowe).
Orientacja wstępna układu kardanowego polega na ustawieniu platformy
czujników w położeniu zgodnym z płaszczyzną nawigacyjnego układu
współrzędnych. Dla układu geograficznego będzie to płaszczyzna horyzontu
lokalnego, zorientowana w kierunku północnym.
Wartości wektorów przyspieszenia ziemskiego oraz prędkości kątowej
obrotu Ziemi, dla tak zorientowanego układu powinny wynosić:
g = 0,0, g
[ ]
(1.25)
�0 = �z cos�,0, -�z sin�
[ ]
gdzie:
składowa x
- skierowana jest w stronę północy rzeczywistej,
wektorów g i �
składowa y
- skierowana jest wzdłuż równoleżnika lokalnego,
wektorów g i �
składowa z - skierowana jest zgodnie z kierunkiem i zwrotem
przyspieszenia ziemskiego.
wektorów g i �
Niedokładność ustawienia platformy czujników wynika z odchylenia
platformy od położenia nominalnego. Spowodowany tym błąd wskazań
czujników może być skompensowany poprzez wprowadzenie macierzy obrotu
P. Wskazania przyspieszeniomierzy oraz żyroskopów będą określone
następującymi równaniami:
a = Pg
� = P�0 (1.26)
gdzie:
P - macierz obrotu wynikająca z niedokładności ustawienia platformy.
35
Powyższe równania ilustrują fakt, iż podczas orientacji wstępnej układu
czujniki przyspieszenia ziemskiego oraz prędkości kątowej obrotu Ziemi
doprowadzone zostają do zadanego położenia w przestrzeni.
W układach bezkardanowych realizowane jest to poprzez wyliczenie, a
następnie uwzględnienie w czasie pracy układu macierzy poprawek P. W
układach kardanowych odchylenie, powodujące błąd wskazań czujników,
korygowane jest mechanicznie poprzez odpowiednie ustawienie platformy w
przestrzeni. W tym przypadku wyznaczenie macierzy poprawek nie jest
konieczne [12, 19].
5. Zalety i wady układów nawigacji inercyjnej
Jako zalety układów nawigacji inercyjnej można wymienić:
- całkowitą autonomiczność, czujniki pomiarowe znajdują się na obiekcie;
- brak promieniowania żadnej formy energii na zewnątrz, układ nie jest
wrażliwy na zakłócenia zewnętrzne;
- wskazania parametrów ruchu obiektu oraz pozycji podawane są w
sposób ciągły, niezależnie od miejsca położenia obiektu (m.in. w
tunelach czy pod wodą);
- w celu wypracowania przez układ pozycji oraz parametrów ruchu
obiektu nie jest wymagana informacja ze stacji naziemnych, a obszar
działania systemów nawigacji inercyjnej jest praktycznie
nieograniczony;
- jakość informacji nawigacyjnej jest niezależna od manewrów obiektu
ruchomego;
- układ nawigacji inercyjnej dostarcza informacji o pozycji, prędkości,
azymucie oraz pionie, układy inercyjne są najdokładniejszymi układami
określającymi azymut oraz pion ziemski na obiekcie ruchomym.
Wadami układów nawigacji inercyjnej są:
- spadek dokładności wyznaczenia pozycji oraz prędkości wraz z
upływem czasu, nie ma tu znaczenia czy obiekt porusza się, czy nie;
- układy inercyjne wymagają czasochłonnej wstępnej kalibracji
polegającej na ustawieniu kierunku oraz pionu;
- utrudnione jest poziomowanie układu inercyjnego na obiekcie
ruchomym oraz dla szerokości geograficznych powyżej 75� [19].
36
Część II
Budowa i dokładność
sensorów inercyjnych
37
38
Spis najważniejszych symboli wykorzystanych w części II
t0 - czas obiegu wiązki światła w kierunku zgodnym z kierunkiem
obrotu układu;
� - prędkość kątowa;
c - prędkość światła;
R - promień toru;
"t - różnica czasów obiegu obu wiązek;
A - powierzchnia ograniczona układem interferometru;
"Ć - zmierzone przesunięcie fazy dla obu wiązek światła;
L - długość drogi optycznej (światłowodu);
D - średnica światłowodu;
 - długość fali;
fn - częstotliwość rezonansowa;
Ń - prędkość fali;
np - odległość pomiędzy prążkami interferencyjnymi;
Śp - odchylenie kąta łamiącego w pryzmacie;
F - siła oddziałująca na układ;
m - masa pomiarowa;
a - wektor przyspieszenia względnego;
w - wektor przyspieszenia bezwzględnego;
g - wektor przyspieszenia grawitacyjnego Ziemi;
Fa - przyłożona siła;
Fd - siła tłumienia;
Fs - siła oddziaływania sprężyny;
2
d x
&&
x - przyspieszenie, czyli: ;
2
dt
dx
&
x - prędkość, czyli ;
dt
k - stała sprężyny;
k
�n - częstotliwość rezonansowa, czyli ;
n
1 k
� -
współczynnik tłumienia, czyli c ;
2 m
m
Sm - czułość mechaniczna układu, czyli ;
k
b - bias;
bg - wektor reprezentujący bias zależny od przyspieszenia ziemskiego;
a - składowa przyspieszenia ziemskiego;
39
sf - błąd współczynnika skali;
� - prędkość kątowa;
� - błąd związany z szumem;
Rbb �
( )- funkcja ACF biasu b;
E - operator matematyczny wartości oczekiwanej;
t - czas próbkowania;
- odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi próbkami;
�
�b - odchylenie standardowe biasu;
źb - średnia wartość biasu;
�b - błąd średni kwadratowy biasu;
- funkcja autokorelacji biasu b;
R (� )
bb
�b - odchylenie standardowe pomiarów;
1
2
�1 - ciąg czasu korelacji dany jako: � (� =� przy Rbb � = �b );
( )
c1 c1
1
e
RW - Random Walk;
KF - filtr Kalmana;
FT - transformata Fouriera;
WT - transformata falki.
40
Wprowadzenie
Sensory inercyjne mają zastosowanie w układach, w których obrotowe i
liniowe zmiany położenia mierzone są bez odniesienia do zewnętrznych
współrzędnych. Pomiar tych wartości odbywa się przy użyciu żyroskopów i
akcelerometrów (przyspieszeniomierzy). Systemy inercyjne wykorzystywane są
głównie w nawigacji lotniczej i morskiej oraz w innych zastosowaniach
nawigacyjnych.
W ostatnich latach, rosnące zainteresowanie systemami inercyjnymi
spowodowało pojawienie się wielu nowych układów, zarówno
wyspecjalizowanych jak i ogólnego przeznaczenia.
Na rysunku 10 a) przedstawiono osie układu inercyjnego, zaś na rysunku
10 b) schemat budowy systemu INS po rozwinięciu na płaszczyznę. System taki
w wersji podstawowej składa się z trzech żyroskopów, trzech akcelerometrów
i trzech układów kontrolnych.
a) b)
Rys. 10. System inercyjny: a) schematyczne przedstawienie osi czułości w INS
b) schemat po rozwinięciu na płaszczyznę
y
ródło: opracowanie własne.
6. Budowa żyroskopów
Żyroskopy (żyra) mierzą prędkość obrotową w jednej (lub więcej)
płaszczyz
nie. Prędkość obrotowa najczęściej jest wyrażana w stopniach na
sekundę (�/s) lub stopniach na godzinę (�/h). W układach inercyjnych stosuje się
41
trzy żyroskopy umieszczone ortogonalnie względem siebie, co daje trzy stopnie
swobody.
Urządzenia te można podzielić na trzy podstawowe grupy:
- układy z wibrującym elementem VSG (ang. Vibratory Structures Gyro-
scopes),
- układy optyczne,
- inne.
Do grupy żyr VSG należą żyroskopy mechaniczne, MEMS i ceramiczne.
Podstawowy składnik tych żyr to element liniowo wibrujący ze znaną
częstotliwością. W przypadku wystąpienia obrotu prostopadłego do wibrującego
elementu, generowana jest siła Coriolisa, która przy obrocie zmienia częstotliwość
rezonansową. Ta zmiana jest traktowana jako różnica kątowa.
Żyroskopy MEMS wypierają z rynku żyroskopy mechaniczne. Technologia
MEMS wykorzystuje najnowsze osiągnięcia mechatroniki oraz nanotechnologii
w dziedzinie miniaturowych urządzeń elektronicznych.
Żyra optyczne to przede wszystkim żyroskopy światłowodowe (FOG  ang.
Fiber Optic Gyro) i laserowe z komorą wyładowczą (RLG  ang. Ring Laser
Gyro). Istnieją także inne, bardziej specjalistyczne rozwiązania żyroskopów
optycznych. Żyra optyczne nie są podatne na zakłócenia spowodowane
przyspieszeniami i nie występują w nich zjawiska precesji, czy blokowania.
6.1. Żyroskopy mechaniczne i MEMS
Pierwszy żyroskop został zbudowany przez Niemca G.C. Bohnenbergera
w 1810 r. W 1852 roku L. Foucault wykazał, że żyroskop może wykrywać ruch
obrotowy Ziemi. Żyroskop z definicji to wirująca z dużą prędkością obrotową
masa, umieszczona w swobodnym zawieszeniu (zawieszenie kardana). Zasada
działania żyroskopu mechanicznego jest szczegółowo przedstawiona m. in.
w Podstawach układów nawigacyjnych [19] i w Global Positioning Systems,
Inertial Navigation, and Integration [12] i nie będzie omawiana w niniejszej
publikacji.
Obecnie żyroskopy mechaniczne mogą być wykorzystywane w wielu
dziedzinach nauki i techniki. Ich dokładność zależy od przewidywanego
zastosowania i co za tym idzie  ceny. Przykładowo żyrokompas
dwużyroskopowy, wykorzystywany w nawigacji na statkach morskich, kosztuje
ok. 10 000 $ i wskazuje północ z dokładnością ok. 1�. Żyroskop użyty w
zastosowaniach militarnych podający prędkość kątową z dokładnością do 0,1�/s
i maksymalnej prędkości zmian kąta rzędu 500�/s, może kosztować nawet
100 000 $. Urządzenie takie wymaga specjalistycznych instalacji (elektrycznej i
chłodzącej). Natomiast rozwiązanie amatorskie, przeznaczone do modeli
42
latających (produkcji Futaba) o niskiej dokładności, kosztuje ok. 150 $ i
jest niewiele większe od pudełka zapałek.
Do żyroskopów mechanicznych można także zaliczyć żyroskopy MEMS
(ang. Microelectromechanical systems  systemy mikroelektromechaniczne).
Zjawiskiem, które wykorzystywane jest do wyznaczania prędkości obrotowej
w żyroskopach MEMS jest siła Coriolisa. Siła ta związana jest z
przyspieszeniem, jakie musi zostać przyłożone do ciała, aby mogło utrzymać się
na obracającej się powierzchni. Żyroskopy wykonane w technologii MEMS, ze
względów technologicznych, wykorzystują następujące rozwiązania [5]:
- układy z wibrującym strojonym elementem  kamertonem (ang.
vibrating tuning fork gyro);
- układy z wirującą masą (ang. vibrating-wheel gyro);
- układy z rezonującą obręczą (ang. resonant wheel gyro, hemispherical
resonant gyro);
- układy z wahadłem Focaulta (ang. Foucault pendulum gyro).
Układy z wibrującym strojonym elementem  kamertonem posiadają parę
odpowiednio ukształtowanych elementów o określonej masie. Każda z dwóch
części takiego elementu oscyluje z jednakowymi amplitudami, ale w
przeciwnych kierunkach. Podczas obrotu takiego układu siła Coriolisa
wprowadza prostopadłe wibracje na ramię kamertonu. Te wibracje można
zmierzyć różnymi metodami. W większości rozwiązań takich pojedynczych
układów jest wiele i są one ułożone w grupy kamertonów często zwane
grzebieniami (ang. comb). Sensory wykrywające ruch kamertonu to przeważnie
sensory piezoelektryczne, piezorezystywne lub pojemnościowe. Przykład
struktury takiego układu wyprodukowanego w Draper Lab zaprezentowano na
rysunku 11 w powiększeniu 2,500 x pod mikroskopem elektronowym.
Rys. 11. Struktura żyroskopu typu wibrujący strojony element  kamerton
43
w powiększeniu pod mikroskopem elektronowym
y
ródło: Draper Lab za [5].
Jedną z odmian żyroskopu z wibrującym strojonym elementem 
kamertonem jest żyroskop firmy BEI typu GyroChip. Składa się on z
podwójnego elementu, którego jedna strona służy do wykrywania ruchu
obrotowego, druga natomiast wprowadza oscylacje. Zęby części wibrującej są
zasilane przez obwód oscylatora pracującego z określoną amplitudą. Zęby
kamertonu, poruszając się wokół własnych osi, powodują, że wibrująca część
staje się czuła na zmiany prędkości obrotowej w osi prostopadłej do zębów. Oś
ta definiowana jest jako oś czułości żyroskopu. Zęby kamertonu powodują
generowanie momentu obrotowego, powstającego w wyniku działania siły
Coriolisa. Powstający moment powoduje wzdłużne ruchy elementów
wykrywających ruch obrotowy. Ruchy te wzbudzają pole elektryczne, które
następnie dostarczane jest do wzmacniacza i konwertera. Powstały impuls
elektryczny jest proporcjonalny do prędkości obrotowej dzięki obróbce w
demodulatorze. Żyroskop ten przedstawiono na rysunku 12.
Rys. 12. Schemat układu żyroskopu BEI GyroChip
y
ródło: opracowanie własne na podstawie [30].
Układy z wirującą masą działają podobnie jak klasyczne żyra mechaniczne.
Siła Coriolisa wpływa na wirującą masę, co może być wykryte przez np.
czujniki pojemnościowe. Wskazania żyra podczas spoczynku oscylują wokół
jednej wartości napięcia i w momencie obrotu układu napięcie to zwiększa się
bądz
zmniejsza, w zależności od kierunku obrotu.
Wahadło Focaulta to hipotetyczna masa m wprawiona w ruch z prędkością
postępową V i prędkością kątową �. Na wahadło działa siła Coriolisa Fc.
Schematycznie przedstawiono to na rysunku 13.
44
Rys. 13. Powstawianie siły Coriolisa podczas ruchu wahadła Focaulta
y
ródło: opracowanie własne.
Cały układ, składający się z czujnika (żyra), układów zasilających,
przetworników analogowo-cyfrowych, czujników temperatury, jest zamknięty w
pojedynczej obudowie typu SMT (ang. Surface Mount Technology).
Przykładowo, dla układu ADXR firmy Analog Devices obudowa typu BGA ma
wymiary 7 x 7 x 3 mm.
6.2. Żyroskopy piezoelektryczne (ceramiczne)
Odmianą żyroskopów mechanicznych są żyroskopy piezoelektryczne, które
podobnie jak żyra mechaniczne wykorzystują siłę Coriolisa do wyliczenia
prędkości obrotowej. W typowym układzie trzy piezoelektryczne przetworniki
są zamontowane na bokach stożkowatego pryzmatu  taki układ produkuje firma
Murata (stosuje się także pręty ceramiczne  konstrukcja opatentowana przez
firmę Nec-Tokin). Budowę pręta piezoelektrycznego przedstawiono na rysunku
14. W momencie, gdy jeden z przetworników jest pobudzany na częstotliwości
rezonansowej, wibracje są przekazywane na pozostałe dwa przetworniki z równą
intensywnością. W chwili, gdy pryzmat obraca się wokół jego wzdłużnej osi,
wynikowa siła Coriolisa będzie wpływała na wartość wibracji dwóch
pomiarowych przetworników. W efekcie powstanie różnica napięcia
przyłożonego do przetworników. Różnica ta jest liniowo zależna od prędkości
obrotowej układu. Przykładem takiego żyra jest Murata Gyrostar ENV-05H
wykorzystywana m.in. w małych robotach i układach stabilizacji obrazu.
Dokładność tego układu jest bardzo niska, błąd deklarowany przez producenta
wynosi 9�/s, natomiast SF równa się 22.2 mV/�/s.
Kolejne fazy wygięcia pręta ceramicznego względem położenia neutralnego
(0) przedstawiono na rysunku 15. Oscylacje te odbywają się z dużą
częstotliwością potrzebną do wywołania siły Coriolisa.
Schemat sensora z prętem ceramicznym wraz z rozmieszczeniem elektrod
pomiarowych i wzbudzającej zaprezentowano na rysunku 16.
45
Rys. 14. Pręt ceramiczny wykorzystywany w żyroskopach ceramicznych
y
ródło: opracowanie własne na podstawie [33].
Rys. 15. Fazy wibracji pręta ceramicznego w żyroskopie ceramicznym
y
ródło: opracowanie własne na podstawie [33].
Rys. 16. Schemat budowy sensora z wibrującym prętem
y
ródło: opracowanie własne na podstawie [33].
46
6.3. Żyroskopy FOG
Zasada działania żyr optycznych FOG i RLG opiera się na zjawisku
Sagnacka odkrytym w 1911 r. polegającym na tym, że fale świetlne podążając
w płaskim kanale w przeciwnych kierunkach, posiadają rożne czasy transmisji
podczas obrotu sensora (rys. 17 b). Gdy sensor jest nieruchomy, czasy są
jednakowe (rys 17 a). Pomiar prędkości kątowej odbywa się na zasadzie
pomiaru interferencji promienia; układ elementów optoelektronicznych liczy
prążki interferencyjne [5].
a) b)
Rys. 2.1. Zjawisko Sagnacka w żyroskopie optycznym:
Rys. 17. Zjawisko Sagnacka w żyroskopie optycznym:
a) dla nieruchomego sensora � = 0, b) dla sensora w ruchu � > 0
y
ródło: opracowanie własne na podstawie [5].
W przypadku obrotu układu uzyskujemy [19]:
L1 = ct0 = 2ĄR + �Rt0 (2.1)
gdzie:
L1 - droga obiegu w kierunku zgodnym z kierunkiem obrotu układu,
t0 - czas obiegu w kierunku zgodnym z kierunkiem obrotu układu,
� - prędkość kątowa,
c - prędkość światła,
R - promień toru.
47
Zatem:
2ĄR
t0 = ,
c - �R
natomiast dla L2:
L2 = ct1 = 2ĄR - �Rt1 (2.2)
gdzie:
L2 - droga obiegu w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu układu,
t1 - czas obiegu w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu układu.
Zatem:
2ĄR
t1 = ,
c + �R
czas obiegu obu wiązek:
2ĄR 2ĄR 4ĄR2�
"t = t0 - t1 = - = (2.3)
c -�R c +�R c2
gdzie:
"t - różnica czasów obiegu obu wiązek.
Droga natomiast wynosi:
4ĄR2�
"L = c(t0 - t1) = = K� (2.4)
c2
gdzie:
K - stała charakteryzująca czułość konkretnego rozwiązania, związana
z parametrami geometrycznymi żyroskopu.
Żyroskopy typu FOG można podzielić na:
- żyroskopy z otwartą pętlą światłowodu (ang. open loop interferometric
FOG),
- żyroskopy z zamkniętą pętlą światłowodu (ang. closed loop
interferometric FOG),
- żyroskopy rezonujące (ang. resonant FOG).
48
Podstawowy schemat dowolnego żyroskopu FOG przedstawiono na
rysunku 18. Różnice w konstrukcji i właściwościach poszczególnych typów
żyroskopów opisano poniżej.
detektor
Rys. 18. Uproszczony schemat żyroskopu FOG
y
ródło: opracowanie własne na podstawie [5].
Żyroskopy z otwartą pętlą światłowodu (oznaczone: IFOG), jako z
ródło
światła wykorzystują diody elektroluminescencyjne dużej jasności (SLED  ang.
Super Electro Luminenscent Diode). Diody powinny być jak najwyższej jakości,
żeby nie wprowadzać do obwodu zbędnych szumów. Zjawisko to dodatkowo
może być eliminowane specjalną konstrukcją detektora (interferometru).
Przesunięcie fazy Sagnacka dla IFOG określane jest za pomocą wzoru [5]:
2ĄLD
"Ć = (2.5)
c
gdzie:
"Ć - zmierzone przesunięcie fazy dla obu wiązek światła,
L - długość drogi optycznej (światłowodu),
D - średnica światłowodu,
 - długość fali,
c - prędkość światła.
Wynika z tego, że zwiększenie stabilności IFOG (a więc ustabilizowanie
współczynnika scale factor) zależy od zmienności D, L i . Zwiększenie
49
czułości może się odbyć przez zwiększenie długości światłowodu (L). Długość
pojedynczej pętli w istniejących rozwiązaniach wynosi do kilku kilometrów.
Schemat żyroskopu IFOG przedstawiono na rysunku 19.
Rys. 19. Schemat żyroskopu typu IFOG
y
ródło: [5].
Żyroskopy typu IFOG są pod względem technologicznym prostymi
rozwiązaniami, posiadającymi korzystny stosunek ceny do jakości. Ich
głównymi ograniczeniami są: mały zakres dynamiczny (nie nadają się do
zastosowań w szybko zmieniających się środowiskach), długa droga optyczna
podatna jest na odkształcenia, wpływając tym samym na dokładność.
Żyroskopy z zamkniętą pętlą światłowodu posiadają dodatkowo sprzężenie
zwrotne wprowadzone do elementu zmieniającego fazę. Takie sprzężnie wpływa
korzystnie na dokładność żyroskopu, ale znacznie zwiększa ilość koniecznych
obliczeń.
Żyroskopy rezonujące FOG zostały wprowadzone jako rozwinięcie
żyroskopów RLG. Wnęka rezonansowa została zastąpiona pętlą światłowodu,
zakończoną złączem, przez które wysyłana jest w obu kierunkach zmodulowana
fala świetlna, generowana przez diodę laserową. Gdy częstotliwość tej fali
przekroczy wartość, w której obwód pętli pokrywa się z całkowitą liczbą długości
fali dla tej częstotliwości, fala jest sprzęgana do pętli. Gdy cały układ się nie
obraca, maksymalne sprzężnie dla fali poruszającej się w obu kierunkach objawia
się jako ostry wierzchołek w wartości częstotliwości rezonansowej. Podczas
obrotu fale podążające w przeciwnych kierunkach posiadają różne częstotliwości,
co po demodulacji pozwala na dokładne określenie ich częstotliwości
rezonansowych [1].
Rozwiązaniem żyra IFOG typu low-cost (co należy rozumieć jako
korzystny stosunek ceny do możliwości) jest produkt DSP 3000 firmy KVH.
DSP 3000 jest jednoosiowym żyrem interferometrycznym, posiadającym
cyfrowe i analogowe wyjście. Jego wymiary to: 30 x 30 x 80 mm, masa: 300 g,
50
pobór prądu: 3W@5VDC. Dokładność takiego rozwiązania wynosi: bias 6�/h i
błąd RW (szum) na poziomie 4�/h/"Hz, co pozwala na zastosowanie go w mniej
wymagających aplikacjach jak np.: roboty kołowe, zdalnie sterowne pojazdy
podwodne ROV (ang. remote operated vehicle), czy zintegrowane systemy
GPS/INS. Wstępne próby z tym układem w Akademii Morskiej w Szczecinie
potwierdzają jego przydatność do krótkookresowego pozycjonowania GPS/INS.
DSP 3000 przedstawiono na rys. 20. Koszt takiego rozwiązania to ok. 3 900
USD.
Rys. 20. Żyro DSP 3000 firmy KVH
y
ródło: [32].
Rozwiązaniem wysokiej dokładności jest produkt iNAV-FMS firmy iMAR,
zawierający trzy jednoosiowe żyroskopy FOG i trzy akcelerometry. Dokładność
żyroskopów wynosi 1�/h (bias) i 0,3�/h/"Hz (RW). Wymiary całego systemu to
265 x 145 x 132 mm, masa  5500 g. Koszt całego urządzenia to ok. 65 000
euro. Urządzenie przedstawiono na rysunku 21.
51
Rys. 21. System iNAV-FMS firmy iMAR
y
ródło: [31].
6.4. Żyroskopy RLG
Żyroskopy laserowe RLG (schemat przedstawiony na rys. 22) są budowane
jako konstrukcje z integralnym laserem gazowym, co przedstawiono na rys. 21.
Wnętrze kanału światłowodowego jest wypełnione helem (albo mieszaniną helu
i neonu). W żyroskopach RLG wykorzystuje się interferometry czynne (z
ródło
światła obraca się wraz z całym układem). Aby żyroskop laserowy pracował
efektywnie, konieczne jest uzyskanie fali o odpowiedniej, stałej długości, o
stałym kierunku polaryzacji i stałym natężeniu. W RLG światło wytwarzane jest
we wnęce rezonansowej, gdzie tworzy się fala stojąca, której częstotliwość
spełnia warunki rezonansu [5]. Dostrojenie tej częstotliwości odbywa się przez
zmianę długości wnęki. Wzbudzenie drgań jest najbardziej efektywne, gdy
droga, którą przebywa światło stanowi całkowitą liczbę połowy długości fali:
2L = nn (2.6)
gdzie:
L - długość drogi optycznej,
n - liczba naturalna,
n - długość fali.
52
Rys. 22. Schemat żyroskopu laserowego
y
ródło: opracowanie własne na podstawie [5].
Częstotliwości rezonansowe wynoszą:
c nc
fn = = (2.7)
n 2L
gdzie:
fn - częstotliwość rezonansowa,
c - prędkość światła.
Istotnym zagadnieniem staje się utrzymanie monochromatyczności wiązki,
a realizuje się to poprzez zastosowanie selektywnych zwierciadeł.
Pomiar realizowany jest następująco: wiązka L2 kierowana jest
bezpośrednio na układ czujników, natomiast wiązka L1 dociera tam pośrednio
przez pryzmat. Sytuację tę przedstawiono na rysunku 23. W punkcie skupienia
tworzą się prążki interferencyjne w odległości [25]:

d = (2.8)
�
p
gdzie:
d - odległość pomiędzy prążkami interferencyjnymi,
53
�p - rozbieżność kątowa wiązek wychodzących z pryzmatu.
Rys. 23. Schemat detektora żyroskopu RLG
y
ródło: opracowanie własne na podstawie [23].
Parametr �p definiujemy jako [23]:
� = 2npŚp (2.9)
p
gdzie:
np - odległość pomiędzy prążkami interferencyjnymi,
Śp - odchylenie kąta łamiącego w pryzmacie.
Podczas obrotu żyroskopu wokół osi prostopadłej do płaszczyzny drogi
promieni świetlnych, prążki poruszają się z prędkością proporcjonalną do
częstotliwości w miejscu interferencji. Kierunek ruchu prążków jest zgodny z
kierunkiem obrotu, natomiast różnica częstotliwości, wynikająca z różnicy dróg
optycznych na skutek obrotu żyroskopu wynosi [19]:
nc nc "Lnc 4ĄR2�
(2.10)
fa - fb =-= - = = K�
2 L+"L 2 L-"L 2L2 L
( ) ( )
zatem:
"f = K�,
gdzie:
K - współczynnik określający czułość pomiarową żyroskopu.
54
Przy czym:
4ĄR2
K = (2.11)
L
Układ czujników obrazu interferencyjnego zlicza prążki i określa kierunek i
prędkość obrotu. Liczba zliczonych prążków wynosi [19]:
tt t
4A
N = = (2.12)
+""fdt L+"�dt = K+"�dt
00 0
Liczba ta zależy zatem od długości fali, powierzchni drogi optycznej A oraz
długości drogi optycznej i decyduje o rozdzielczości żyroskopu.
Na dokładność pracy żyroskopu RLG wpływa szereg czynników m.in.
długość fali świetlnej, temperatura, ciśnienie i wilgotność. Wpływ ma także
stopień zjonizowania gazu wypełniającego żyroskop. Dodatkowo należy
uwzględnić konstrukcję luster czy fluktuacje prądu wyładowania w kanale
optycznym [5].
Jednym ze z
ródeł zakłóceń pracy żyroskopów RLG są termiczne i
wibracyjne zmiany geometrii układu optycznego [5]. Do ich kompensacji
wykorzystuje się układ detektorów pionowania zwierciadeł. Detektory sterują
miniaturowym krokowym silnikiem piezoelektrycznym, regulującym położenie
jednego ze zwierciadeł.
Geometrycznie najkorzystniejszy układ stanowi trójkąt równoboczny
posiadający największy stosunek powierzchni do obwodu. Dobór długości
rezonansowej polega na takim ustawieniu luster, aby prążki przy prędkości
kątowej równej zeru nie występowały.
Żyroskopy RLG przeważenie są wyposażone w jedną katodę i dwie anody.
Wpływa to na osłabienie efektu Fizeau  polegającego na występowaniu różnicy
częstotliwości, nawet przy nieruchomym sensorze.
W żyrach RLG występuje niekorzystne zjawisko zacinania się (ang. lock-
in), objawiające się brakiem wskazań przy małych prędkościach kątowych.
Układ mimo tego, że jest zdolny do zmierzenia małej różnicy długości fali
odpowiadającej niewielkiemu obrotowi, nie wykrywa zmiany kąta, gdyż prążki
są zbyt szerokie dla detektora. Likwidacja zjawiska polega na obracaniu
żyroskopu z dużą, znaną częstotliwością (ok. 100 Hz) o niewielki kąt, co
sztucznie zwiększa prędkość kątową. Wartość zmiany kąta jest następnie
odejmowana od wyniku. Do wytwarzania tych oscylacji stosuje się silniki
piezoelektryczne.
55
7. Budowa akcelerometrów
Akcelerometr (przyspieszeniomierz) stosowany jest do pomiaru
przyspieszeń liniowych. Akcelerometr wykorzystuje drugą zasadę dynamiki
Newtona. Są to zwykle konstrukcje mechaniczne, mierzące przesunięcie danej
masy względem na stałe zamocowanej obudowy, a wartości pomiaru są
wyrażane w jednostkach przyspieszenia ziemskiego g (1g = 9,81 m/sec2) lub mg
[20]. Przykład akcelerometru zobrazowano na rys. 24. W chwili obecnej
akcelerometry najczęściej wykonane są w technologii MEMS.
Rys. 24. Schemat budowy akcelerometru
y
ródło: [12].
Najprostszym rozwiązaniem konstrukcyjnym akcelerometru jest
zastosowanie wahadła o jednym stopniu swobody. Siła bezwładności powoduje
odchylenie wahadła od pionu. Kąt odchylenia zależy od stosunku siły
bezwładności do siły ciężkości i można przyjąć, że przy małych wychyleniach
jest do niego proporcjonalny. Dodatkowo stosuje się układy tłumiące,
zapobiegające nadmiernym wychyleniom. Przy wyznaczaniu wartości
przyspieszenia należy uwzględnić siły bezwładności, ciężkości i tłumienia.
Akcelerometry liniowe (w tym MEMS) wykorzystują odkształcenie
sprężystego układu belkowego w celu przeciwdziałania sile bezwładności.
Pomiar przemieszczenia najczęściej odbywa się poprzez pomiar zmiany
pojemności elektrycznej kondensatora ("C), w wyniku wzajemnego
przesunięcia się jego płyt o "x, wywołanego przyspieszeniem w kierunku x.
Takie rozwiązanie znacznie zmniejsza wielkość przyrządu. W przeciwieństwie
do akcelerometrów wahadłowych, pozwala to na zwiększenie zakresu
pomiarowego, a także brak czułości poza osią pomiarową. Typowy akcelerometr
MEMS składa się z kilkudziesięciu warstw takich czujników. Układ
pojemnościowego akcelerometru MEMS zobrazowano na rys. 25.
56
Rys. 25. Schemat akcelerometru belkowego
y
ródło: [12].
Czujniki przesunięcia masy pomiarowej to zwykle czujniki pojemnościowe,
piezo-rezystywne, czy bardziej precyzyjne czujniki optyczne. Czujniki
pojemnościowe są wystarczająco dokładne dla większości zastosowań.
Optyczny czujnik przesunięcia liczy znaczniki na elemencie ruchomym
(podobnie jak w mechanicznych myszkach komputerowych). Jego zaletą jest
bezpośrednie wejście sygnału do układów cyfrowych. Większa dokładność
wynika z braku obwodów analogowych, z natury dość wrażliwych na
zakłócenia.
Nowoczesne akcelerometry MEMS są chemicznie trawione w płytce
krzemowej i stanowią integralną całość z czujnikami przesunięcia. Wielkość
takiego układu nie przekracza wymiarów typowego układu scalonego SMD.
Rysunki 26 i 27 przedstawiają 300-krotne powiększenie układu pomiarowego
akcelerometru MEMS serii ADXL firmy Analog Devices.
57
Rys. 26. Powiększenie struktury akcelerometru MEMS
y
ródło: [31].
W nawigacji stosuje się zestawy trzech akcelerometrów o osiach czułości
ustawionych prostopadle względem siebie, co daje trzy stopnie swobody. Istotne
jest dokładne ustawienie kątowe układu pomiarowego.
Wyznaczanie wartości przyspieszenia odbywa się na zasadzie pomiaru siły,
zgodnie ze wzorem:
F = m �" a (2.13)
gdzie:
a - wektor przyspieszenia względnego,
F - siła działająca na układ,
m - masa pomiarowa.
58
Rys. 27. Widok pojedynczej grupy grzebieni akcelerometru
y
ródło: [31].
Przyspieszeniomierz mierzy składową przyspieszenia całkowitego, na które
wpływ ma także przyspieszenie grawitacyjne. W celu uzyskania jedynie
wartości przyspieszenia układu pomiarowego wynikającego z ruchu, w odczycie
należy uwzględnić:
a = w  g (2.14)
gdzie:
w - wektor przyspieszenia bezwzględnego,
g - wektor przyspieszenia grawitacyjnego Ziemi.
Zakładając, że masa pomiarowa umieszczona jest na sprężynie, a jej ruchy
są kompensowane przez tłumik:
&&
Fa - Fd - Fs = mx (2.15)
gdzie:
Fa - przyłożona siła,
Fd - siła tłumienia,
Fs - siła oddziaływania sprężyny,
2
d x
&& -
x przyspieszenie, czyli: .
dt2
59
Zatem:
&& &
Fa = mx + wt x + kx (2.16)
gdzie:
wt - współczynnik tłumienia;
dx
& prędkość, czyli ;
x -
dt
k - stała sprężyny.
Podstawiając:
&& &
Fa = ma = mx + wt x + kx ,
czyli:
wt k
&& &
a = x + x + x .
m m
&
Przyjmując warunki początkowe x0 = 0 i x0 = 0 , otrzymujemy funkcję
przeniesienia Gm(s):
2
x s
( ) �n
Gm(s) = = Sm 2 (2.17)
&&
x s s2 + 2��ns +�n
( )
gdzie:
k
�n = - częstotliwość rezonansowa,
n
1 k
� = c - współczynnik tłumienia,
2 m
m
Sm = - czułość mechaniczna układu.
k
Odpowiedz
systemu będzie związana ze współczynnikiem tłumienia �.
W przypadku zbyt niskiego współczynnika dojdzie do oscylacji, natomiast zbyt
duża wartość może spowodować spowolnienie reakcji układu.
60
8. Dokładność sensorów inercyjnych
Dokładność wskazań systemu inercyjnego ma znaczący wpływu na jego
działanie, a w przypadku, gdy wymagana jest długotrwała praca z dużą precyzją,
w dynamicznym środowisku, bez możliwości korekty wskazań (np. poprzez
integrację z systemem GPS), koniecznym staje się zastosowanie
specjalistycznych  a co za tym idzie  bardzo drogich układów. Jeżeli istnieją
możliwości w miarę częstej korekty wskazań, a przeznaczenie układu
nie zakłada dynamicznych zmian położenia, to możliwe staje się zastosowanie
tańszych, ale mniej dokładnych czujników.
Na rysunku przedstawiono elipsy błędów pozycji w przypadku utraty
sygnału GPS na statku z zainstalowanym systemem INS/GPS.
Rys. 28. Wpływ utraty sygnału GPS na dokładność pozycji w systemie INS/GPS
y
ródło: opracowanie własne.
W następnych paragrafach przedstawiono podstawy oceny dokładności
sensorów inercyjnych, omawiając ich główne parametry oraz podstawy
modelowania błędów występujących w sensorach inercyjnych. Znajomość
funkcji modelowania błędów jest niezbędna do oceny dokładności pracy
systemu INS [17].
8.1. Dokładność żyroskopów
Główne parametry opisujące dokładność żyroskopów to [12, 21]:
- bias (z ang. błąd systematyczny  błąd poprawności wskazań),
- błąd współczynnika skali (ang. scale factor error),
61
- nieliniowość wskazań (ang. linearity error),
- niedokładność kalibracji,
- szum.
Bias z definicji to błąd wskazań na wyjściu, niezależny od wejścia sensora,
zwykle wyrażany w stopniach na godzinę (�/h), który wskazuje jak szybko
będzie narastał błąd wskazań w układzie żyroskopu. Bias jest definiowany jako
stała wartość, w przypadku żyroskopów jednak jest stały w krótkim czasie, ale
można go modelować procesem Markowa. Może być zmierzony podczas
pomiarów statycznych. Jeżeli system INS pracuje jako autonomiczny, to bias
wyraża wzrost błędu pomiaru kąta w czasie. W przypadku, gdy INS jest
podłączony do sensora prędkości (np. logu), to przechył wzdłużny i poprzeczny
jest skompensowany, a błąd wpływa głównie na wskazania kursu. W przypadku,
gdy dodatkowo podłączony jest moduł GPS, wskazania kursu również są
kompensowane. Bias żyra jest głównym czynnikiem wpływającym na
dokładność i przydatność systemu INS, typowa wartość w systemie dobrej klasy
to 0,002-0,01�/h. Przebieg wartości zmierzonej obarczonej biasem
przedstawiono na rys. 29 a).
Rys. 29. Zobrazowanie błędów w sensorach inercyjnych:
a) biasu, b) scale factor, c) linearity error
y
ródło: opracowanie własne.
Należy tutaj podkreślić, iż w literaturze przedmiotu dominują dwa
podstawowe ujęcia opisujące bias. Jedno z nich mówi o traktowaniu biasu jako
składowej trzech czynników, w tym [12]:
- deterministycznego,
- losowego,
- związanego z wpływem temperatury.
Inne ujęcie stanowi, aby parametry związane z szumem traktować
oddzielnie. W tym podejściu również istnieje pojęcie biasu liniowego (ang. bias)
oraz biasu losowego (ang. random bias) [21]. Ze względu na większą czytelność
zostanie zaprezentowane drugie podejście.
62
Błąd współczynnika skali to liniowa odchyłka od wartości rzeczywistej,
najczęściej wyrażana jako FS (ang. full scale), czyli stosunek aktualnej wartości
do zakresu, wyrażany w % lub ppm (ang. parts per million  części na milion)
100 ppm = 0,01%. Błąd ten występuje w przypadku wykonywania obrotu.
Przykładowo, przy błędzie 300 ppm, całkowity błąd spowodowany tym
czynnikiem, po pełnym obrocie waha się w granicach 0,1�. Przeciętna wartość
dla żyr optycznych to < 10 ppm (czyli 1arcsec (0,0003�) przy obrocie o 30�).
Przebieg wartości zmierzonej, obarczonej SF, przedstawiono na rys. 2.20 b).
Nieliniowość zwana jest także błędem liniowości LE (ang. linearity error).
Jest to odkształcenie na wyjściu w zależności od wartości. Wyrażana jest w
takich samych jednostkach jak SF i często łączona z nim w jeden parametr.
Przebieg wartości zmierzonej obarczonej biasem przedstawiono na rys. 2.20 c).
Niedokładność kalibracji jest parametrem związanym z nieprostopadłym
ustawieniem żyroskopów względem siebie. Np.: niedokładność kalibracji
żyroskopu wg osi Y, rzędu 1 mrad, prowadzi do błędu wskazań przechyłu 0,036�
po jednym obrocie wg tej osi. Najczęściej wyrażany w mrad. Szum wpływa na
odczyt w sposób bezpośredni  im większy szum, tym większy stopień jego
uwzględnienia w odczycie. Szum jest ważnym parametrem, bowiem po
integracji (GPS/INS) wpływa na zachowania niedeterministyczne pomiaru 
parametr RW (ang. Random Walk). Innym parametrem związanym z szumem
jest bias losowy (ang. random bias), który często bywa łączony z RW. Zwykle
wyrażany w �2/h lub �/h2Hz. Przeliczenie pomiędzy nimi odbywa się przez
przemnożenie wartości czasu w sekundach przez 60. Błąd RW, wynoszący
0,003�2/h wskazuje, że niepewność pomiaru kąta na poziomie 1�, spowodowany
błędem RW, wynosi 0,001� po 6 minutach lub 0,0004� po 1 minucie. Parametr
RW jest istotny zwłaszcza w przypadku żyr stosowanych w układach do
wskazywania północy (żyrokompasy). Uogólnione równanie błędu żyroskopu
przedstawia się następująco (wzdłuż osi x):
ax
�# ś#
(2.18)
��X = b + bg ś# ay ź# + sf �x + my�y + mz�z +�
ś# ź#
ś# ź#
az
�# #
gdzie:
b - bias,
bg - wektor reprezentujący bias zależny od przyspieszenia ziemskiego,
a - składowa przyspieszenia ziemskiego,
sf - błąd współczynnika skali,
� - prędkość kątowa,
m - przesunięcie umieszczenia sensora,
� - błąd związany z szumem.
63
8.2. Dokładność akcelerometrów
Akcelerometry podają wartość przyspieszenia odniesioną względem
przyspieszenia ziemskiego wynoszącego 1g = 9,81 m/s2, w zakresie podanym
przez producenta. Podobnie, jak w przypadku żyroskopów, parametry opisujące
dokładność akcelerometrów to [12]:
- bias,
- błąd współczynnika skali,
- niedokładność kalibracji,
- szum.
Bias wskazuje jak szybko będzie narastał błąd wskazań w układzie
akcelerometru. Sama definicja biasu jest taka jak w przypadku żyr, a wartości są
podawane najczęściej w źg. Typowa wartość biasu w systemie dobrej klasy to
1-5 źg (np.: iMAR iNAV-FJI-001-N), natomiast w systemie ogólnego
przeznaczenia to ok. 10 mg (np.: CrossBow IMU400CC).
Błąd współczynnika skali to liniowa odchyłka od wartości rzeczywistej
przyspieszenia. Podobnie jak w żyroskopach wyrażana jest jako: FS (jednostki
% lub ppm) lub jako źg/g2. Przeciętna wartość dla akcelerometrów dobrej klasy
to ok. 20 źg/g2, czyli ok. 60 ppm (iNAV-FJI-001-N) i ok. 1% dla CrossBow.
Niedokładność kalibracji jest parametrem związanym z nieprostopadłym
ustawieniem akcelerometrów względem siebie. Szum oraz związany z nim
parametr RW, zwykle wyrażany w mg2/h lub źg/"Hz, w systemie iNAV-FJI-
001-N wynosi przykładowo 8 źg/"Hz.
Uogólnione równanie błędów dla akcelerometru można przedstawić
następująco:
� fx = b + sf ax + myay + mzaz +� (2.19)
9. Dokładność systemu INS
Ze względu na brak jednolitych standardów budowy systemów INS, a także
często niejednoznaczne nazewnictwo, nie jest możliwe uwzględnienie
wszystkich czynników wpływających na systemy INS.
Przedstawiony zostanie przybliżony model błędów w systemach INS, a w
szczególności systemów SINS. W przypadku platform stabilizowanych
koniecznym staje się uwzględnienie metod stabilizacji i jej dokładności.
Wszystkie przedstawione poniżej błędy są zależne od temperatury, do
której powinny być skompensowane. Należy podkreślić, iż wpływu temperatury
nigdy nie da się pominąć, dlatego wszelkie rachunki muszą go uwzględniać.
64
Odczyty z sensorów inercyjnych są także podatne na wewnątrz układowe
naprężenia mechaniczne, związane z metodami konstrukcji systemów INS.
Innym typem błędów są błędy związane z kwantowaniem. Na wyjściu
układu pojawiają się niewielkie różnice wartości, a w przypadku zastosowania
techniki cyfrowej nie mamy dostępnej nieskończonej precyzji konwersji
analog/cyfra. W efekcie powstaje szum proporcjonalny do stopnia kwantowania.
Modelowanie matematyczne układów SINS realizowane jest zwykle
poprzez rozwiązanie równań różniczkowych pierwszego rzędu, które zawierają
zarówno deterministyczne, jak i losowe błędy. Błędy te należy określić, a
następnie otrzymane wartości na wyjściu systemu skorygować.
W przypadku układów GPS/INS wchodzą w rachunek błędów dodatkowe
błędy związane z integracją GPS/INS oraz przekłamaniami powstałymi przy
interpolacji.
Jako główne rodzaje błędów można wyszczególnić:
- błędy inicjalizacji - związane z określeniem wstępnych parametrów
pracy systemu;
- błędy wyrównania  związane z wyrównaniem względem układu
odniesienia;
- błędy modelu grawitacji  związane z przyjętym modelem
grawitacyjnym.
9.1. Procesy stochastyczne w modelowaniu błędów INS
Błędy deterministyczne (bias i SF) modeluje się poprzez linearyzację
równań różniczkowych. Błędy deterministyczne są określane, a następnie
odejmowane od danych wyjściowych.
Określenie modelu błędów stochastycznych (losowych) służy następnie do
uogólnienia całkowitej odchyłki wskazań INS-u, co w rezultacie umożliwi
wprowadzenie oszacowanej wartości do filtru Kalmana.
Przedstawione w tym rozdziale metody modelowania błędów dotyczą
głównie błędów stochastycznych, a w szczególności procesów będących
pochodnymi procesów Markowa: białego szumu, losowego biasu (b), Random
Walk (RW). Szczegółowe przedstawienie tych procesów czytelnik odnajdzie
w literaturze [2, 7, 10, 11]. Polskimi, polecanymi pozycjami są: [9, 20].
Procesy stochastyczne, użyte do modelowania błędów, mogą być
traktowane jako stacjonarne, czyli ich wielkości statystyczne są niezmienne w
czasie (dla uproszczenia). Rozważając proces stacjonarny uznaje się, że może on
być opisany całkowicie przez funkcję autokorelacji (ACF). Jest to związane z
faktem, iż ACF dla danych losowych opisuje generalną zależność wartości w
danym czasie do danych w innym momencie czasu. Dla stacjonarnych procesów
losowych ACF procesu b(t) jest zdefiniowana jako wynik b(t)b(t+�), czyli [23]:
65
"
Rbb � =E Ą#b t b t+� ń#= b k b k+m (2.20)
( ) ( ) ( )Ś# Ą# ( ) ( )ń#
"
Ł# ó# Ą#
Ł#k=-" Ś#
gdzie:
Rbb � - funkcja ACF biasu b,
( )
E - operator matematyczny wartości oczekiwanej,
t - czas próbkowania,
� - odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi próbkami.
Rozważając sygnał dyskretyzowany w czasie, zamiast funkcji ACF można
użyć sekwencji autokorelacji (ACS). W funkcji ACS czas t zastępujemy
sekwencją k-tą, a odstęp �  odstępem pomiędzy próbkami m, w efekcie
otrzymujemy [23]:
"
(2.21)
Rbb m = E Ą#b k b k+m ń# = b k b k+mĄ#
( ) ( ) ( )Ś# Ą# ( ) ( )ń#
"
Ł# ó#
Ł#k =-" Ś#
Wartości R (m) upraszczają funkcję autokorelacji pod warunkiem
bb
zapewnienia nieskończonej liczby danych. W praktyce dysponujemy skończoną
populacją próbek (o liczbie N). R (m) zamieniane jest wtedy na Rbb(m). Dla
bb
czasowej serii pomiarów b(k), k = 1,2,3,& n ACS jest dana równaniem [20, 25]:
N-m
1
Rbb m = E Ą#b k b k+m ń# = b k b k+m (2.22)
( ) ( ) ( )Ś# N-m ( ) ( )
"
Ł#
k=-"
Wartość w punkcie m = 0 wynosi:
N
1
22 2 2 2
Ą# ń#
Rbb 0 = E k =
( ) ( )Ś# N ( )
"b k =�b+źb=�b (2.23)
Ł#b
k=1
gdzie:
�b - odchylenie standardowe biasu,
źb - średnia wartość biasu,
�b - błąd średni kwadratowy biasu.
Aby wyliczyć funkcję ACS biasu dla sensora SINS, koniecznym jest
wyliczenie najpierw wartości błędów. W tym celu wykonuje się serię
statycznych pomiarów długookresowych zakładając, że źb będzie wynosiło zero.
Wtedy wartość Rbb(0) będzie wariancją biasu �2b. Transformata Fouriera (ciągła
66
lub dyskretna) funkcji (ACF lub ACS) nazywa się widmową gęstością mocy
(PSD) Sbb. Dla ciągłego sygnału przyjmuje postać [23]:
"
Sbb � = Rbb � e-j�td�
( ) ( )
+"
-"
(2.24)
"
j�
Sbb e = Rbb m e-j�m
( )
( )
"
m=-"
Innymi słowy PSD opisuje, jak moc (w naszym przypadku wariancja)
szeregu czasowego pomiarów jest rozłożona w funkcji częstotliwości. ACF i
ACS są dane jako odwrócone transformaty Fouriera funkcji PSD, czyli [23]:
"
1
j��
Rbb � = Sbb � e d�
( ) ( )
+"
2Ą
-"
(2.25)
Ą
1
j� j�m
Rbb m = Sbb e e d�
( )2Ą
( )
+"
-Ą
9.2. Gaussowski biały szum
Do modelowania wielu losowych sygnałów używa się procesu
gaussowskiego z czasem ciągłym o zerowej wartości oczekiwanej, niezależnych
wartościach i dodatniej stałej gęstości widmowej. Przymiotnik  biały w nazwie
bierze się z jednakowych udziałów energii, wnoszonych przez wszystkie
składowe harmoniczne do jego całkowitej energii, co sprawia, że przypomina on
białe światło [26].
W przypadku procesu stacjonarnego, szum ma wartość zero PSD
Sbb = Sbb(0). ACF i ACS dla takiego procesu wynoszą odpowiednio:
""
Sbb 0
1 ( )
j�� j��
Rbb � = Sbb � e d�= e d� = Sbb 0 � �
( ) ( ) ( ) ( )
+"+"
2Ą 2Ą
-" -"
(2.26)
ĄĄ
Sbb 0
1 ( )
j� j�mj�m
Rbb m = Sbb e e d� = e d� = Sbb 0 � m
( ) ( ) ( )
( )
+"+"
2Ą 2Ą
-Ą -Ą
67
gdzie:
� (y) - dystrybucja delta (dystrybucja delta-Diraca dla pomiaru ciągłego
� (�) i jednostkowa funkcja impulsowa � (m) dla danych
dyskretyzowanych).
�
0 dla � `" 0
ż#
� � = ; � � d� =1 dla dowolnego � > 0 (2.27)
( ) ( )
�#
+"
�#" dla � = 0
-�
Wracając do równania (2.25) i (2.26) oraz wstawiając dystrybucję delta
otrzymujemy:
22 2
Ą# ń#
Rbb 0 = E k = �b = Sbb 0 � 0 �! Rbb m = �b� m (2.28)
( ) ( )Ś# ( ) ( ) ( ) ( )
Ł#b
Zatem ACF (lub ACS) białego szumu wykazuje brak korelacji dla wszystkich
wartości elementów poza elementem równym zeru, uwzględniając oczywiście
funkcję delta. Proces taki jest nazywany czystym procesem losowym (ang. pure
random proces). ACF i ACS dla białego szumu przedstawiono na rysunku 30.
Rbb = Sbb(0)� (0) Sbb = Sbb(0) = const.
�
-� � -�
Rys. 30. Funkcje ACF i ACS dla białego szumu
y
ródło: opracowanie własne.
Uwzględniając funkcję delta można stwierdzić, że wariancja procesu
białego szumu jest nieskończona. Taki proces jest oczywiście jedynie koncepcją
teoretyczną (nie jest realizowalny fizycznie). Pomimo tego omawiany szum
może być w pewnym sensie użyteczny dla przybliżenia niektórych procesów
fizycznych. Co więcej, biały szum może służyć do generowania innych
procesów losowych poprzez zastosowanie układów filtracyjnych.
Biały szum nie zawsze odzwierciedla prawidłowo przebieg rzeczywistego
procesu, dlatego często zastępuje się go procesem Ornsteina-Uhlenbecka [10].
W rzeczywistości wyliczona wartość ACS błędów sensora SINS (po
usunięciu deterministycznego biasu) nie odzwierciedla dyskretnego białego
68
szumu procesu. Składowe losowe błędów systemu mogą być modelowane
poprzez przepuszczenie szumu w t o średniej źb = 0 poprzez odpowiedni filtr
kształtujący (liniowy system dynamiczny), żeby uzyskać na wyjściu
skorelowany czasowo szum. Ta operacja zmieni korelację charakterystyk
wejścia sensora, aby dopasować właściwą składową błędu sensora. Wartości
parametrów filtracji są optymalnie dobierane poprzez minimalizację różnic
pomiędzy wyjściem filtru a właściwą sekwencją szumu na wyjściu z sensora
inercyjnego w rozumieniu metody najmniejszych kwadratów. Na rysunku 31
przedstawiono przykładowy filtr formujący.
w(t)
b(t)
Rys. 31. Filtr formujący stosowany w modelowaniu szumu
y
ródło: opracowanie własne.
9.3. Losowy bias
Losowy bias to nieprzewidywalna wielkość losowa ze stałą wartością
db
&
oczekiwaną. Przy założeniu b(t) = , błąd wywołany biasem jest
dt
zdefiniowany przez równanie:
&
b t = 0 (2.29)
( )
Dyskretna postać tego równania:
bk +1 = bk .
Prawdziwe zatem jest:
2
Ą# ń#
Rbb=E
( )
Ł#bk Ś#=Rbb 0 = const. (2.30)
69
Zatem bias jest specjalnym przypadkiem filtracji przy założeniu losowych
warunków początkowych [26].
9.4. Random Walk
Proces Random Walk (RW) należy do grupy procesów Wienera,
posiadających własności Markowa i jest szczególnym przypadkiem procesu
dyfuzji. Proces RW może być opisany jako suma procesów białego szumu.
Analizując proces RW, różnica (bk+1  bk) jest losową sekwencją wk czyli:
bk+1 = bk + wk
&
b t = w t .
( ) ( )
Zatem dla licznej próby statystycznej:
k
bk+1 = (2.31)
"w
i
i=1
Z równania 2.31 wynika, że RW jest procesem generowanym poprzez
integrację (całkowanie) nieskorelowanych sekwencji. Nazwa Random Walk (z
ang. Losowy Chód) wzięła się z analogii do człowieka stawiającego kroki o
jednakowej długości, ale w rożnych kierunkach. Wartość średnia źb procesu RW
jest dana zależnością [25]:
kk
Ą# ń#
źb =E bk+1 =Eó# Ą# (2.32)
[ ] [ ]
"w = "E wi =źw= 0
i
Ł# i=1 Ś# i=1
Wariancja �2b dla nieskorelowanych sekwencji wi może być wyliczona:
2
kk
2 2 2 2
Ą#Ś# Ą#Ś# Ą# ń#
�b =E - źb =E =Eó# Ą# 2 2
"w "E Ł#wi Ś#
Ł#bk+1ń# Ł#bk+1ń# Ł# i=1 i Ś# = Ą# ń# =k�w (2.33)
i=1
Proces RW nie jest zatem procesem stacjonarnym (jego wariancja zmienia
się w zależności od liczby sampli) i co za tym idzie, ACS nie definiuje nam tego
procesu. Należy jednak pamiętać, że różnica (bk+1  bk) jest stacjonarna [8].
Proces RW może być uważany za stacjonarny dla małych przedziałów czasu, co
ma duże znaczenie praktyczne.
70
9.5. Procesy Markowa
Niektóre z
ródła szumów są skorelowane w czasie, ich bieżąca wartość
zależy od wartości poprzednich. Do modelowania tego typu zachowań stosuje
się losowe procesy Markowa (GM). Procesy GM są stacjonarnymi procesami,
posiadającymi wykładniczą funkcję autokorelacji i są one wyjątkowo użyteczne
dla inżynierów ze względu na możliwość opisu wielu przypadkowych procesów
na odpowiednim poziomie aproksymacji [9]. Większość systemów inercyjnych
może być opisana funkcją autokorelacji procesu GM pierwszego rzędu [27]:
2
1
Rbb � = �be-� � (2.34)
( )
1
gdzie:
funkcja autokorelacji biasu b,
Rbb � -
( )
�b - odchylenie standardowe pomiarów,
1
2
ciąg czasu korelacji dany jako: �c �# � = �c przy Rbb � = �b ś# .
�1 - ( )
ś#ź#
1 1 1
e
�# #
Funkcję autokorelacji tego typu przedstawiono na rys. 32. Filtr kształtujący jest
układem zamkniętym pierwszego rzędu, co widać na rys. 33.
Jak pokazano na rysunku 32, korelacja pomiędzy danymi z procesu
pierwszego rzędu spada wraz ze wzrostem odstępu czasowego pomiędzy
próbkami danych. Jest to spadek do 0 w ". Procesy pierwszego rzędu GM są
często stosowane do opisu błędów w systemach inercyjnych ze względu na
prostotę aparatu matematycznego i w miarę dobre przybliżenia rzeczywistości.
2
1
�b e-� �
2
�b
1
2
�b
e
-� �
1
1
- = -�c
1 = �
�1
�1 c1
Rys. 32. Funkcja autokorelacji pierwszego rzędu
y
ródło: [27].
71
Używając modelu GM pierwszego rzędu można opisać bias jako równanie
różniczkowe [27]:
2
&
b t = -�1b t + 2��b w t (2.35)
( ) ( ) ( )
1
b(0)
w(t)
b(t)
+"
�1
Rys. 33. Układ filtrujący pierwszego rzędu
y
ródło: [27].
9.6. Możliwe kombinacje procesów losowych w systemach
inercyjnych
Procesy losowe i błędy z nimi związane mogą być przedstawione jako
kombinacja dwóch lub więcej procesów. Przykładowo, losowy bias i RW mogą
być przedstawione jako jeden proces losowy wyrażony za pomocą zmiennej.
Kombinacje tych procesów dobiera się na podstawie specyfikacji badań, jakie
mają być przeprowadzone w przypadku konkretnego systemu inercyjnego.
Należy podkreślić, iż obróbka danych przedstawionymi metodami wymaga
wcześniejszego ich przygotowania. Dane pochodzące z systemów inercyjnych
charakteryzują się wysokim poziomem szumów pomiarowych. Stosuje się różne
metody usuwania tych zakłóceń m.in. analizę Fouriera i funkcje falki.
Do modelowania zjawisk rządzących prawami systemów inercyjnych
wykorzystuje się równania różniczkowe losowe. Niestety, w przypadku
dynamicznych procesów losowych typowe metody rozwiązywania zwykłych
równań różniczkowych zwykle zawodzą. Wprowadza się stochastyczne
równania różniczkowe, jednak rozwiązania tego typu układów często są jedynie
przybliżone (np.: proces Wienera nie jest różniczkowalny w całej swojej
dziedzinie, co więcej nie jest nawet średniokwadratowo różniczkowalny).
Stosuje się wtedy teorię dystrybucji (powstaje gaussowski biały szum) lub
zamianę na równanie całkowe (najczęściej są to całki Ito lub Stratonowicza) [9].
72
Modelowanie błędów systemu inercyjnego jest dość skomplikowanym
zadaniem ze względu na losowy charakter tych błędów. Obecnie wprowadza się
techniki pozwalające na szybką analizę błędów (np.: funkcje autoregresji),
jednak formalizm matematyczny tych rozwiązań znacznie wykracza poza ramy
tego opracowania.
9.7. Analiza Fourierowska i falkowa w zastosowaniach nawigacji
inercyjnej
Analiza falkowa, w przeciwieństwie do analizy Fourierowskiej, używa
funkcji aproksymujących, które są zlokalizowane zarówno w dziedzinie czasu,
jak i częstotliwości. Właśnie z tego powodu falki są bardzo przydatne do
aproksymowania funkcji (obróbki sygnałów) z ostrymi pikami oraz
nieciągłościami [4].
Falki są matematycznymi funkcjami, które dzielą dane wejściowe na
składniki różnej częstotliwości, a potem analizują każdy element z dokładnością
odpowiadającą skali próbki. Daje to bardzo dobre możliwości poznania natury
sygnału.
Klasyczne podejście do analizy częstotliwości przewiduje stosowanie
wzorów Fouriera. Wykazano, że każda funkcja może być przedstawiona jako
szereg funkcji okresowych:
"
a0 + ak cos kx + bk sin kx (2.36)
( ) ( )
()
"
k =1
Współczynniki a0, ak, bk wyznaczane są w następujący sposób:
2Ą
1
a0 = f (x) dx
+"
2Ą
0
2Ą
1
ak = f x cos kx dx (2.37)
( ) ( )
+"
Ą
0
2Ą
1
bk = f x sin kx dx
( ) ( )
+"
Ą
0
73
Transformaty Fouriera (FT  ang. Fourier Transforms)
Pod ogólnym pojęciem transformat Fouriera rozumie się funkcje do
analizowania częstotliwości sygnału w pewnym przedziale czasu. Transformata
ogólnie polega na zmianie funkcji z zależności od czasu na funkcję zależną od
częstotliwości. Taki sygnał może być analizowany ze względu na swoją
częstotliwość, gdyż współczynniki Fouriera reprezentują wkład każdej funkcji
sinus i cosinus do poszczególnych częstotliwości [11].
Ważona (okienkowa) transformata Fouriera (WFT  ang. Windowed
Fourier Transforms) może być zastosowana w przypadku, gdy analizowana
funkcja nie jest okresowa, a złożenie funkcji okresowych nie odwzoruje jej
dokładnie. Możemy jednak tak rozłożyć sygnał, aby jego poszczególne części
były funkcjami okresowymi. WFT daje informacje jednocześnie o dziedzinie
czasu i częstotliwości. WFT sygnał wejściowy dzieli na przedziały, a każdy
z nich jest oddzielnie analizowany ze względu na częstotliwość. Jeżeli sygnał
posiada ostre przejścia, to podział jest tak dopasowany, aby w miejscu tego
przejścia znalazł się koniec przedziału. Procedura przywiązuje większą wagę do
punktów ze środka przedziału, a nie z okolic końców.
Dyskretna transformata Fouriera (DFT  ang. Discrete Fourier Transforms)
szacuje transformatę Fouriera na podstawie skończonej ilości punktów, które
odwzorowują zachowanie się całej funkcji.
Zastosowanie komputerów oraz obliczeń w czasie rzeczywistym wymaga
stosowania przekształceń numerycznych. Wykorzystuje się tu algorytm podany
przez J. Tuckeya i J. Cooleya, obliczający DFT, oparty na symetrii funkcji
harmonicznych, nazwany szybką transformatą Fouriera (FFT  ang. Fast
Fourier Transforms). Aproksymacja funkcji seriami pojedynczych pomiarów
wymaga zastosowania w obliczeniach macierzy rzędu n (ilość użytych
punktów). Mnożenie macierzy n � n wymaga wykonania operacji n2, co przy
dużej ilości pomiarów punktowych, np.: w przypadku sygnałów pochodzących z
czujników inercyjnych, staje się problematyczne ze względu na skończoną moc
obliczeniową komputera. Jeżeli punkty rozłożone są w jednolity sposób, wtedy
macierz n � n może zostać podzielona na kilka macierzy rzadkich, a ilość
wykonywanych operacji arytmetycznych wynosi wtedy n logn.
Analiza falki (ang. wavelet) w odróżnieniu od analizy fourierowskiej nie
wyraża badanych funkcji poprzez wielomiany, ale poprzez funkcje, które są
tworzone ze stałej funkcji zwanej falką bazową, poddawanej wielokrotnym
przekształceniom [4]. Funkcje te można odnosić zarówno do czasu, jak i do
częstotliwości, dopuszczając związki pomiędzy funkcją reprezentowaną a jej
współczynnikami. Dzięki temu uzyskano większą stabilność numeryczną w
procesie odtwarzania badanej funkcji.
Z praktycznego punktu widzenia, celem analizy falki jest znalezienie
funkcji bazowych i sposobów ich uzyskania z użyciem metod numerycznych.
74
Dowiedziono, że każda funkcja dająca się aproksymować szybką transformatą
Fouriera, może zostać przedstawiona za pomocą falek, zawierając przy tym
więcej informacji przestrzennej jak i częstotliwościowej niż FFT [11]. Analiza
falek jest z tego względu doskonałym narzędziem w analizie przebiegów
niestacjonarnych, np.: białego szumu.
Przyjmując założenie, że funkcja f(x) jest określona w całej dziedzinie liczb
rzeczywistych, można przedstawić funkcję jako sumę:
f = Fk (2.38)
"a
k
k
przyjmując za ak pewne współczynniki liczbowe, zaś Fk traktując jako rodzinę
prostych funkcji. Istotne jest także, aby już skończona suma przybliżała w miarę
dobrze funkcję wyjściową.
Funkcja wejściowa f(x) może być zapisem kołysań statku, wykresem EKG,
czy zapisem dz
więku. Rozwiązanie tego problemu sprowadza się do:
- wyznaczenia współczynnika ak;
- wyznaczenia skończonej sumy, przybliżającej na odpowiednim
poziomie.
Dodatkowo koniecznym staje się wprowadzenie pojęcia układu
ortonormalnego funkcji F(k), spełniającego warunek:
0, gdy k `" l
ż#
Fk x Fl x dx = (2.39)
( ) ( )
�#1, gdy k = l
+"
�#
Falką nazywamy taką funkcję Ś, której układ funkcji Śj,k zdefiniowany
jako:
j 2 j
Śj,k x = 2 Ś 2 x - k (2.40)
( )
( )
gdzie:
k, j, l  należą do układu liczb całkowitych,
jest układem ortonormalnym i zupełnym.
Funkcje te dążą do zera dla argumentu dążącego do nieskończoności, a ich
suma ważona umożliwia przedstawienie z dowolną dokładnością dowolnej
funkcji ciągłej (podobnie jak funkcje cosinus (transformata Fouriera) o różnych
okresach umożliwiają przedstawienie każdej funkcji okresowej).
75
Jako najprostszą falkę przyjmuje się falkę Haara, skonstruowaną ok. 1890 r.,
zdefiniowaną jako [4]:
1
ż#
1 dla 0 d" x <
�#
2
�#
�#
�#
hj,k x = 1 (2.41)
( )
�#
�#-1 dla 2 d" x <1
�#
�#
�#
0 w pozostałych przypadkach
w pozostalych przypadkach
�#
Z definicji wynika, że funkcja hj,k (x) jest zerem poza odcinkiem [2-jk,
2-j(k + 1)], czyli współczynnik aj,k przyjmie taką wartość jak funkcja na tym
odcinku. Zarówno funkcja aj,k, hj,k, jak i jej skończona suma w przypadku falki
Haara jest nieciągła. Falki, które powstały w latach 80 i 90 ubiegłego stulecia
były już ciągłe i miały pochodne. Dziedzina ta jednak wciąż dynamicznie się
rozwija ze względu na duże możliwości praktycznego zastosowania.
Podobnie jak w przypadku analizy Fourierowskiej, skonstruowano
dyskretną transformatę falki (DWT  ang. Discrete Wavelet Transform) oraz
szybką transformatę falki (FWT  ang. Fast Wavelet Transform). Macierz DWT
nie jest w ogólności macierzą rzadką. Dzieli się ją w celu uzyskania kilku
macierzy rzadkich, wykorzystując do tego celu własności samopodobieństwa.
Algorytm taki wymaga wykonania n operacji do przekształcenia n
wymiarowego wektora. Jego nazwa pochodzi od nazwisk twórców: DWT
Mallata i Daubechies [4].
Transformaty falkowe są także składnikiem bardziej uniwersalnych
pakietów falkowych (ang. wavelet packets), czyli kombinacji kilku funkcji falki.
Tworzą one bazę zachowującą parametry ortogonalności i właściwości
lokalizacji bazowej funkcji falkowej. Rekurencyjny algorytm wylicza
odpowiednie współczynniki w liniowej kombinacji. Każdy wyliczony
współczynnik pakietu falkowego zapamiętuje jako jedną z gałęzi swojego
drzewa analitycznego [4].
Analiza falki, jak i transformaty Fouriera, zostały zaimplementowane m.in.
w pakiecie inżynierskim MATLAB. Praktyczne zastosowanie tego pakietu jest
ogromne, a jego przedstawienie wychodzi poza ramy tej publikacji. Omówiony
zostanie jednak w kolejnej publikacji dotyczącej zastosowań inercyjnych.
10. Filtracja Kalmana
76
Filtracja Kalmana jest podstawową techniką analizy danych pochodzących
z czujników inercyjnych. Sam problem został opisany przez Węgra, Rudolfa
Kalmana, który w 1960 r. opisał rekurencyjne rozwiązanie problemu dyskretnej
filtracji liniowej [14]. Zakładając dany poziom błędu, rozwiązanie sprowadzało
się do oszacowania chwilowego wektora stanu układu dynamicznego.
Zakłócenia w układzie są traktowane jako biały szum. Ponieważ filtr Kalmana
ma wiele zastosowań praktycznych, stał się on przedmiotem szeroko
zakrojonych badań, a od momentu pierwszej publikacji wprowadzono
do podstawowego algorytmu wiele zmian. Bazując na samym założeniu filtracji
Kalmana powstało wiele pokrewnych narzędzi do analizy dynamicznych
danych.
Estymacja procesu
W ujęciu ogólnym, filtracja Kalmana sprowadza się do estymacji stanu
x " !n, jako zdyskretyzowanego czasowego procesu przybliżonego przez
równanie [18]:
xk = Axk -1 + Buk + wk -1 (2.42)
z pomiarem z " !n opisanym:
zk = Hxk + vk (2.43)
gdzie:
xk - wartość dyskretna wektora stanu,
A - macierz systemowa (przejścia),
B - macierz wyjściowa.
Zmienne losowe vk i wk reprezentują odpowiednio szum pomiarowy i szum
procesu. Zmienne te są niezależne, czysto losowe oraz posiadają normalny
rozkład prawdopodobieństwa o wartości oczekiwanej zero i odchyleniu
standardowym R i Q:
p(v) ~ N (0, R)
p(w) ~ N (0, Q)
W implementacjach praktycznych, macierz reprezentująca kowariancję
szumu pomiarowego R oraz macierz reprezentująca kowariancję szumu procesu
Q, mogą ulegać zmianie przy zmianie kroku czasowego, jakkolwiek dla
uproszczenia można założyć, że są stałe.
77
Macierz A o wymiarach n � n wiąże stan układu z poprzedniego kroku k  1
z krokiem k. Macierz ta może ulegać zmianie przy zmianie kroku czasowego,
jakkolwiek dla uproszczenia można założyć, że jest stała. Macierz B o
wymiarach n � l wiąże parametr u " ! wejścia stanu. Macierz H o wymiarach
m � n, to macierz, wiążąca stan z pomiarem zk.
Ć-
Definiując xk "!n jako estymatę stanu a priori w chwili k (wiedzę o
Ć
procesie przed tym momentem), natomiast xk "!n jako estymatę a posteriori
stanu w chwili k (informacja na podstawie pomiaru zk), estymaty błędu a priori i
a posterpriori możemy zapisać jako:
Ć-
e- a" kk - xk
k
(2.44)
Ć
ek a" xk - xk
Odpowiadające im macierze kowariancji są następujące:
- -T
Ą# ń#
Pk- = E
Ł#ekek Ś#
(2.45)
T
Ą# ń#
Pk = E
Ł#ekek Ś#
Wyznaczamy równanie, które pozwoli nam na wyliczenie estymaty a
Ć Ć-
posteriori xk jako liniowej kombinacji estymaty a priori xk i ważonej różnicy
Ć-
pomiędzy pomiarem zk a przewidywaną wartością pomiaru Hxx :
-
Ć Ć-
xk = xk + K zk - $
xk (2.46)
( )
Ć-
Różnica zk - Hxk nazywana jest pozostałością w pomiarze (ang. residual,
()
innovation).
Macierz K o wymiarach n � m odpowiada za parametr zwany
wzmocnieniem lub czynnikiem mieszania (ang. gain, blending factor), który
odpowiada za zmniejszenie k.
Zasada rekurencji dla filtru Kalmana polega na tym, że w danej chwili k,
dokonywany jest pomiar stanu, na podstawie którego oraz estymaty a priori
w chwili k  1 wyznaczana jest estymata a posteriori. Służy ona następnie do
predykcji estymaty stanu w następnym, k + 1 momencie. A zatem równania
78
opisujące filtr Kalmana dzielą się na dwie kategorie: równania aktualizujące
w chwili k oraz równania predykcyjne dla chwili k + 1 [9].
W przypadku, gdy proces nie jest opisany liniowymi równaniami
różniczkowymi jednym z lepiej sprawdzających się zastosowań jest rozszerzony
filtr Kalmana (EKF  ang. Extended Kalman Filter). Filtr ten linearyzuje
równania, używając wartości średnich i kowariancji procesu [9].
79
Literatura
1. Allen L., Eberly J.H., Optical resonance and two level atoms. John Willey
and Sons, New York 1975.
2. Arnold L., Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. Wi-
ley 1974.
3. Bernstein et al., A micromachined comb-drive tuning fork rate gyroscope.
Proc IEEE Micro Electro Mechanical Systems Workshop (MEMS 93), Fort
Lauderdale 1993.
4. Białasiewicz J.T., Falki i aproksymacje. WNT, Warszawa 2004.
5. Borenstein J., Everett H.R., Feng L. Where am I? Sensors and Methods for
Mobile Robot Positioning. University of Michigan 1996.
6. Britting K. R., Inertial navigation systems analysis. Wiley-Interscience,
New York 1971.
7. Chung K.L., Elementary Probability Theory with Stochastic Processes.
Springer, 1975.
8. Evans L. C., An Introduction to Stochastic Differential Equations. Depart-
ment of Mathematics, UC Berkeley 1996.
9. Gajek L., Kałuszka M., Wnioskowanie statystyczne. WNT, Warszawa 1996.
10. Gibson J., Koo B., Filtering of Colored Noise for Speech Enhancement and
Coding. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 39, No. 8, 1991.
11. Gray R. M., Davisson L. D., An Introduction To Statistical Signal Process-
ing. McGraw Hill 1999.
12. Grewall M. S., Weill L. R., Andrews A. P., Global Positioning Systems, In-
ertial Navigation, and Integration. John Wiley&Sons, 2001.
13. Hsu Hwei P., Schaum's Outline of Theory and Problems of Probability,
Random Variables, and Random Processes. McGraw Hill 1997.
14. Kalman R., A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems.
Transactions of the ASME, Journal of Basing Engineering, vol. 82, 1960.
15. Kayton N., Fried W.R., Elektroniczne układy nawigacji lotniczej. WKA
,
Warszawa 1976.
16. Maluf N., Williams K., An Introduction to Microelectromechanical Systems
Engineering. Second Edition, Artech House, Boston 2004.
17. Markey W., Hovorka J., The mechanics of inertial positioning and heading
indication. Methuen & co Ltd, London 1961.
18. Moghaddamjoo A., Kirlin L., Robust Kalman Filtering with Unknown In-
puts. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, vol.
37, No. 8, 1989.
19. Narkiewicz J., Podstawy układów nawigacyjnych. WKA
, Warszawa 1999.
20. Nowak R., Statystyka dla fizyków. PWN, Warszawa 2003.
80
21. Omerbashich M., Integrated INS/GPS navigation from a popular perspec-
tive. Journal of Air Transportation, Vol .7, University of New Brunswick
2002.
22. Putty M.W., A micromachined vibrating ring gyroscope. Rozprawa doktor-
ska, University of Michigan 1995.
23. Sameh, N., Improving the Inertial Navigation System (INS) Error Model for
INS and INS/DGPS Applications. Rozprawa doktorska, UCGE Reports
Number 20183, Department of Geomatics Engineering, University of Cal-
gary 2003.
24. Sobczyk K., Stochastyczne równania różniczkowe. WNT, Warszawa 1996.
25. Titterton D. H., Weston J. L., Strapdown Inertial Navigation Technology.
Peter Peregrinus Ltd, 1997.
26. Vaseghi S., Advanced Signal Processing and Digital Noise Reduction. Wi-
ley & Teubner, New York 1997.
27. Zhang X., Integration of GPS with a medium accuracy IMU for meter 
level positioning, University of Calgary, Department of geomatics engineer-
ing, Calgary 2003.
28. Serwis internetowy: www.wikipedia.org.pl
29. Witryna internetowa Analog Devices: www.analog.com
30. Witryna internetowa BEI: www.bei.com
31. Witryna internetowa iMAR: www.imar.com
32. Witryna internetowa KVH: www.kvh.com
33. Witryna internetowa NEC-Tokin: www.nec-tokin.com
81
Spis rysunków
1. Układ płaszczyzn odniesienia: inercyjny - (x, y, z); geograficzny -
(xe, ye, ze); geocentryczny - (xc, yc, zc); geodezyjny - (N, E, D) & & .. 14
2. Układ odniesienia związany z obiektem [R, P, Y] (body frame) & & . 16
3. Kardanowy układ nawigacji inercyjnej & & & & & & & & & & & & 23
4. System INS stabilizowany przestrzennie & & & & & & & & & & & 25
5. System INS stabilizowany lokalnie & & & & & & & & & & & & & . 26
6. Bezkardanowy układ nawigacji inercyjnej typu strap-down & .& & . 27
7. Zasada wyznaczania wektora przemieszczenia obiektu na podstawie
całkowania składowych wektora przyspieszenia & & & & & & & & 29
8. Schemat blokowy układu wyznaczania pozycji w kardanowym
układzie nawigacji inercyjnej & & & & & & & & & & & & & & & .. 32
9. Schemat blokowy układu wyznaczania pozycji w bezkardanowym
układzie nawigacji inercyjnej & & & & & & & & & & & & & & & .. 33
10. System inercyjny & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .. 41
11. Struktura żyroskopu typu wibrujący strojony element  kamerton
w powiększeniu pod mikroskopem elektronowym & & & & & & & .. 43
12. Schemat układu żyroskopu BEI GyroChip & & & & & & & & & & .. 44
13. Powstawianie siły Coriolisa podczas ruchu wahadła Focaulta & & & 45
14. Pręt ceramiczny wykorzystywany w żyroskopach ceramicznych & ... 46
15. Fazy wibracji pręta ceramicznego w żyroskopie ceramicznym & & .. 46
16. Schemat budowy sensora z wibrującym prętem & & & & & & & & .. 46
17. Zjawisko Sagnacka w żyroskopie optycznym & & & & & & & & & . 47
18. Uproszczony schemat żyroskopu FOG & & & & & & & & & & & & 49
19. Schemat żyroskopu typu IFOG & & & & & & .& & & & & & & & .. 50
20. Żyro DSP 3000 firmy KVH & & & & & & & & & & & & & & & & . 51
21. System iNAV-FMS firmy iMAR & & & & & & & & & & & & & & . 51
22. Schemat żyroskopu laserowego & & & & & & & & & & & & & & ... 52
23. Schemat detektora żyroskopu RLG & & & & & & & & & & & & & . 53
24. Schemat budowy akcelerometru & & & & & & & & & & & & & & .. 55
25. Schemat akcelerometru belkowego & & & & & & & & & & & & & .. 56
26. Powiększenie struktury akcelerometru MEMS & & & & & & & & & 57
27. Widok pojedynczej grupy grzebieni akcelerometru & & & & & & & 57
28. Wpływ utraty sygnału GPS na dokładność pozycji w systemie
INS/GPS & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ... 60
29. Zobrazowanie błędów w sensorach inercyjnych & & & & & .& & & 61
30. Funkcje ACF i ACS dla białego szumu & & & & & & & & & & & & 67
31. Filtr formujący stosowany w modelowaniu szumu & & & & & & & . 68
32. Funkcja autokorelacji pierwszego rzędu & & & & & & & & & & & .. 70
33. Układ filtrujący pierwszego rzędu & & & & & & & & & & & & & ... 71
82
Redaktor
Paulina Mądrawska
Redakcja techniczna
Elwira Goryczko
Szczecin 2006. Typografia i skład  Dział Wydawnictw Akademii Morskiej.
Wyd. I. Nakład 150 egz. Format B5. Ark. wyd. 5,3. Ark. druk. 5,0.
83
ISBN 10 83-89901-20-X
ISBN 13 978-83-89901-20-0
84
M. Gu c ma J . Mo n t e wk a Po d s t a wy mo r s k i e j n a wi g a c j i i n e r c y j n e j
85