R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
10. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Funkcijas jdziens. Funkcijas uzdoaanas veidi.
Atkltas, apslptas un parametriski dotas funkcijas. Pra, nepra, periodiskas
funkcijas. Monotonas funkcijas. Invers funkcija. Funkciju klasifikcija.
Pamatelementro funkciju grafiki. Hiperbolisks funkcijas.
9.1. Funkcijas jdziens
Ptot da~das dabas pard%2łbas vai risinot tehniskas problmas, bie~i ir
nepiecieaams aplkkot viena main%2łga lieluma atkar%2łbu no cita main%2łg lieluma. Piemram,
kvadrta laukums mains atkar%2łb no malas garuma, kermeFa noietais ce<a atkar%2łb no
laika, gzes spiediens slgt tvertn atkar%2łb no temperatkras utt. Funkcijas jdziena
pirmskumi ir atrodami tieai ad atkar%2łb starp fiziklajiem lielumiem, k mintajos
piemros. Ta%0ńu funkcijas jdziena defin%2łcija rads 18. gadsimt, pamatojoties uz kdu
Eilera 1749. gad publicto darbu.
Defin%2łcija. Ja katrai main%2łga lieluma x vrt%2łbai no kdas skait<u kopas D pc noteikta
likuma piekrto vienu vien%2łgu main%2łga lieluma y vrt%2łbu no skait<u kopas E, tad lielumu y
sauc par main%2łg x funkciju.
Main%2łgo lielumu x sauc par neatkar%2łgo main%2łgo jeb argumentu, lielumu y par
atkar%2łgo main%2łgo jeb funkciju, skait<u kopu D, no kuras Fem argumenta vrt%2łbas, par
funkcijas defin%2łcijas apgabalu, kopu E, kuras elementi ir funkcijas y vrt%2łbas, par
funkcijas vrt%2łbu kopu. To, ka y ir main%2łg x funkcija, pieraksta y = f (x).
Funkcijas defin%2łcij ir svar%2łgi, ka katram x piekrto vienu vien%2łgu main%2łg lieluma
y vrt%2łbu. Piemram, 1. z%2łmjum dot l%2łnija ir funkcijas grafiks, jo katrai x vrt%2łbai
atbilst viena vien%2łga y vrt%2łba (z%2łmjum katra Oy asij paralla taisne krusto grafiku ne
vairk k vienu reizi), bet 2. z%2łmjum atlot l%2łnija nav funkcijas grafiks, jo eksist tdas
x vrt%2łbas, kurm atbilst vairkas y vrt%2łbas.
y y
O x1 x2 x3 x O x1 x
1. z%2łm. 2. z%2łm.
10. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
9.2. Funkcijas uzdoaanas veidi
Funkciju var uzdot da~dos veidos, bet katram veidam ir savas priekaroc%2łbas un
savi trkkumi. Visbie~k lieto 3 uzdoaanas veidus, kurus apskat%2łsim s%2łkk, ta%0ńu iespjami
ar%2ł citi uzdoaanas veidi.
1. Tabulrais funkcijas uzdoaanas veids.
Lietojot ao veidu, funkcija tiek uzdota ar tabulu, kur ierakst%2łtas argumenta vrt%2łbas un
atbilstoas funkcijas vrt%2łbas, piemram:
x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
y 0 0,04 0,16 0,36 0,64 1 1,44 1,96 2,56 3,24 4
Tabulr uzdoaanas veida priekaroc%2łba:
Katrai argumenta vrt%2łbai, kura ierakst%2łta tabul, tkl%2łt var nolas%2łt atbilstoao
funkcijas vrt%2łbu.
Tabulr uzdoaanas veida trkkumi:
1) `d veid funkciju nevar uzdot piln%2łgi, jo nav iespjams ierakst%2łt tabul visas
starpvrt%2łbas, lai gan zinms, ka funkcija tm eksist. `%2łs starpvrt%2łbas gan
iespjams iegkt ar papildus apr7iniem, ta%0ńu ne vienmr iespjams sasniegt
vajadz%2łgo precizitti.
2) Tabulri uzdotm funkcijm trkkst uzskatm%2łbas, t.i. nav iespjams uzreiz noteikt,
k funkcija izturas, mainoties argumentam.
3) Tabulrais pieraksts ir <oti gara.
2. Anal%2łtiskais funkcijas uzdoaanas veids.
`aj gad%2łjum funkciju uzdod ar vienu vai vairkm formulm. Piemram, ieprieka
tabulri uzdots funkcijas anal%2łtiskais uzdoaanas veids ir y = x2 . Da~krt da~dos
argumenta maiFas intervlos funkciju uzdod ar da~dm formulm, piemram
x +1, ja x d" 0
ż#
y =
#
#1- x2 , ja x > 0
Anal%2łtisk uzdoaanas veida priekaroc%2łbas:
1) kompakts pieraksts;
2) katrai argumenta x vrt%2łbai iespjams apr7int atbilstoao funkcijas vrt%2łbu;
3) funkciju pt%2łaan iespjams lietot matemtisks anal%2łzes metodes.
Anal%2łtisk uzdoaanas veida trkkumi:
1) trkkst uzskatm%2łbas par funkcijas izturaanos;
2) funkcijas vrt%2łbu apr7ini var bkt sare~#%2łti un darbietilp%2łgi.
10. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
3. Grafiskais funkcijas uzdoaanas veids.
`aj gad%2łjum funkciju uzdod ar ts grafiku. Funkcijas
y grafiks ir to xOy plaknes punktu kopa, kuru abscisas ir
argumenta x vrt%2łbas, ordintas atbilstoas funkcijas
y vrt%2łbas. Piemram, funkcijas y = x2 grafiks attlots
3. z%2łmjum.
Grafisk uzdoaanas veida priekaroc%2łbas:
1) uzskatm%2łba;
1
2) dotaj mrog var nolas%2łt argumenta vrt%2łbm
atbistoas funkcijas vrt%2łbas.
O x
1 Grafisk uzdoaanas veida trkkums:
Nepietiekam precizitte.
3. z%2łm.
9.3. Atkltas, apslptas un parametriski dotas funkcijas
Ja uzdodot funkcijas anal%2łtiski, viend%2łbai ir veids y = f (x), t.i., viend%2łbas
kreisaj pus ir tikai y, bet viend%2łbas labaj pus izteiksme, kas satur x, tad saka, ka
funkcija dota atklt veid. `d veid uzdotas funkcijas sauc par atkltm funkcijm.
Ja viendojums F(x, y) = 0 , kas satur divus main%2łgos x un y, nav atrisints
attiec%2łb pret y (kdreiz to nevar izdar%2łt), tad saka, ka funkcija y dota apslpt veid. `d
veid uzdotas funkcijas sauc par apslptm funkcijm.
Ja no viendojuma F(x, y) = 0 var izteikt y, tad, to izdarot, iegkst vienu vai
vairkas atkltas funkcijas. Piemram, no viendojuma 3x + y - 5 = 0 iegkst atkltu
funkciju y = 5 - 3x , kuras grafiks, k zinms no anal%2łtisks #eometrijas kursa, ir taisne.
Savukrt no riF7a l%2łnijas viendojuma x2 + y2 = 4 izsakot y, iegksim y = ą 4 - x2 .
Ttad viendojums x2 + y2 = 4 nosaka divas funkcijas y = 4 - x2 un y = - 4 - x2 .
Da~reiz viendojums nav atrisinms ne attiec%2łb pret x, ne attiec%2łb pret y,
piemram, viendojums x2 sin y + 4y cos 2x - 2x + 5y = 0 . Eksist ar%2ł tdi viendojumi,
kurus neapmierina neviens relo skait<u x, y pris. `di viendojumi nenosaka funkciju.
Piemram, x2 + y2 + 6 = 0 .
Funkcijas var uzdot ar%2ł parametrisk veid ar diviem viendojumiem
x = x(t)
ż#
#y = y(t),
#
kas satur main%2łgu parametru t. Ja no sakar%2łbas x = x(t) var viennoz%2łm%2łgi izteikt t, tad,
ievietojot ao t viendojum y = y(t), iegkst viendojumu y = y(t(x)), kas izsaka y k
funkciju no x. `du preju no parametriski dotas funkcijas uz atkltu funkciju sauc par
10. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
x = 2t + 4
ż#
parametra izslgaanu. Piemram, parametriski dota funkcija . No pirm
#
y = 3t -1
#
viendojuma izteiksim t = 0,5x - 2 un ievietosim otraj viendojum: y = 3(0,5x - 2)-1
jeb y = 1,5x - 7 . Ttad dots funkcijas grafiks ir taisne.
Ta%0ńu, apskatot parametriski dotas funkcijas, parametra izslgaana bie~i vien ir ne
tikai nevajadz%2łga, bet ar%2ł praktiski neiespjama. Tad uzdot da~das parametra t vrt%2łbas
un apr7ina atbilstoas x un y vrt%2łbas.
9.4. Pra, nepra, periodiskas funkcijas
Defin%2łcija. Funkciju y = f (x) sauc par pra funkciju, ja vism argumenta x vrt%2łbm ir
spk viend%2łba f (- x) = f (x).
Defin%2łcija. Funkciju y = f (x) sauc par nepra funkciju, ja vism argumenta x vrt%2łbm
ir spk viend%2łba f (- x) = - f (x).
cos x
Piemram dota funkcija y = x3 sin x + . Tad
x2 + 5
cos(- x) cos x cos x
3
y(- x) = (- x) sin(- x)+ = -x3 "(- sin x)+ = x3 sin x + = y(x),
2
x2 + 5 x2 + 5
(- x) + 5
ttad dot funkcija ir pra funkcija.
2x +1
Cits piemrs: y = . `aj gad%2łjum
3 - 4x + x2
2(- x)+1 - 2x +1
y(- x) = = .
2
3 + 4x + x2
3 - 4(- x)+ (- x)
T k y(- x) `" y(x) un y(- x) `" - y(x), tad a%2ł funkcija nav ne pra, ne nepra funkcija jeb
ir vispr%2łga veida funkcija.
Pra funkcijas grafiks ir simetrisks attiec%2łb pret Oy asi, nepra funkcijas grafiks
attiec%2łb pret koordintu sistmas skumpunktu.
K pra funkciju piemrus var mint funkciju y = cos x un visus polinomus, kas
argumentu x satur tikai pra pakps. Nepra funkcijas ir, piemram, y = sin x , y = tg x ,
y = ctg x , visi polinomi, kas argumentu x satur tikai nepra pakps.
Defin%2łcija. Funkciju y = f (x) sauc par periodisku funkciju, ja eksist tds skaitlis T `" 0 ,
ka vism argumenta x vrt%2łbm ir spk viend%2łba f (x + T ) = f (x). Mazko no adiem
pozit%2łviem skait<iem T sauc par funkcijas periodu.
Periodiskas ir visas trigonometrisks funkcijas, pie tam funkciju y = sin x un
y = cos x periods ir 2Ą , bet funkciju y = tg x un y = ctg x periods ir Ą.
10. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Lai konstrutu grafiku periodiskai funkcijai, kuras periods ir T, pietiek konstrut
to perioda ietvaros. Tlk uz abm pusm grafiks periodiski atkrtojas.
9.5. Monotonas funkcijas. Invers funkcija
Defin%2łcija. Funkciju y = f (x) sauc par augoau kd intervl [a;b], ja lielkai
argumenta vrt%2łbai no a%2ł intervla atbilst lielka funkcijas vrt%2łba, t.i. ja x1 < x2 , tad
f (x1)< f (x2 ), kur x1, x2 "[a;b].
Defin%2łcija. Funkciju y = f (x) sauc par dilstoau kd intervl [a;b], ja lielkai
argumenta vrt%2łbai no a%2ł intervla atbilst mazka funkcijas vrt%2łba, t.i. ja x1 < x2 , tad
f (x1) > f (x2 ), kur x1, x2 "[a;b].
Augoaas funkcijas grafiks kpj augaup (4. z%2łm.), dilstoaas funkcijas sl%2łp lejup (5.
z%2łm.).
y y
O x O x
4. z%2łm. 5. z%2łm.
Defin%2łcija. Augoaas un dilstoaas funkcijas sauc par monotonm funkcijm.
Ja kd intervl dot funkcija nav
y
monotona, tad bie~i ir lietder%2łgi ao intervlu
sadal%2łt tdos intervlos, kuros funkcija ir
monotona. `os intervlus sauc par funkcijas
monotonittes intervliem, pie tam aos
intervlus sadala augaanas intervlos un
dilaanas intervlos. Piemram, 6. z%2łmjum
attlots funkcijas augaanas intervli ir
(- ", a) un (b,+ "), dilaanas intervls -
a O b x
(a,b).
PieFemsim, ka dota kda funkcija
6. z%2łm.
y = f (x), kura ir monotona sav defin%2łcijas
10. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
apgabal. Tad no izteiksmes y = f (x) viennoz%2łm%2łgi var izteikt x, ttad x ir kda
vienvrt%2łga main%2łg y funkcija x = g(y). Funkciju y = g(x) sauc par funkcijas y = f (x)
inverso jeb apvrsto funkciju.
Ja funkcija y = f (x) ir augoaa, tad ar%2ł ts invers funkcija ir augoaa; ja y = f (x)
ir dilstoaa, tad ar%2ł invers funkcija ir dilstoaa. Ja apskatm funkcija nav monotona, tad
tai neeksist invers funkcija. Lai monotonai funkcijai atrastu inverso funkciju, y viet
raksta x, x viet raksta y un no iegkts izteiksmes izsaka y. Piemram, noteiksim inverso
funkciju funkcijai y = 3" 2x-1 . Main%2łsim vietm x un y: x = 3" 2y-1 un izteiksim y:
x x x
y-1
= 2 , y -1 = log2 , y = log2 +1.
3 3 3
Dots un inverss funkcijas grafiki ir simetriski attiec%2łb pret pirm un trea
kvadranta bisektrisi. 7. z%2łmjum attloti iepriekaj piemr dots funkcijas un ts
inverss funkcijas grafiki: funkcijas y = 3" 2x-1 grafiks ar sarkano l%2łniju, inverss
x
funkcijas y = log2 +1 grafiks ar zilo l%2łniju.
3
y
4
2
x
-4 -2 2 4
-2
-4
7. z%2łm.
10. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
9.6. Funkciju klasifikcija
Elementrs pamatfunkcijas ir adas:
1. Konstante y = C , kur C ir jebkura rels skaitlis.
2. Pakpes funkcija y = xą , kur ą ir jebkura rels skaitlis, izFemot 0.
x
3. Eksponentfunkcija y = a , kur a ir jebkura rels pozit%2łvs skaitlis, izFemot 1.
4. Logaritmisk funkcija y = loga x , kur a ir jebkura rels pozit%2łvs skaitlis, izFemot 1.
5. Trigonometrisks funkcijas y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x .
6. Ciklometrisks funkcijas y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x .
Defin%2łcija. Funkciju, kuras arguments ir cita funkcija, sauc par saliktu funkciju.
Ja y ir argumenta u funkcija y = f (u), savukrt u ir argumenta x funkcija
u = g(x), tad y = f (g(x)) ir argumenta x salikta funkcija. Tad main%2łgo x sauc par
pamatargumentu, bet main%2łgo u par starpargumentu jeb pal%2łgargumentu, funkciju f
sauc par rjo funkciju, bet funkciju g par iekajo funkciju.
Piemram, no funkcijm y = sin x un y = x2 varam izveidot divas saliktas
funkcijas. Ja par rjo funkciju Femsim y = sin u , bet u = x2 - par iekajo funkciju, tad
iegksim y = sin(x2). Savukrt, Femot otrdi y = u2 un u = sin x , dabksim funkciju
y = sin2 x .
Var bkt ar%2ł komplictkas salikts funkcijas, piemram, y = f (u), u = g(v),
v = h(x), tad y = f (g(h(x))) ar%2ł ir salikta argumenta x funkcija.
Defin%2łcija. Funkciju, kura uzdota ar vienu anal%2łtisku izteiksmi, kura izveidota no
elementrajm pamatfunkcijm ar aritmtiskajm darb%2łbm (saskait%2łaanu, atFemaanu,
reizinaanu, dal%2łaanu) un ar saliktas funkcijas veidoaanas darb%2łbu (kuru pielieto gal%2łgu
skaitu rei~u), sauc par elementru funkciju.
`aj matemtikas kurs prsvar apskat%2łsim elementras funkcijas. Elementras
funkcijas ir, piemram,
3x + 5
y = , y = log5(6 + 5x2), y = cos2 3x + 2sin 5x , y = 3tg 2x , utt.
x3 - 4x +1
Ja defin%2łcijas apgabala da<s funkcija ir uzdota ar da~dm elementrajm
funkcijm, tad t vairs nav elementra funkcija. Piemram, funkcijas
x + 3, ja x "(- ";-2)
ż#
ż# -1, ja x d" 1
x2
#2sin
y = y = x, ja x "[- 2; 2]
# #
#2x +1, ja x > 1
#
1, ja x "(2; + ")
#
nav elementras funkcijas.
10. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Ja funkcijas anal%2łtisk izteiksme izveidota, izpildot ar argumentu tikai algebriskas
darb%2łbas (saskait%2łaanu, atFemaanu, reizinaanu, dal%2łaanu, kpinaanu naturl pakp un
saknes vilkaanu), tad to sauc par algebrisku funkciju. Funkcijas, kas nav algebriskas, sauc
par transcendentm funkcijm. Transcendentas ir visas funkcijas, kas satur
eksponetfunkcijas, logaritmisks, trigonometrisks vai ciklometrisks funkcijas.
Algebrisks funkcijas iedala ads funkcijs:
1) Polinomi jeb veselas racionlas funkcijas funkcijas, kuras iegkst, ar argumentu
x un konstantm izpildot tikai saskait%2łaanas, atFemaanas, reizinaanas un
kpinaanas darb%2łbas. Polinomu bie~i apz%2łm ar simbolu Pn(x), kur n ir polinoma
pakpe. Polinomi piemri ir
P2(x) = 3x2 + 5x -11, P5(x) = 2x5 - x3 + 7x + 9 , P10(x) = 2 - 3x10 .
2) Racionlas funkcijas jeb da<veida racionlas funkcijas divu polinomu dal%2łjums.
Racionlas funkcijas bie~i apz%2łm ar simbolu R(x). Piemram:
1 10x6 - 3x5 + 4 x4
R(x) = , R(x) = , R(x) = .
x3 + 8 2 - 5x2 + 6x x + 5
3) Iracionlas funkcijas funkcijas, kuras iegkst, ar argumentu x un konstantm
izpildot saskait%2łaanas, atFemaanas, reizinaanas, dal%2łaanas un saknes vilkaanas
darb%2łbas. Piemram:
3
x + 3" x - 2 x - 4 4x - 7
4
f (x) = , f (x) = 2x +1 + , f (x) = .
x2 + 2
x + 4x2
x2 - 2x + 5
9.7. Pamatelementro funkciju grafiki
1) Konstante y = C . Konstantes grafiks ir Ox asij paralla taisne, kas iet caur punktu
(0; C) (8.z%2łm.).
y
C
O x
8. z%2łm.
10. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2) Pakpes funkcija y = xą . Apskat%2łsim atsevia7us gad%2łjumus, atkar%2łb no kpintja ą
vrt%2łbas.
a) ą = n , kur n ir naturls pra skaitlis. Tad pakpes funkcija ir definta vism relm
x vrt%2łbm, ttad x "(- "; + "), bet funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "[0; + "). Funkcijas
grafiks atrodas pirmaj un otraj kvadrant un ir simetrisks attiec%2łb pret Oy asi.
y
6
5
4
3
2
1
x
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
9. z%2łm.
9. z%2łmjum sarkan l%2łnija ir funkcijas y = x2 grafiks, zil funkcijas y = x4 grafiks,
za< funkcijas y = x6 grafiks.
10. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
b) ą = n , kur n ir naturls nepra skaitlis. Tad funkcijas defin%2łcijas apgabals
ir x "(- "; + "), funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "(- "; + "). Funkcijas grafiks atrodas
pirmaj un treaaj kvadrant un ir simetrisks attiec%2łb pret koordintu sistmas
skumpunktu.
y
4
3
2
1
x
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-1
-2
-3
-4
10. z%2łm.
10. z%2łmjum sarkan l%2łnija ir funkcijas y = x grafiks, zil funkcijas y = x3 grafiks,
za< funkcijas y = x5 grafiks.
10. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
1
n
c) ą = , kur n ir naturls pra skaitlis. Tad iegkstam funkciju y = x . `%2łs funkcijas
n
defin%2łcijas apgabals ir x "[0; + "), funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "[0; + "), l%2łdz ar to
funkcijas grafiks atrodas tikai pirmaj kvadrant.
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x
2 4 6 8
-0.5
11. z%2łm.
4
11. z%2łmjum sarkan l%2łnija ir funkcijas y = x grafiks, zil funkcijas y = x
6
grafiks, za< funkcijas y = x grafiks.
1
n
d) ą = , kur n ir naturls nepra skaitlis. Tad iegkstam funkciju y = x . `%2łs
n
funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(- "; + "), funkcijas vrt%2łbu kopa ir
y "(- "; + "), funkcijas grafiks atrodas pirmaj un treaaj kvadrant.
y
2
1.5
1
0.5
x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-0.5
-1
-1.5
-2
12. z%2łm.
3 5
12. z%2łmjum sarkan l%2łnija ir funkcijas y = x grafiks, zil funkcijas y = x
7
grafiks, za< funkcijas y = x grafiks.
10. nodarb%2łba. 11. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
m
n
e) ą = , kur m un n ir naturli skait<i. Tad iegkstam funkciju y = xm . `%2łs
n
funkcijas grafiks ir atkar%2łgs no t, vai m un n ir pra vai nepra skait<i. Ja m un n ir
nepra skait<i, tad funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(- "; + "), funkcijas vrt%2łbu
kopa ir y "(- "; + "), funkcijas grafiks atrodas pirmaj un treaaj kvadrant. Ja m ir
pra skaitlis, tad x "(- "; + "), y "[0; + ") un funkcijas grafiks atrodas pirmaj un
otraj kvadrant. Ja n ir pra skaitlis, bet m nepra, tad x "[0; + "), y "[0; + ") un
funkcijas grafiks atrodas tikai pirmaj kvadrant. Pie tam, ja m > n , tad funkcijas
grafiks ir ieliekts, bet, ja m < n , - izliekts.
y
6
4
2
x
-6 -4 -2 2 4 6
-2
-4
13. z%2łm.
3 2
5 3
13. z%2łmjum sarkan l%2łnija ir funkcijas y = x grafiks, zil funkcijas y = x
3
2
grafiks, za< funkcijas y = x grafiks.
10. nodarb%2łba. 12. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
1
f) ą = -n , kur n ir naturls nepra skaitlis. Tad iegkstam funkciju y = . `%2łs
xn
funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(- "; 0)*" (0; + "), funkcijas vrt%2łbu kopa ir
y "(- "; 0)*" (0; + "). Funkcijas grafiks atrodas pirmaj un treaaj kvadrant un ir
simetrisks attiec%2łb pret koordintu sistmas skumpunktu. `o funkciju grafiki ir
ata7ir%2łgi no iepriekajm l%2łnijm. Pozit%2łvm ą vrt%2łbm pakpes funkcijas grafiki ir
parabolas, bet negat%2łvm hiperbolas.
y
6
4
2
x
-6 -4 -2 2 4 6
-2
-4
-6
14. z%2łm.
14. z%2łmjum sarkan l%2łnija ir funkcijas y = x-1 grafiks, zil funkcijas y = x-3
grafiks, za< funkcijas y = x-5 grafiks.
10. nodarb%2łba. 13. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
g) ą = -n , kur n ir naturls pra skaitlis. `%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir
x "(- "; 0)*" (0; + "), funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "(0; + "). Funkcijas grafiks
atrodas pirmaj un otraj kvadrant un ir simetrisks attiec%2łb pret Oy asi.
y
6
5
4
3
2
1
x
-6 -4 -2 2 4 6
15. z%2łm.
15. z%2łmjum sarkan l%2łnija ir funkcijas y = x-2 grafiks, zil funkcijas y = x-4
grafiks, za< funkcijas y = x-6 grafiks.
x
3) Eksponentfunkcija y = a . `%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(- "; + "),
funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "(0; + "), funkcijas grafiks atrodas pirmaj un otraj
kvadrant. Visu eksponentfunkciju grafiki iet caur punktu (0; 1). Ja a > 1, tad
funkcija ir augoaa; ja 0 < a < 1 - funkcija ir dilstoaa.
16. z%2łmjum sarkan l%2łnija ir funkcijas y = 2x grafiks, zil funkcijas y = 4x
x
1
# ś#
grafiks, za< funkcijas y = grafiks.
ś# ź#
2
# #
10. nodarb%2łba. 14. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
y
6
5
4
3
2
1
x
-6 -4 -2 2 4 6
16. z%2łm.
x
4) Logaritmisk funkcija y = loga x ir eksponentfunkcijas y = a invers funkcija. `%2łs
funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(0; + "), funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "(- "; + "),
funkcijas grafiks atrodas pirmaj un ceturtaj kvadrant. Visu logaritmisko funkciju
grafiki iet caur punktu (1; 0), pie tam, ja a > 1, tad funkcija ir augoaa; ja 0 < a < 1 -
funkcija ir dilstoaa.
y
3
2
1
x
1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
17. z%2łm.
10. nodarb%2łba. 15. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
17. z%2łmjum sarkan l%2łnija ir funkcijas y = log2 x grafiks, zil funkcijas
y = log4 x grafiks, za< funkcijas y = log x grafiks.
1
2
5) Trigonometrisks funkcijas:
a) y = sin x . `%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(- "; + "), funkcijas vrt%2łbu
kopa ir y "[-1; 1]. Funkcija ir periodiska ar periodu T = 2Ą , tpc grafiks periodiski
atkrtojas. T k funkcija ir nepra, ts grafiks ir simetrisks attiec%2łb pret koordintu
sistmas skumpunktu. Funkcijas grafiks attlots 18. z%2łmjum.
y
1
0.5
x
-6 -4 -2 2 4 6
-0.5
-1
18. z%2łm.
b) y = cos x . `%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(- "; + "), funkcijas vrt%2łbu
kopa ir y "[-1; 1]. Funkcija ir periodiska ar periodu T = 2Ą . Funkcija ir pra, l%2łdz ar to
ts grafiks ir simetrisks attiec%2łb pret Oy asi. Funkcijas grafiks attlots 19. z%2łmjum.
y
1
0.5
x
-6 -4 -2 2 4 6
-0.5
-1
19. z%2łm.
10. nodarb%2łba. 16. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
c) y = tg x . `%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir visi relie skait<i, izFemot
Ą
x `" + Ą n , kur n ir jebkura vesels skaitlis; funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "(- "; + ").
2
Funkcija ir periodiska ar periodu T = Ą . Funkcija ir nepra, ttad ts grafiks ir simetrisks
attiec%2łb pret koordintu sistmas skumpunktu. Funkcijas grafiks attlots 20. z%2łmjum.
y
6
4
2
x
-6 -4 -2 2 4 6
-2
-4
-6
20. z%2łm.
d) y = ctg x . `%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir visi relie skait<i, izFemot x `" Ą n ,
kur n ir jebkura vesels skaitlis; funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "(- "; + "). Funkcija ir
periodiska ar periodu T = Ą . T k funkcija ir nepra, ts grafiks ir simetrisks attiec%2łb
pret koordintu sistmas skumpunktu. Funkcijas grafiks attlots 21. z%2łmjum.
10. nodarb%2łba. 17. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
y
6
4
2
x
-6 -4 -2 2 4 6
-2
-4
-6
21. z%2łm.
6) Ciklometrisks funkcijas:
Ą Ą
Ą# ń#
a) y = arcsin x . `%2ł funkcija ir funkcijas y = sin x , kur x " ; , invers
ó#- Ą#
2 2
Ł# Ś#
funkcija. `%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "[-1; 1], funkcijas vrt%2łbu kopa ir
Ą Ą
Ą# ń#
y " ; . Funkcija ir nepra, l%2łdz ar to ts grafiks ir simetrisks attiec%2łb pret
ó#- Ą#
2 2
Ł# Ś#
koordintu sistmas skumpunktu. Funkcijas grafiks attlots 22. z%2łmjum.
b) y = arccos x . `%2ł funkcija ir funkcijas y = cos x , kur x "[0; Ą ], invers funkcija.
`%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "[-1; 1], funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "[0; Ą ].
Funkcijas grafiks attlots 23. z%2łmjum.
10. nodarb%2łba. 18. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
y
y
3
1.5
2.5
1
2
0.5
1.5
x
-1 -0.5 0.5 1
1
-0.5
0.5
-1
x
-1.5
-1 -0.5 0.5 1
22. z%2łm. 23. z%2łm.
Ą Ą
# ś#
c) y = arctg x . `%2ł funkcija ir funkcijas y = tg x , kur x " ; , invers funkcija.
ś#- ź#
2 2
# #
`%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(- "; + "), funkcijas vrt%2łbu kopa ir
Ą Ą
# ś#
y " - ; . Funkcija ir nepra, l%2łdz ar to ts grafiks ir simetrisks attiec%2łb pret
ś# ź#
2 2
# #
koordintu sistmas skumpunktu. Funkcijas grafiks attlots 24. z%2łmjum.
y
2
1.5
1
0.5
x
-6 -4 -2 2 4 6
-0.5
-1
-1.5
-2
24. z%2łm.
10. nodarb%2łba. 19. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
d) y = arcctg x . `%2ł funkcija ir funkcijas y = ctg x , kur x "(0; Ą ), invers funkcija. `%2łs
funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(- "; + "), funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "(0; Ą ).
Funkcijas grafiks attlots 25. z%2łmjum.
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x
-6 -4 -2 2 4 6
25. z%2łm.
9.8. Hiperbolisks funkcijas
Hiperbolisks funkcijas nav elementrs pamatfunkcijas, ts defin izmantojot
eksponentfunkciju y = ex . Skaitlis e H" 2,71828 ir matemtiska konstante, kuru bie~i lieto
tehnik, teortiskaj mehnik, materilu pretest%2łb, elektrotehnik u.c. Ar%2ł hiperbolisks
funkcijas tiek plaai pielietotas mintajs zintnes nozars. Hiperbolisks funkcijas ir
adas:
ex - e- x
1) Hiperboliskais sinuss shx = . `%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir
2
x "(- "; + "), funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "(- "; + "). Funkcija ir nepra, l%2łdz ar to
ts grafiks ir simetrisks attiec%2łb pret koordintu sistmas skumpunktu. Funkcijas
ex e- x
y = shx grafiku viegli iegkt, konstrujot funkciju y = un y = grafikus un
2 2
atFemot ao grafiku punktu ordintas. 26. z%2łmjum ar sarkanu l%2łniju attlots funkcijas
ex e- x
y = shx grafiks, ar zilu funkciju y = un y = grafiki.
2 2
10. nodarb%2łba. 20. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
y
6
4
2
x
-6 -4 -2 2 4 6
-2
-4
-6
26. z%2łm.
ex + e- x
2) Hiperboliskais kosinuss chx = . `%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir
2
x "(- "; + "), funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "[1; + "). Funkcija ir pra, ttad ts
grafiks ir simetrisks attiec%2łb pret Oy asi. Funkcijas y = chx grafiku var iegkt,
ex e- x
konstrujot funkciju y = un y = grafikus un saskaitot ao grafiku punktu
2 2
ordintas. 27. z%2łmjum ar sarkanu l%2łniju attlots funkcijas y = chx grafiks, ar zilu
ex e- x
funkciju y = un y = grafiki.
2 2
10. nodarb%2łba. 21. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
y
6
5
4
3
2
1
x
-6 -4 -2 2 4 6
27. z%2łm.
shx ex - e-x
3) Hiperboliskais tangenss thx = = . `%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir
chx ex + e-x
x "(- "; + "), funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "(-1; 1). Funkcija ir nepra, l%2łdz ar to ts
grafiks ir simetrisks attiec%2łb pret koordintu sistmas skumpunktu. `%2łs funkcijas
grafiks attlots 28. z%2łmjum.
y
1
0.5
x
-6 -4 -2 2 4 6
-0.5
-1
28. z%2łm.
chx ex + e- x
4) Hiperboliskais kotangenss cthx = = . `%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabals ir
shx ex - e-x
x "(- "; 0)*" (0; + "), funkcijas vrt%2łbu kopa ir y "(- "; -1)*" (1; + "). Funkcija ir
nepra, ttad ts grafiks ir simetrisks attiec%2łb pret koordintu sistmas skumpunktu.
`%2łs funkcijas grafiks pard%2łts 29. z%2łmjum.
10. nodarb%2łba. 22. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
y
6
4
2
x
-6 -4 -2 2 4 6
-2
-4
-6
29. z%2łm.
10. nodarb%2łba. 23. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
10 lekcija 2 semWSM 10 52 pl(1)VA US Top 40 Singles Chart 2015 10 10 Debuts Top 10010 35401 (10)173 21 (10)więcej podobnych podstron