10 lekcija 2 sem


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
10. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Lineri otrs krtas diferencilviendojumi, to
atrisinjumu %2łpaa%2łbas. Lineri homogni otrs krtas viendojumi ar
konstantiem koeficientiem, to vispr%2łgais atrisinjums.
10.1. Lineri otrs krtas diferencilviendojumi,
to atrisinjumu %2łpaa%2łbas
Defin%2łcija. Par lineriem otrs krtas diferencilviendojumiem sauc viendojumus, kuri
2 2 2
nezinmo funkciju y un ts atvasinjumus y un y satur tikai pirmaj pakp, t.i., tie ir
viendojumi ad veid:
2 2 2
a(x)y + b(x)y + c(x)y = f (x),
kur a(x), b(x), c(x), f(x) ir neprtrauktas argumenta x funkcijas.
Ja labs puses funkcija f (x) = 0 , tad viendojumu sauc par homognu. Pretj
gad%2łjum, t.i., ja f (x) `" 0 , tad viendojumu sauc par nehomognu.
Aplkkosim lineru homognu otrs krtas diferencilviendojumu
2 2 2
a(x)y + b(x)y + c(x)y = 0 . (1)
Ja y1 un y2 ir viendojuma (1) partikulrie atrisinjumi, tad ir spk adi apgalvojumi:
1) y1 + y2 ar%2ł ir viendojuma (1) atrisinjums;
2) Cy1, kur C ir konstante, ar%2ł ir viendojuma (1) atrisinjums.
`os apgalvojumus var viegli pierd%2łt, atbilstoao izteiksmi ievietojot viendojum (1).
No abiem iepriekajiem apgalvojumiem var secint, ka funkcija
y = C1y1 + C2 y2
ar%2ł ir viendojuma (1) atrisinjums.
Noteiksim, kdiem jbkt partikulriem atrisinjumiem y1 un y2, lai funkcija
y = C1y1 + C2 y2 bktu viendojuma (1) vispr%2łgais atrisinjums, t.i., lai ar da~dm C1 un
C2 vrt%2łbm vartu iegkt visus iespjamos viendojuma atrisinjumus.
Aplkkosim piemru:
2 2
y + y = 0 .
Prliecinsimies, ka funkcija y1 = sin x ir a%2ł viendojuma atrisinjums:
2 2 2
y1 = cos x , y1 = -sin x .
Ievietojot a%2łs funkcijas viendojum, iegksim
10. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
?
- sin x + sin x =0 , 0 = 0 ,
ttad funkcija y1 = sin x tieam ir a%2ł viendojuma atrisinjums.
Analo#iski varam pierd%2łt, ka ar%2ł funkcija y2 = 2sin x ir a%2ł viendojuma
atrisinjums. Tad
y = C1y1 + C2 y2 = C1 sin x + C2 " 2sin x = (C1 + 2C2 )sin x
ir a%2ł viendojuma atrisinjums.
Ta%0ńu funkcija y3 = cos x ar%2ł ir a%2ł viendojuma atrisinjums, bet ao funkciju nevar
iegkt no funkcijas y = (C1 + 2C2 )sin x ne ar kdm konstanau vrt%2łbm, ttad ais
atrisinjums nav vispr%2łgais atrisinjums. Nodefinsim nosac%2łjumus, pie kuriem iegksim
diferencilviendojuma (1) vispr%2łgo atrisinjumu.
Teorma. Funkcija y = C1y1 + C2 y2 ir diferencilviendojuma (1) vispr%2łgais
atrisinjums, ja funkcijas y1 un y2 ir lineri neatkar%2łgas.
Defin%2łcija. Funkcijas y1 un y2 sauc par lineri atkar%2łgm, ja to attiec%2łba ir konstante,
ata7ir%2łga no nulles, t.i., ja
y1
= k , k = const, k `" 0 .
y2
Pretj gad%2łjum funkcijas y1 un y2 sauc par lineri neatkar%2łgm.
Da~reiz pc defin%2łcijas noteikt, vai funkcijas ir lineri atkar%2łgas, ir sare~#%2łti un
darbietilp%2łgi. Td gad%2łjum funkciju liners atkar%2łbas noteikaanai rti lietot Vronska
determinantu.
Defin%2łcija. Par funkciju y1 un y2 Vronska determinantu sauc adu determinantu:
y1 y2
W(y1, y2 ) = .
2 2
y1 y2
Teorma. Funkcijas y1 un y2 ir lineri atkar%2łgas tad un tikai tad, ja to Vronska
determinants ir viends ar nulli, t.i., ja
W(y1, y2 ) = 0 .
Ttad, lai atrastu viendojuma (1) vispr%2łgo atrisinjumu, jatrod divi lineri
neatkar%2łgi a%2ł viendojuma atrisinjumi y1 un y2 (tdi, lai Vronska determinants
W(y1, y2 ) `" 0 ). Tad viendojuma (1) vispr%2łgais atrisinjums ir
y = C1y1 + C2 y2 .
10. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
10.2. Lineri homogni otrs krtas viendojumi ar konstantiem
koeficientiem, to vispr%2łgais atrisinjums
Liners homogns otrs krtas diferencilviendojums ar konstantiem
koeficientiem ir
2 2 2
ay + by + cy = 0 , (2)
kur a, b, c ir konstantes, a `" 0 .
2
Viendojuma (2) atrisinjumu meklsim form y = ekx . Tad y = kekx ,
2
2 2
y = k ekx . `%2łs izteiksmes ievietojot viendojum (2), iegksim
2
ak ekx + bkekx + cekx = 0 .
T k ekx `" 0 , tad viendojumu varam izdal%2łt ar ekx :
2
ak + bk + c = 0 . (3)
Viendojumu (3) sauc par viendojuma (2) rakstur%2łgo viendojumu. Atkar%2łb no
koeficientiem, kvadrtviendojumam (3) var bkt triju veidu saknes:
1) Diskriminants D > 0 , tad kvadrtviendojumam ir divas relas ata7ir%2łgas saknes k1 ,
k2 . Tm atbilst divi partikulrie atrisinjumi
1 2
y1 = ek x , y2 = ek x .
Prbaud%2łsim, vai aie atrisinjumi ir lineri neatkar%2łgi:
1 2
ek x ek x x x x x x x
1 2 1 2 1 2
W(y1, y2 ) = = ek " k2ek - k1ek ek = ek ek (k2 - k1) `" 0 ,
1 2
k1ek x k2ek x
jo jebkurai a vrt%2łbai ea `" 0 un k1 `" k2 . Ttad viendojuma (2) partikulrie
1 2
atrisinjumi y1 = ek x un y2 = ek x ir lineri neatkar%2łgi un l%2łdz ar to viendojuma (2)
vispr%2łgais atrisinjums ir
1 2
y = C1ek x + C2ek x .
2) Diskriminants D = 0 , tad kvadrtviendojumam ir divas relas viendas saknes
k1 = k2 = k . Viens no partikulrajiem atrisinjumiem ir
y1 = ekx .
K otru partikulro atrisinjumu Femsim funkciju
y2 = xekx .
10. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Vispirms prbaud%2łsim, vai a%2ł funkcija tieam ir viendojuma (2) atrisinjums,
ievietojot to mintaj viendojum:
2
2 2 2
y2 = ekx + kxekx , y2 = kekx + kekx + kxekx " k = 2kekx + k xekx ;
?
2
a(2kekx + k xekx)+ b(ekx + kxekx)+ cxekx = 0 : ekx ,
?
2
2ak + ak x + b + bkx + cx = 0 ,
?
2
x(ak + bk + c)+ (2ak + b)=0 .
2
ak + bk + c = 0 , jo k ir rakstur%2łg viendojuma (3) sakne. T k rakstur%2łg
- b ą D b
viendojuma diskriminants D = 0 , tad saknes k1 = k2 = k = = - .
2a 2a
Ievietosim to atlikuaaj viendojuma da<:
?
b
# ś#
2a " + b = 0, - b + b = 0 ,
ś#- ź#
2a
# #
ttad y2 = xekx ir viendojuma (2) partikulrais atrisinjums. Atliek prbaud%2łt, vai
abi atrisinjumi ir lineri neatkar%2łgi:
ekx xekx
W(y1, y2 ) = = e2kx + kxe2kx - kxe2kx = e2kx `" 0 ,
kekx ekx + kxekx
l%2łdz ar to esam pierd%2łjuai, ka partikulrie atrisinjumi y1 = ekx un y2 = xekx ir
lineri neatkar%2łgi. Ttad aaj gad%2łjum viendojuma (2) vispr%2łgais atrisinjums ir
y = C1ekx + C2 xekx = ekx(C1 + C2 x).
3) Diskriminants D < 0 , tad kvadrtviendojumam ir divas kompleksas saist%2łtas saknes
k1 = ą + i un k2 = ą - i . Tm atbilst divi partikulrie atrisinjumi
~ ~
1 2
y1 = ek x = e(ą +i )x = eąxeix , y2 = ek x = e(ą -i )x = eąxe-ix .
Izmantosim Eilera formulu:
ei = cos + i sin .
Tad
~ ~
y1 = eąxeix = eąx(cos  x + i sin  x), y2 = eąxe-ix = eąx(cos  x - i sin  x).
10. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Pc lineru homognu atrisinjumu %2łpaa%2łbm atrisinjumu summa, starp%2łba un
reizinjums ar skaitli ar%2ł ir atrisinjums, tpc par viendojuma atrisinjumiem
Femsim adas funkcijas:
~ ~ ~ ~
y1 + y2 y1 - y2
y1 = = eąx cos  x , y2 = = eąx sin  x .
2 2i
Prbaud%2łsim, vai aie atrisinjumi ir lineri neatkar%2łgi:
eąx cos  x eąx sin  x
W(y1, y2 ) = =
ą eąx cos  x - eąx sin  x ą eąx sin  x + eąx cos  x
= ą e2ąx cos  xsin  x + e2ąx cos2  x - ą e2ąx cos  xsin  x + e2ąx sin2  x =
2
= e2ąx(cos2  x + sin  x)= e2ąx `" 0 ,
jo e2ąx `" 0 un  `" 0 , pretj gad%2łjum rakstur%2łgajam viendojumam ir relas
saknes, kas atbilst 1. un 2. gad%2łjumam. Ttad partikulrie atrisinjumi
y1 = eąx cos  x un y2 = eąx sin  x ir lineri neatkar%2łgi un viendojuma vispr%2łgo
atrisinjumu var pierakst%2łt form
y = C1eąx cos  x + C2eąx sin  x = eąx(C1 cos  x + C2 sin  x).
Apkoposim visu, ko esam ieguvuai par lineru homognu otrs krtas
diferencilviendojumu risinaanu.
Lai noteiktu linera homogna otrs krtas diferencilviendojuma ar konstantiem
koeficientiem
2 2 2
ay + by + cy = 0
vispr%2łgo atrisinjumu, uzraksta t rakstur%2łgo viendojumu
2
ak + bk + c = 0 ,
atrisina to un, atkar%2łb no rakstur%2łg viendojuma saknm, uzraksta vispr%2łgo
atrisinjumu:
1 2
1) ja k1 , k2 " R un k1 `" k2 , tad y = C1ek x + C2ek x ;
2) ja k1 = k2 = k un k " R, tad y = ekx(C1 + C2x);
3) ja k1,2 = ą ą i , tad y = eąx(C1 cos  x + C2 sin  x).
2 2 2
Piemrs. Atrisint viendojumu y + 3y - 4y = 0 .
Risinjums. Dot diferencilviendojuma rakstur%2łgais viendojums ir
10. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2
k + 3k - 4 = 0 ,
t saknes var uzmint pc Vjeta teormas, ts ir k1 = 1, k2 = -4 . Saknes ir relas un
ata7ir%2łgas, ttad tas ir pirmais gad%2łjums un viendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
y = C1ex + C2e-4x .
2 2
Piemrs. Atrisint viendojumu y - 2y + 2y = 0 .
Risinjums. Atbilstoaais rakstur%2łgais viendojums ir
2
k - 2k + 2 = 0 .
Apr7insim t saknes: D = b2 - 4ac = (- 2)2 - 4 "1" 2 = 4 - 8 = -4 ,
- b ą D 2 ą - 4 2 ą 2i
k1,2 = = = = 1ą i .
2a 2 2
Ttad rakstur%2łg viendojuma saknes ir kompleksi skait<i (3. gad%2łjums), kur ą = 1,  = 1,
un viendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
y = ex(C1 cos x + C2 sin x).
10.3. Lineri homogni n-ts krtas viendojumi ar konstantiem
koeficientiem, to vispr%2łgais atrisinjums
L%2łdz%2łg veid k otrs krtas viendojumus risina ar%2ł augstkas krtas linerus
homognus diferencilviendojumus ar konstantiem koeficientiem. Tdjdi liners
homogns n-ts krtas diferencilviendojums ar konstantiem koeficientiem ir
2
a0 y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) + K+ an-1 y + an y = 0 ,
kur a0 , a1, a2 ,K, an-1, an ir reli skait<i un a0 `" 0 . `%2ł viendojuma rakstur%2łgais
viendojums ir
n n-1 n-2
a0k + a1k + a2k + K + an-1k + an = 0 .
`%2ł viendojuma saknes ir k1, k2 ,K, kn . Ts var bkt 4 veidu saknes:
1) rela vienkraa sakne,
2) rela vairkkrt%2łga sakne,
3) kompleksas saist%2łtas vienkraas saknes,
4) kompleksas saist%2łtas vairkkrt%2łgas saknes.
No sakFu veida ir atkar%2łgs diferencilviendojuma partikulrais atrisinjums. Ttad
iespjami adi gad%2łjumi:
10. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
1) Ja km ir rakstur%2łg viendojuma rela vienkraa sakne, tad atbilstoaais
diferencilviendojuma partikulrais atrisinjums ir
m
ym = ek x .
2) Ja km ir rakstur%2łg viendojuma rela sakne ar krtu r, tad tai atbilst r lineri
neatkar%2łgi diferencilviendojuma partikulrie atrisinjumi
m m m m
y1 = ek x , y2 = xek x , y3 = x2ek x , ..., yr = xr-1ek x .
3) Ja ą ą i ir rakstur%2łg viendojuma kompleksas saist%2łtas vienkraas saknes, tad
tm atbilst divi diferencilviendojuma partikulrie atrisinjumi
y1 = eą x cos  x , y2 = eą x sin  x .
4) Ja ą ą i ir rakstur%2łg viendojuma kompleksas saist%2łtas saknes ar krtu r, tad
tm atbilst 2r diferencilviendojuma partikulrie atrisinjumi
y1 = eą x cos  x , y2 = eą x sin  x ,
y3 = xeą x cos  x , y4 = xeą x sin  x ,
y5 = x2eą x cos  x , y6 = x2eą x sin  x ,
...............................................................,
y2r-1 = xr-1eą x cos  x , y2r = xr-1eą x sin  x .
Linera homogna n-ts krtas diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
partikulro atrisinjumu linera kombincija
y = C1 y1 + C2 y2 + K + Cn yn .
2 2 2 2 2 2
Piemrs. Atrisint viendojumu y + 6y +13y = 0 .
Risinjums. Dot diferencilviendojuma rakstur%2łgais viendojums ir
3 2
k + 6k +13k = 0 .
Kop%2łgo reizintju k iznes%2łsim pirms iekavm:
2 2
k(k + 6k +13)= 0 , k1 = 0 , k + 6k +13 = 0 ,
- 6 ą -16 - 6 ą 4i
D = 36 - 4 "13 = -16 , k2,3 = = = -3 ą 2i .
2 2
Ttad rakstur%2łgajam viendojumam ir viena rela vienkraa sakne k1 = 0 (1. gad%2łjums),
kurai atbilst partikulrais atrisinjums y1 = e0x = 1 , un kompleksas saist%2łtas vienkraas
10. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
saknes k2,3 = -3 ą 2i (3. gad%2łjums), kurm atbilst partikulrie atrisinjumi
y2 = e-3x cos 2x , y3 = e-3x sin 2x . Rezultt iegkstam, ka diferencilviendojuma
vispr%2łgais atrisinjums ir
y = C1y1 + C2 y2 + C3 y3 = C1 + e-3x(C2 cos 2x + C3 sin 2x).
IV
Piemrs. Atrisint viendojumu yV - 7 y = 0 .
Risinjums. Atbilstoaais rakstur%2łgais viendojums ir
5 4
k - 7k = 0 .
Atrisinsim to:
4
k (k - 7) = 0, k1,2,3,4 = 0 , k5 = 7 .
Ieguvm, ka rakstur%2łgajam viendojumam ir viena rela sakne k = 0 ar krtu 4
(2. gad%2łjums) un viena rela vienkraa sakne k5 = 7 (1. gad%2łjums). Pc atbilstoaajm
formulm sastd%2łsim viendojuma vispr%2łgo atrisinjumu:
y = e0x(C1 + C2x + C3x2 + C4x3)+ C5e7x = C1 + C2x + C3x2 + C4 x3 + C5e7x .
10. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
15 lekcija 2 sem
7 lekcija 2 sem
16 lekcija 2 sem
2 lekcija 2 sem
3 lekcija 2 sem
11 lekcija 2 sem
4 lekcija 2 sem
9 lekcija 2 sem
14 lekcija 2 sem
8 lekcija 2 sem
8 lekcija 2 sem
1 lekcija 2 sem
13 lekcija 2 sem
10 lekcija
6 lekcija 2 sem
pytania W 10 kolokwium sem lato 12
5 lekcija 2 sem
Praca kontrolna sem IV LO 14 15 10 V
Kol 1 Sem 1 10 wzor

więcej podobnych podstron