R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
8. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Diferencilviendojuma jdziens. Pirms krtas
diferencilviendojumi. Vispr%2łgais un partikulrais atrisinjums, skuma
nosac%2łjumi. Koa%2ł problma pirms krtas diferencilviendojumam.
Diferencilviendojumi ar atdalmiem main%2łgiem, homognie pirms krtas
diferencilviendojumi.
8.1. Diferencilviendojuma jdziens
Defin%2łcija. Par diferencilviendojumiem sauc viendojumus, kas satur kdas nezinmas
funkcijas atvasinjumus vai diferenci<us. Ja a%2ł nezinm funkcija ir viena argumenta
funkcija, tad viendojumu sauc par parasto diferencilviendojumu. Savukrt, ja
nezinm funkcija ir vairku argumentu funkcija, tad viendojumu sauc par parcilo
diferencilviendojumu.
`aj kurs aplkkosim tikai parastos diferencilviendojumus un to risinaanas
metodes. Parcilos diferencilviendojumus un to risinaanas metodes aplkko atsevia7a
matemtikas nozare matemtisk fizika.
Defin%2łcija. Par diferencilviendojuma krtu sauc augstk atvasinjuma (jeb
diferenci<a) krtu, ko tas satur.
n-ts krtas diferencilviendojuma vispr%2łgais veids ir
2
F(y(n), y(n-1), y(n-2),K, y , y, x)= 0 . (1)
Defin%2łcija. Par diferencilviendojuma (1) atrisinjumu sauc jebkuru funkciju y(x),
kuru kop ar ts atvasinjumiem ievietojot viendojum (1), viendojums k<kst par
identitti.
Vispirms aplkkosim pirms krtas diferencilviendojumus.
8.2. Pirms krtas diferencilviendojumi. Vispr%2łgais un partikulrais
atrisinjums, skuma nosac%2łjumi. Koa%2ł problma pirms krtas
diferencilviendojumam
Pirms krtas viendojums satur nezinmas funkcijas (apz%2łmsim to y(x))
atvasinjumu vai diferencili, k ar%2ł var saturt paau funkciju y(x) un neatkar%2łgo
main%2łgo. Ttad pirms krtas diferencilviendojuma vispr%2łg forma ir
2
F(y , y, x) = 0 . (2)
2
No vispr%2łgs formas izsakot y , iegksim diferencilviendojuma atklto formu:
8. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2
y = f (x, y).
Diferencilviendojums var saturt nevis funkcijas y(x) atvasinjumus, bet diferenci<us,
tad tas ir dots diferencil form:
M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 .
Kdreiz diferencilviendojumu rti pierakst%2łt simetrisk form:
dx dy
= .
U(x, y) V(x, y)
Ja ir dots diferencilviendojums, tad parasti ir jatrod t atrisinjums, ja tds
eksist. Aplkkosim piemru:
2
y = 3x2 + 5 .
Ac%2łmredzami nezinmo funkciju y iegksim, nointegrjot viendojuma labs puses
funkciju:
y = (3x2 + 5)dx = x3 + 5x + C .
+"
K redzam, atrisinjums satur patva<%2łgu konstanti. `da veida atrisinjumu sauc par
vispr%2łgo atrisinjumu (nodefinsim to nedaudz vlk). Diferencilviendojuma
atrisinjuma grafiku sauc par integrll%2łniju.
Lai iegktu konkrtu diferencilviendojuma atrisinjumu, ir juzdod skuma
nosac%2łjums, t.i., atrisinjuma vrt%2łba kd punkt:
y(x0 ) = y0 . (3)
Defin%2łcija. Uzdevumu atrast diferencilviendojuma (2) atrisinjumu, kas apmierina
skuma nosac%2łjumu (3), sauc par Koa%2ł problmu.
Defin%2łcija. Par diferencilviendojuma (2) vispr%2łgo atrisinjumu sauc funkciju
y = (x,C), kur C ir konstante, kurai izpilds adi divi nosac%2łjumi:
1) a%2ł funkcija ir diferencilviendojuma (2) atrisinjums pie jebkuras C vrt%2łbas;
2) jebkuram pie<aujamam skuma nosac%2łjumam (3) eksist tda vrt%2łba C = C0 , ka
(x0 ,C0 ) = y0 .
Defin%2łcija. Par diferencilviendojuma (2) partikulro atrisinjumu sauc funkciju
y = (x,C0 ), ko iegkst no vispr%2łg atrisinjuma pie konkrtas konstantes vrt%2łbas
C = C0 .
Kdreiz, r7inot diferencilviendojumu, pc integraanas no iegkts izteiksmes
vispr%2łgo atrisinjumu nevar izteikt, tad to pieraksta apslpt veid Ś(x, y,C) = 0 , to
sauc par diferencilviendojuma vispr%2łgo integrli. Atrisinjumu apslpt form
8. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Ś(x, y,C0 ) = 0 , kura apmierina skuma nosac%2łjumu (3), sauc par diferencilviendojuma
partikulro integrli.
Vl diferencilviendojumam var bkt atrisinjums, kuru nevar iegkt no vispr%2łg
atrisinjuma, to sauc par singulro atrisinjumu. Parasti to iegkst, piel%2łdzinot nullei kdu
izteiksmi, ar kuru sa%2łsina viendojuma abas puses.
Vl atliek atbildt uz jautjumu, kad diferencilviendojumam eksist
atrisinjums. Uz to atbild sekojoa teorma.
Pirms krtas diferencilviendojuma atrisinjuma eksistences un unittes
2
teorma. Ja diferencilviendojuma y = f (x, y) labs puses funkcija un ts parcilais
2
atvasinjums pc y f (x, y) ir apgabal D neprtrauktas funkcijas, tad katram apgabala D
y
punktam M (x0 , y0 ) eksist viens vien%2łgs diferencilviendojuma atrisinjums y = y(x),
0
kas apmierina skuma nosac%2łjumu y(x0 ) = y0 .
8.3. Diferencilviendojumi ar atdalmiem main%2łgiem
PieFemsim, ka dots pirms krtas diferencilviendojums
2
y = f (x, y). (4)
Defin%2łcija. Diferencilviendojumu (4) sauc par diferencilviendojumu ar atdalmiem
main%2łgajiem, ja labs puses funkciju f (x, y) var sadal%2łt reizintjos t, ka katrs
reizintjs ir atkar%2łgs tikai no viena main%2łg, t.i.,
2
y = f1(x)" f2(y).
Lai atrisintu adu diferencilviendojumu, lietosim atvasinjuma pierakstu ar
dy
2
diferenci<iem, t.i., y = . Ttad diferencilviendojums ir
dx
dy
= f1(x)" f2(y).
dx
Veiksim darb%2łbu, ko sauc par main%2łg atdal%2łaanu. Tas noz%2łm prrakst%2łt viendojumu t,
lai katr viendojuma pus bktu tikai viens main%2łgais. `im nolkkam abas viendojuma
puses pareizinsim ar dx un izdal%2łsim ar f2(y):
dy
= f1(x)dx .
f2(y)
Abas viendojuma puses nointegrsim:
dy
= f1(x)dx .
+" +"
f2(y)
8. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
No iegkts viend%2łbas izsakot y, iegksim viendojuma vispr%2łgo atrisinjumu. Ja y izteikt
nevar, viend%2łbas labs puses izteiksmi prnes uz kreiso pusi, tdjdi iegkstot
diferencilviendojuma vispr%2łgo integrli.
y
2
Piemrs. Atrisint Koa%2ł uzdevumu: y "cos x = , ja y(0) = e.
ln y
Risinjums. T k reizintjs pie atvasinjuma (t.i., cos x ) atkar%2łgs tikai no viena
y
main%2łg x un funkcija viendojuma labaj pus (t.i., ) atkar%2łga tikai no viena main%2łg
ln y
y, tad dotais viendojums ir diferencilviendojums ar atdalmiem main%2łgajiem. Eemot
dy
2
vr, ka y = , prrakst%2łsim doto viendojumu
dx
dy y
cos x = .
dx ln y
Atdal%2łsim main%2łgos. `im nolkkam reizinsim abas viendojuma puses ar izteiksmi
ln y dx
" , tad kreisaj pus izteiksme bks atkar%2łga tikai no y, bet labaj tikai no x:
y cos x
lny dx
" dy = .
y cos x
Atz%2łmsim, ka defin%2łcijas apgabals ir y > 0 , tpc ms nevaram zaudt
atrisinjumu, dalot ar y.
Nointegrsim abas viendojuma puses:
ln y dx cos x ln2 y d(sin x)
dy = , yd(ln y) = dx , =
+" +" +"ln +" +"1- sin2 x ,
y cos x 2
cos2 x
1 1 1+ sin x 1 1+ sin x
ln2 y = ln + C , ln2 y - ln = C .
2 2 1- sin x 2 1- sin x
Esam ieguvuai dot diferencilviendojuma vispr%2łgo integrli. Izmantosim skuma
nosac%2łjumu, lai noteiktu partikulro integrli. Vispr%2łgaj integrl%2ł ievietosim x = 0,
y = e un apr7insim konstantes vrt%2łbu:
1+ sin 0
ln2 e - ln = C , 12 - ln1 = C , 1- 0 = C , C = 1.
1- sin 0
1+ sin x
Ttad dots problmas atrisinjums ir ln2 y - ln = 1.
1- sin x
8. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Ja diferencilviendojums dots diferencil form
M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 ,
tas ir diferencilviendojums ar atdalmiem main%2łgajiem, ja katru no funkcijm M (x, y),
N(x, y) var sadal%2łt reizintjos t, ka katrs reizintjs ir atkar%2łgs tikai no viena main%2łg,
t.i., viendojumu var prrakst%2łt form
M1(x)" M (y)dx + N1(x)" N2(y)dy = 0 .
2
Vienu no saskaitmajiem prnes uz viendojuma otru pusi:
M1(x)" M (y)dx = -N1(x)" N2(y)dy ,
2
atdala main%2łgos, abas viendojuma puses izdalot ar M (y)" N1(x):
2
M1(x)dx = - N2(y)
dy
N1(x) M (y)
2
un abas viendojuma puses nointegr:
M1(x)dx = - N2(y)
dy .
+" +"
N1(x) M (y)
2
Piemrs. Atrisint diferencilviendojumu (y + xy)dx + (x - xy)dy = 0.
Risinjums. Prveidosim viendojumu, sadalot funkcijas reizintjos:
y(1+ x)dx + x(1- y)dy = 0 .
`is viendojums ir diferencilviendojums ar atdalmiem main%2łgajiem, jo katru no
funkcijm sadal%2łjm t, ka katrs reizintjs ir atkar%2łgs tikai no viena main%2łg. Vienu
saskaitmo prnes%2łsim uz viendojuma labo pusi:
y(1+ x)dx = -x(1- y)dy .
Atdal%2łsim main%2łgos, abas viendojuma puses izdalot ar x " y :
1+ x 1- y
dx = - dy .
x y
Abas viendojuma puses nointegrsim:
(1+ x)dx (1- y)dy dx dy
= - , + = - + , ln x + x + C = - ln y + y ,
+"+" +" +"dx +" +"dy
x y x y
8. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
ln x + ln y + x - y + C = 0 , ln xy + x - y + C = 0 .
8.4. Homognie pirms krtas diferencilviendojumi
Defin%2łcija. Diferencilviendojumu sauc par homognu pirms krtas
diferencilviendojumu, ja to var izteikt form
y
# ś#
2
y = f .
ś# ź#
x
# #
Prbaud%2łt, vai dotais diferencilviendojums ir homogns, var ar%2ł x viet ievietojot tx , y
viet - ty . Ja pc vienkraoaanas visi t no%2łsins un viendojums paliek nemain%2łgs, tad tas
ir homogns viendojums.
y
Homognu diferencilviendojumu risina, pielietojot substitkciju = z . Tad
x
2 2
y = zx , y = z x + z un dotais viendojums ir
2 2
z x + z = f (z) jeb z x = f (z)- z ,
kas ir viendojums ar atdalmiem main%2łgajiem.
y y
2
Piemrs. Atrisint viendojumu x "sin " y + x = y "sin
x x
2
Risinjums. Prveidosim doto viendojumu, izsakot y :
y
y " sin - x
y 1
x
2 2
y = , y = - .
y
y
x
sin
x " sin
x
x
y
Viendojuma lab puse ir atkar%2łga no tikai da<as , ttad viendojums ir
x
y
2 2
homogns. Apz%2łmsim z = , tad y = zx , y = xz + z un iegksim viendojumu
x
1 1
2 2
xz + z = z - jeb xz = - .
sin z sin z
Priesim uz diferenci<iem un atdal%2łsim main%2łgos, abas viendojuma puses dalot ar x un
reizinot ar sin z :
8. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
dz 1 dx
x = - , sin z dz = - .
dx sin z x
Nointegrsim abas viendojuma puses:
dx
, - cos z = - ln x - C , cos z = ln x + C ,
+"sin z dz = -+"
x
z = arccos(ln x + C), y = x arccos(ln x + C).
Tas ir dot viendojuma vispr%2łgais atrisinjums.
8. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
15 lekcija 2 sem7 lekcija 2 sem16 lekcija 2 sem2 lekcija 2 sem10 lekcija 2 sem3 lekcija 2 sem11 lekcija 2 sem4 lekcija 2 sem9 lekcija 2 sem14 lekcija 2 sem1 lekcija 2 sem13 lekcija 2 sem6 lekcija 2 sem5 lekcija 2 semmk wyklady transport sem 1więcej podobnych podstron