R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
15. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Pakpju rindu lietojumi funkciju vrt%2łbu un noteikt
integr<a tuvintai apr7inaanai. Diferencilviendojuma partikulr
atrisinjuma atraaana, izmantojot pakpju rindas.
15.1. Pakpju rindu lietojumi
Aplkkosim 4 pakpju rindu lietojumus.
1. Funkcijas vrt%2łbas tuvinta apr7inaana.
Izvirzot funkciju pakpju rind, varam tuvinti apr7int funkcijas vrt%2łbu ar doto
precizitti. Lai tuvinti apr7intu f (x1), uzraksta dots funkcijas izvirz%2łjumu Teilora
rind punkta x0 apkrtn, punktu x0 izvloties t, lai
- x1 piedertu atbilstoas Teilora rindas konver#ences apgabalam,
- dots funkcijas un ts atvasinjumu vrt%2łbas punkt x0 bktu viegli apr7inmas,
- starp%2łba x1 - x0 bktu iespji maza.
Apr7inot funkcijas vrt%2łbu, Teilora rind ievieto x = x1 un Fem visus pirmos rindas
locek<us, kuri pc absolkts vrt%2łbas prsniedz nord%2łto precizitti.
Piemrs. Apr7int ln1,2 ar precizitti = 10-3 .
Risinjums. T k ln1,2 = ln(1+ 0,2), izmantosim funkcijas y = ln(1+ x) izvirz%2łjumu
Maklorena rind:
"
x2 x3 (-1)n+1 xn .
ln(1+ x) = x - + - ... + (-1)n+1 xn + ... =
"
2 3 n n
n=1
`aj rind ievietosim x = 0,2:
n
" " "
(-1)n+1 (-1)n+1 1 (-1)n+1 1 1 1
# ś#
ln(1+ 0,2) = (0,2)n = " = H" - + H"
ś# ź#
" " "
n n 5
# # n " 5n 1" 5 2 " 52 3" 53
n=1 n=1 n=1
H" 0,2 - 0,02 + 0,0027 = 0,1827 .
`aj uzdevum pietiek Femt 3 rindas locek<us, jo n = 4 atbilstoaais loceklis pc absolkts
1
vrt%2łbas = 0,0004 < .
4 " 54
Piebild%2łsim, ka ln1,2 H" 0,182322 , ttad prec%2łzi ir atrasti 3 cipari aiz komata, kas
atbilst dotajai precizittei.
15. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2. Robe~u apr7inaana.
No 1. semestra vielas zinms, ka bezgal%2łgi mazu funkciju dr%2łkst aizvietot ar ekvivalentu
bezgal%2łgi mazu funkciju. `o ekvivalento bezgal%2łgi mazo funkciju iegkst, Femot pirmos
locek<us no funkcijas izvirz%2łjuma pakpju rind. T piemram, ja x 0, tad
sin x ~ x ; ln(1+ x) ~ x ;
x2
cos x ~ 1- ; (1+ x)ą ~ 1+ ą x ;
2
tg x ~ x ; arcsin x ~ x ;
ex ~ 1+ x ; arctg x ~ x u.c.
Kdreiz, aizvietojot bezgal%2łgi mazu funkciju ar ekvivalentu funkciju, tik un t paliek
nenoteikt%2łba. Td gad%2łjum robe~u apr7inos funkciju dr%2łkst aizstt ar ts izvirz%2łjumu
pakpju rind, Femot vairkus rindas locek<us.
6(arctg x - sin x)+ x3
Piemrs. Apr7int lim .
x0
x5
Risinjums. Izmantosim funkciju arctg x un sin x izvirz%2łjumus Maklorena rind, t.i.,
"
(-1)n x2n+1 = x - x3 x5 x7
arctg x = + - + K,
"
2n +1 3 5 7
n=0
"
(-1)n x2n+1 = x - x3 x5 x7 x3 x5 x7
sin x = + - + K = x - + - +K
"
(2n +1)! 3! 5! 7! 6 120 5040
n=0
Tad
#
x3 x5 x7 x3 x5 x7 ś#
6ś# x - + - + K - x + - + -Kź# + x3
ś# ź#
3 5 7 6 120 5040
6(arctg x - sin x)+ x3
# #
lim = lim =
x0 x "
x5 x5
#
x3 23x5 719x7 ś#
23 719
6ś#- + - + Kź# + x3
- x3 + x5 - x7 + K + x3
ś# ź#
6 120 5040
# #
20 840
= lim = lim =
x0 x0
x5 x5
23 719
23 719
x5# - x2 +Kś#
ś# ź#
x5 - x7 + K
20 840 23 719 23
# #
20 840
= lim = lim = lim# - x2 + Kś# = .
ś# ź#
x0 x0 x0 20 840 20
x5 x5 # #
15. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
3. Noteikto integr<u tuvinta apr7inaana.
Ja zemintegr<a funkcija ir elementri neintegrjama (vai integrlis ir sare~#%2łts), integrli
var apr7int tuvinti ar doto precizitti, zemintegr<a funkciju izvirzot pakpju rind un
integrjot pa locek<iem.
1
x2
Piemrs. Apr7int
+"arctg 3 dx ar precizitti l%2łdz = 0,0001.
0
Risinjums. Izmantosim funkcijas arctg x izvirz%2łjumu Maklorena rind, t.i.,
"
(-1)n x2n+1 = x - x3 x5 x7
arctg x = + - + K.
"
2n +1 3 5 7
n=0
x2
`aj rind x viet ievietosim :
3
2n+1
"
x2 " (-1)n # x2 ś# (-1)n x4n+2
ś# ź#
arctg = = .
" "
ź#
3 2n +1ś# 3
(2n +1)" 32n+1
n=0 # # n=0
Doto integrli apr7insim, iegkto rindu integrjot pa locek<iem:
1
x2 1 # " (-1)n x4n+2 ś# " (-1)n 1 x4n+2dx =
ź#dx =
" "
+"arctg 3 dx = +"ś# +"
ś#
(2n +1)" 32n+1 ź# n=0(2n +1)" 32n+1 0
n=0
# #
0 0
1
"
(-1)n " x4n+3 " (-1)n 1 1
= = H" - H"
" "
3" 3
(2n +1)" 32n+1 4n + 3 0 n=032n+1(2n +1)(4n + 3) 33 " 3" 7
n=0
H" 0,11111- 0,00176 = 0,10935 .
`oreiz pietiek Femt divus rindas locek<us (pie n = 0 un n = 1), jo, Femot n = 2 ,
1
iegksim a2 = H" 0,0000748 < .
35 " 5"11
1
x2
Prec%2łzk r7inot,
+"arctg 3 dx H" 0,109418 . K redzam, esam prec%2łzi ieguvuai 3
0
ciparus aiz komata, k tas ir pras%2łts uzdevuma nosac%2łjumos.
15. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
4. Diferencilviendojumu tuvinta atrisinaana.
PieFemsim, ka dots otrs krtas diferencilviendojums
2 2 2
y = F(x, y, y )
ar skuma nosac%2łjumiem
2
y(x0 ) = y0, y (x0 ) = y1.
Ja ao diferencilviendojumu nevar atrisint anal%2łtiski, vai ar%2ł risinjums ir sare~#%2łts, to
var atrisint tuvinti, partikulro atrisinjumu izvirzot pakpju rind, t.i.,
(n)
"
2 2
f (x0 )(x - x0 )n = f (x0 )+ f 2 (x0 )(x - x0 )+ f (x0 )(x - x0 )2 + K,
y=
"
n! 2!
n=0
2 2 2
kur f (x0 ) = y0, f (x0 ) = y1, f (x0 ) = F(x0, y0, y1),
# "F "F "F ś#
2 2 2 2 2 2 ź#
f (x0 ) = ś# + y + y ź# , utt.
ś#
2
"x "y "y
# #
x=x0
L%2łdz%2łg veid var uzrakst%2łt atrisinjuma Teilora rindu ne tikai otrs, bet jebkuras krtas
viendojumam.
2
Piemrs. Tuvinti ar rindu pal%2łdz%2łbu atrisint diferencilviendojumu y = xy + e2x ,
y(0) = 1 (atrast pirmos atrisinjuma locek<us l%2łdz ceturtajai pakpei ieskaitot).
Risinjums. No dot y(0) = 1. No viendojuma iegksim
2
y (0) = 0 "1+ e2"0 = 1.
Atvasinsim abas viendojuma puses un ievietosim x = 0 . `o procedkru atkrtosim, l%2łdz
bksim ieguvuai ceturts krtas atvasinjumu:
2 2 2 2 2
y = y + xy + 2e2x , y (0) = 1+ 0 "1+ 2e2"0 = 3;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
y = y + y + xy + 4e2x , y (0) = 1+1+ 0 " 3 + 4e2"0 = 6 ;
IV IV
2 2 2 2 2 2 2
y = 2y + y + xy + 8e2x , y (0) = 2 " 3 + 3 + 0 " 6 + 8e2"0 = 17 .
Atvasinjumu vrt%2łbas ievietosim Maklorena rind:
3 6 17 3 17
y H" 1+1" x + x2 + x3 + x4 = 1+ x + x2 + x3 + x4 .
2! 3! 4! 2 24
15. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
7 lekcija 2 sem15 lekcija16 lekcija 2 sem2 lekcija 2 sem10 lekcija 2 sem3 lekcija 2 sem11 lekcija 2 sem4 lekcija 2 sem9 lekcija 2 sem14 lekcija 2 sem8 lekcija 2 sem8 lekcija 2 sem1 lekcija 2 sem13 lekcija 2 sem6 lekcija 2 sem5 lekcija 2 semPraca kontrolna sem IV LO 14 15 10 V15 04 08 sem VIII15 04 08 sem VIIIwięcej podobnych podstron