R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
7. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Divkraais integrlis, t apr7inaana. Divkra
integr<a pielietojumi. Tr%2łskra integr<a jdziens, apr7inaana, lietojumi.
7.1. Divkra integr<a jdziens un %2łpaa%2łbas
Atgdinsim divkra integr<a defin%2łciju.
Defin%2łcija. Par divkrao integrli f (x, y)dxdy sauc robe~u no integrlsummas
+"+"
D
n
f (Pi )"Si , kad maksimlais no parcilapgabalu Si diametriem tiecas uz nulli, ja a%2ł
"
i=1
robe~a nav atkar%2łga ne no apgabala D sadal%2łaanas parcilapgabalos, ne no punktu Pi
izvles.
Ttad
n
f (x, y)dxdy = lim f (Pi )"Si ,
"
+"+"
0
i=1
D
kur "Si ir i-t parcilapgabala Si laukums, Pi " Si , - maksimlais no parcilapgabalu
diametriem.
Divkra integr<a %2łpaa%2łbas:
1) f (x, y) ą g(x, y)]dxdy = f (x, y)dxdy ą
+"+"[ +"+" +"+"g(x, y)dxdy
DD D
2) (x, y)dxdy = k f (x, y)dxdy , kur k = const
+"+"kf +"+"
DD
D1
3) f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy , ja D1 un
+"+" +"+" +"+"
DD1 D2
D2
D2 apmierina nosac%2łjumus D1 U D2 = D , D1 I D2 = "
(skat. 1. z%2łm).
4) Ja jebkur apgabala D punkt f (x, y) e" 0 , tad
1. z%2łm.
f (x, y)dxdy e" 0 .
+"+"
D
5) Ja jebkur apgabala D punkt f (x, y) e" g(x, y) , tad ir spk neviend%2łba
f (x, y)dxdy e"
+"+" +"+"g(x, y)dxdy .
DD
7. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
6) Ja SD ir apgabala D laukums, m funkcijas f (x, y) mazk vrt%2łba apgabal D, M
a%2łs funkcijas lielk vrt%2łba apgabal D, tad
mSD d" f (x, y)dxdy d" MSD .
+"+"
D
7) Ja jebkur apgabala D punkt f (x, y) = 1, tad
f (x, y)dxdy =
+"+" +"+"dxdy = SD .
D D
8) Ja zemintegr<a funkcija ir neprtraukta apgabal D, tad eksist tds apgabala D
iekajais punkts ( ,), ka
f (x, y)dxdy = f (,)" SD .
+"+"
D
Vrt%2łbu f (,) sauc par funkcijas f (x, y) vidjo vrt%2łbu apgabal D.
7.2. Divkra integr<a apr7inaana
Defin%2łcija. Plaknes apgabalu sauc par regulru pc x, ja jebkura Ox asij paralla taisne a%2ł
apgabala robe~u krusto ne vairk k divas reizes.
Analogi defin apgabalu regulru pc y.
Defin%2łcija. Plaknes apgabalu sauc par regulru, ja tas ir regulrs gan pc x, gan pc y.
Piemram, 2. z%2łmjum attlotais apgabals ir regulrs, bet 3. z%2łmjum nav
regulrs, jo paralli Oy asij novilkt taisne apgabala robe~u krusto 4 reizes.
2. z%2łm. 3. z%2łm.
PieFemsim, ka plaknes apgabals D ir regulrs. (Ja t nav, tad ao apgabalu sadala
vairkos regulros apgabalos, apr7ina integrli katr apgabal un rezulttus saskaita).
PieFemsim ar%2ł, ka apgabalu D no apakaas ierobe~o funkcijas y = y1(x) grafiks, no augaas
funkcijas y = y2(x) grafiks (4. z%2łm.). Divkrao integrli prrakst%2łsim k atkrtoto
integrli. `im nolkkam apgabalu D projicsim uz Ox ass. PieFemsim, ka apgabala D
projekcija uz Ox ass ir intervls [a; b]. Cauri apgabalam D novilksim staru, parallu Oy
7. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
asij. Ieejot apgabal D stars krusto
l%2łniju y = y1(x), izejot no t l%2łniju
y
y = y2(x). Td gad%2łjum iegksim
y = y2(x)
y2(x)
b
f (x, y)dxdy = f (x, y)dy .
y = y1(x) +"+" +"dx +"
D
D a y1(x)
`aj gad%2łjum integrli pc x sauc
par rjo integrli, pc y par
O a b x
iekajo integrli. Lai apr7intu ao
integrli, vispirms nointegr iekajo
integrli pc y, uzskatot, ka x ir
4. z%2łm.
konstante, pc Ektona-Leibnica
formulas y viet ievieto integraanas robe~as, iegkst noteikto integrli un apr7ina to.
Protams, var izvlties ar%2ł citu integraanas sec%2łbu. PieFemsim, ka apgabalu D no
kreiss puses ierobe~o funkcijas x = x1(y) grafiks, no labs funkcijas x = x2(y) grafiks
(5. z%2łm.). Apgabalu D projicsim uz Oy ass. PieFemsim, ka a%2ł projekcija ir intervls
[c; d]. Cauri apgabalam novilksim Ox asij
y
parallu staru. Ieejot apgabal D stars krusto
x = x2(y)
d
l%2łniju x = x1(y), izejot no t l%2łniju x = x2(y).
Tad
x2 (y)
d
D
x = x1(y)
f (x, y)dxdy = f (x, y)dx .
+"+" +"dy +"
D c x1(y)
c `aj gad%2łjum vispirms integr iekajo
integrli pc x, uzskatot y par konstanti, ievieto
O x
robe~as un iegkst noteikto integrli pc y.
Piez%2łme. Integraanas sec%2łba ir atkar%2łga gan no
5. z%2łm.
integraanas apgabala, gan ar%2ł no zemintegr<a
funkcijas.
x2
Piemrs. Apr7int divkrao integrli dxdy , kur D ir apgabals, ko ierobe~o taisnes
+"+"
y2
D
x = 2, y = x un hiperbola xy =1.
Lai pareizi noteiktu integraanas robe~as, uzz%2łmsim doto apgabalu (6. z%2łm.).
Atrad%2łsim taisnes y = x un hiperbolas xy =1 krustpunktu koordintas. Ievietojot taisnes
viendojumu hiperbolas viendojum, iegkstam x2 = 1, ttad x = ą1. T k integrcijas
apgabalu ierobe~o ar%2ł taisne x = 2 , tad mksu mekltais krustpunkts ir x =1. Apgabala
7. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
1
projekcija uz Ox ass ir [1; 2], no apakaas apgabalu ierobe~o hiperbola xy =1 jeb y = ,
x
no augaas taisne y = x . Ttad varam rakst%2łt
y
2 x
x2 x2 2 x
dxdy = dy = x2 y-2dy =
+"+" +"dx+" +" +"
y2 y2 1 1
1
D 1
x x
# ś#
x x
2 2
ś#
2
y-1 x2 x2 x2 ź#
= x2 " dx = - dx = - - =
+"ś# 1 ź#dx
+" +"
-1 y
1 1
1 1 1ś# x ź#
O ś# ź#
x x
# x #
12 x
2
#
x2 x4 ś# 2
ś# ź#
= - (x - x3)dx = - - =
+"
6. z%2łm.
ś# ź#
2 4 1
# #
1
4 16 1 1 1 9
ś# # ś#
= -# - ź# ś# - ź# - 2 + 4 + = = 2,25 .
+ =
ś#
2 4 2 4 4 4
# # # #
Ja Femtu citu integraanas sec%2łbu, t.i., izvltos vispirms integrt pc x, dotais
integrlis bktu jsadala divu integr<u summ, jo no kreiss puses apgabalu ierobe~o
divas da~das l%2łnijas hiperbola xy =1 un taisne y = x .
7.3. Divkra integr<a pielietojumi
1. Plaknes figkras laukuma apr7inaana.
Ja zemintegr<a funkcija f (x, y) = 1, tad divkraais integrlis ir viends ar integraanas
apgabala D laukumu:
SD =
+"+"dxdy .
D
2. Tilpuma apr7inaana.
PieFemsim, ka 7ermeni ierobe~o funkcijas z = f (x, y) grafiks (kur f (x, y) e" 0 ), Oxy
plakne un Oz asij paralla cilindriska virsma, kas iet caur apgabala D robe~l%2łniju
(7. z%2łm.). `da 7ermeFa tilpums ir viends ar
V = f (x, y)dxdy .
+"+"
D
7. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Ja 7ermeni ierobe~o Oz asij paralla
z
z = f(x,y)
cilindriska virsma, kas iet caur
apgabala D robe~l%2łniju, un divu
funkciju z = f1(x, y), z = f2(x, y)
grafiki, turklt 0 d" f1(x, y) d" f2(x, y),
tad 7ermeFa tilpums
V = f2(x, y)- f1(x, y))dxdy .
O y +"+"(
D
D
3. Virsmas laukuma apr7inaana.
x PieFemsim, ka dota virsma
z = f (x, y), kur funkcija z = f (x, y)
7. z%2łm.
ir neprtraukta apgabal D (D ir
virsmas z = f (x, y) projekcija Oxy
2 2
plakn) un tai eksist neprtraukti parcilie atvasinjumi zx un zy . `%2łs virsmas laukumu
var apr7int ar divkrao integrli
2 2
2 2
S = 1+ (zx ) + (zy ) dxdy .
+"+"
D
4. Nehomognas plakanas plksn%2łtes masas apr7inaana.
Ja neprtraukta funkcija (x, y) ir nehomognas plakanas plksn%2łtes D virsmas bl%2łvuma
sadal%2łjums, tad plksn%2łtes masa
m =
+"+"(x, y)dxdy .
D
5. Materila plaknes apgabala inerces momenti.
Ja materila plaknes apgabala D bl%2łvuma funkcija ir (x, y), tad a%2ł apgabala inerces
moments attiec%2łb pret koordintu sistmas skumpunktu ir
I0 =
+"+"(x, y)(x2 + y2)dxdy ,
D
pret Ox asi
IOx =
+"+"(x, y)y2dxdy ,
D
pret Oy asi
IOy =
+"+"(x, y)x2dxdy .
D
6. Materila plaknes apgabala statiskie momenti.
Materila plaknes apgabala D ar bl%2łvumu (x, y) statiskie momenti attiec%2łb pret
koordintu as%2łm ir
7. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
M =
Ox Oy
+"+"(x, y)ydxdy , M = +"+"(x, y)xdxdy .
D D
7. Materila plaknes apgabala masas centrs.
Materila plaknes apgabala D masas centra C(xC ; yC ) koordintas ir apr7inmas pc
formulm
+"+"(x, y)xdxdy +"+"(x, y)ydxdy
M
M
Oy
D Ox D
xC = = , yC = = .
m m
+"+"(x, y)dxdy +"+"(x, y)dxdy
D D
Piemrs. Apr7int plaknes figkras laukumu, kuru ierobe~o l%2łnijas y = -x2 + 4x - 3 ,
y = 6 - 2x , x = 0.
Risinjums. Plaknes figkru ierobe~o parabola y = -x2 + 4x - 3 = 1- (x - 2)2 ar virsotni
punkt (2; 1) un zariem uz leju, taisne y = 6 - 2x un Oy ass x = 0 (8. z%2łm.). Sastd%2łsim
divkrao integrli, kas viends ar a%2łs figkras laukumu.
Divkrao integrli rtk integrt vispirms pc y, jo, velkot
y
Oy asij parallus starus cauri apgabalam, redzam, ka, ieejot
apgabal, aie stari vienmr krusto parabolu, izejot sl%2łpo
taisni. Ta%0ńu, Femot Ox asij parallus starus, tie, ieejot
apgabal, krusto Oy asi, bet izejot no apgabala, da~i krustos
parabolu, citi sl%2łpo taisni, l%2łdz ar to, vispirms integrjot
pc x, bktu jr7ina divi divkraie integr<i.
Noteiksim parabolas un taisnes y = 6 - 2x
krustpunkta abscisu:
- x2 + 4x - 3 = 6 - 2x , x2 - 6x + 9 = 0 , x = 3 .
O 3 x
Ttad apgabala projekcija uz Ox ass ir [0; 3] un dots
figkras laukums
3 6-2x 3
6-2x
S = y dx =
8. z%2łm.
+"+"dxdy = +"dx +"dy = +" -x2 +4x-3
D 0 -x2 +4x-3 0
3
3 3
#
x3 x2 ś#
ś#
= (6 - 2x -(- x2 + 4x - 3))dx = (x2 - 6x + 9)dx = - 6 " + 9xź# = 9 - 27 + 27 = 9
+" +"
ś# ź#
3 2
# #
0 0
0
7. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
7.4. Tr%2łskra integr<a jdziens un apr7inaana
Defin%2łcija. Par tr%2łskrao integrli f (x, y, z)dxdydz sauc robe~u no integrlsummas
+"+"+"
&!
n
f (Pi )"Vi , kad maksimlais no parcilapgabalu &!i diametriem tiecas uz nulli, ja a%2ł
"
i=1
robe~a nav atkar%2łga ne no apgabala &! sadal%2łaanas parcilapgabalos, ne no punktu Pi
izvles tajos. Ttad
n
f (x, y, z)dxdydz = lim f (Pi )"Vi ,
"
+"+"+"
0
i=1
&!
kur "Vi ir i-t parcilapgabala &!i tilpums, Pi " &!i , - maksimlais no parcilapgabalu
diametriem.
Tr%2łskra integr<a %2łpaa%2łbas ir analogas divkra integr<a %2łpaa%2łbm, tpc ts
neminsim. Aplkkosim, k apr7ina tr%2łskrao integrli.
PieFemsim, ka telpas apgabal &! dota neprtraukta triju argumentu
funkcija f (x, y, z) un, ka apgabals &! apmierina adus nosac%2łjumus:
1) jebkura Oz asij paralla
taisne, kas iet caur apgabala
z
iekajo punktu, krusto apgabala
z = z2(x, y)
&! robe~u divos punktos;
2) apgabala &! projekcija xOy
plakn ir regulrs divu dimensiju
&! apgabals D.
PieFemsim, ka apgabalu
z = z1(x, y)&! no augaas ierobe~o virsma
z = z2(x, y), no apakaas -
O
z = z1(x, y) (9. z%2łm.). Projicsim
y
a
ao apgabalu xOy plakn un
pieFemsim, ka iegkto plaknes
D
b
apgabalu D ierobe~o l%2łnijas
y = y2(x)
y = y1(x) un y = y2(x), kur
y = y1(x)
x
x "[a; b]. Tad tr%2łskrao integrli
var prrakst%2łt k tr%2łs atkrtotus
9. z%2łm.
integr<us, t.i.,
y2(x) z2(x,y)
b
f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz .
+"+"+" +"dx +"dy +"
&! a y1(x) z1(x,y)
7. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Piez%2łme. L%2łdz%2łgi k divkraajam integrlim, ar%2ł tr%2łskraajam integrlim var main%2łt
integraanas krt%2łbu. To izvls gan atkar%2łb no integraanas apgabala, gan atkar%2łb no
zemintegr<a funkcijas.
Piemrs. Apr7int
+"+"+"(2x + 6y +12)dxdydz , kur &! ir piram%2łda, kuru ierobe~o plaknes
&!
x = 0, y = 0, z = 0, 3x + 2y + 2z = 6 .
Risinjums. Dot piram%2łda attlota 10. z%2łmjum. No apakaas to ierobe~o xOy plakne
z = 0 , no augaas plakne 3x + 2y + 2z = 6 . Doto
z
piram%2łdu projicsim xOy plakn. Projekcija ir trijstkris
AOB (11. z%2łm.). Taisnes AB viendojumu iegkst, plaknes
C(0;0;3)
3x + 2y + 2z = 6 viendojum ievietojot z = 0 , t.i.,
3x + 2y = 6 jeb y = 3 -1,5x . Attiec%2łgi "AOB projekcija
uz Ox ass ir nogrieznis OA. Ttad:
O B(0;3;0)
0 d" x d" 2;
y
0 d" y d" 3 -1,5x;
A(2;0;0)
0 d" z d" 3 -1,5x - y.
x
Tr%2łskra integr<a viet iegkstam atkrtoto integrli
10. z%2łm.
y 2 3-1,5x 3-1,5x-y
I = dy
+"dx +" +"(2x + 6y +12z)dz .
0 0 0
B
Apr7insim to, skot ar pdjo:
3-1,5x-y
I1 =
+"(2x + 6y +12z)dz .
OA x
0
`eit ms uzskatam, ka x un y ir konstantes.
11. z%2łm.
3-1,5x- y
I1 = (2xz + 6yz + 6z2) = 2x(3 -1,5x - y)+ 6y(3 -1,5x - y)+
0
+ 6(3 -1,5x - y)2 = 6x - 3x2 - 2xy +18y - 9xy - 6y2 + 54 +13,5x2 + 6y2 - 54x - 36y +18xy =
= 54 - 48x +10,5x2 + 7xy -18y .
Tagad apr7insim
3-1,5x
I2 = - 48x +10,5x2 + 7xy -18y)dy ,
+"(54
0
pieFemot, ka x ir konstante:
7. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
3-1,5x
I2 = (54y - 48xy +10,5x2 y + 3,5xy2 - 9y2) = 54(3 -1,5x)- 48x(3 -1,5x)+
0
+10,5x2(3 -1,5x)+ 3,5x(3 -1,5x)2 - 9(3 -1,5x)2 = 81-112,5x + 51,75x2 - 7,875x3.
Atliek apr7int pdjo integrli:
2
2
I = (81-112,5x + 51,75x2 - 7,875x3)dx = (81x - 56,25x2 +17,25x3 -1,96875x4) =
+"
0
0
= 162 - 225 +138 - 31,5 = 43,5.
7.5. Tr%2łskra integr<a pielietojumi
1. 6ermeFa tilpuma apr7inaana. Apgabala &! tilpums ir viends ar tr%2łskrao integrli
pa ao apgabalu, ja zemintegr<a funkcija ir vienda ar 1:
V&! =
+"+"+"dxdydz .
&!
2. Nehomogna 7ermeFa masas apr7inaana. Nehomogna 7ermeFa ar bl%2łvumu
= (x, y, z) masu var apr7int pc formulas
m =
+"+"+"(x, y, z)dxdydz .
&!
3. Materila 7ermeFa statiskie momenti. Materila 7ermeFa ar bl%2łvumu = (x, y, z)
statiskie momenti attiec%2łb pret xOy, xOz, yOz plaknm ir
M =
xy xz yz
+"+"+"z(x, y, z)dxdydz , M = +"+"+"y(x, y, z)dxdydz , M = +"+"+"x(x, y, z)dxdydz .
&! &! &!
4. Materila 7ermeFa inerces momenti. Materila 7ermeFa ar bl%2łvumu = (x, y, z)
inerces momenti attiec%2łb pret xOy, xOz, yOz plaknm ir
2 2 2
I = (x, y, z)dxdydz , I = (x, y, z)dxdydz , I = (x, y, z)dxdydz .
xy xz yz
+"+"+"z +"+"+"y +"+"+"x
&! &! &!
Materila 7ermeFa inerces momentus attiec%2łb pret Ox, Oy un Oz as%2łm nosaka pc
formulm
I = (y2 + z2)(x, y, z)dxdydz , I = (x2 + z2)(x, y, z)dxdydz ,
x y
+"+"+" +"+"+"
&! &!
7. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
I = (x2 + y2)(x, y, z)dxdydz .
z
+"+"+"
&!
5. Materila 7ermeFa smaguma centrs. Materila 7ermeFa ar bl%2łvumu = (x, y, z)
masas centra C(xC , yC , zC ) koordintas nosaka pc formulm:
y(x, y, z)dxdydz
+"+"+"x(x, y, z)dxdydz +"+"+"
M
M
yz
&! xz &!
xC = = , yC = = ,
m m
+"+"+"(x, y, z)dxdydz +"+"+"(x, y, z)dxdydz
&! &!
+"+"+"z(x, y, z)dxdydz
M
xy
&!
zC = = .
m
+"+"+"(x, y, z)dxdydz
&!
7. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
15 lekcija 2 sem16 lekcija 2 sem2 lekcija 2 sem10 lekcija 2 sem3 lekcija 2 sem11 lekcija 2 sem4 lekcija 2 sem9 lekcija 2 sem14 lekcija 2 sem8 lekcija 2 sem8 lekcija 2 sem1 lekcija 2 sem13 lekcija 2 sem6 lekcija 2 sem5 lekcija 2 semmk wyklady transport sem 1więcej podobnych podstron