14 lekcija 2 sem


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
14. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: MaiFz%2łmju rindas. Alternjoaas rindas. Leibnica
paz%2łme. Funkciju rindas, ts konver#ences apgabals. Pakpju rindas.
Funkciju izvirz%2łaana pakpju rind. Maklorena rinda. Teilora rinda. Da~u
elementro funkciju izvirz%2łjumi Maklorna rind.
14.1. MaiFz%2łmju rindas. Alternjoaas rindas. Leibnica paz%2łme
Defin%2łcija. Par maiFz%2łmju rindu sauc skait<u rindu, kura satur gan pozit%2łvus, gan
negat%2łvus locek<us.
Defin%2łcija. Skait<u rindu, kuras blakusesoaiem locek<iem ir pretjas z%2łmes, sauc par
alternjoau rindu.
Alternjoau rindu var pierakst%2łt ad veid:
"
n
"(-1) an = a0 - a1 + a2 - a3 +...+ (-1)n an +... (1)
n=0
Alternjoaai rindai atbildi par konver#enci dod
Leibnica paz%2łme. Ja alternjoaai skait<u rindai (1) izpilds divi sekojoaie nosac%2łjumi:
1) eksist tds naturls skaitlis N, ka katram n e" N ir spk neviend%2łba an > an+1;
2) n" an = 0 ,
lim
tad alternjoa rinda (1) konver#.
"
3n -1
Piemrs. Noskaidrot, kda ir rinda : konver#enta vai diver#enta.
"
(- 5)n
n=0
Risinjums. Vispirms pierd%2łsim, ka an > an+1:
3n -1 3(n +1)-1 3n + 2
an = , an+1 = = . Tad
5n 5n+1 5n+1
3n -1 3n + 2 15n - 5 - 3n - 2 12n - 7
an - an=1 = - = = .
5n 5n+1 5n+1 5n+1
Eemot N = 1, visiem n e" N izpilds neviend%2łba 12n - 7 > 0. 5n+1 > 0 katram n, ttad
12n - 7
> 0 visiem n e" 1 un l%2łdz ar to adiem n an - an+1 > 0 jeb an > an+1 ! rindas
5n+1
locek<i pc absolkts vrt%2łbas samazins.
14. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
3n -1 3n -1 3
lim = lim = (pc Lopitla krtulas)= lim = 0 .
n" n"
(- 5)n n" 5n 5n ln 5
Abi Leibnica paz%2łmes nosac%2łjumi izpild%2łti, ttad rinda konver#.
Rindai (1) sastd%2łsim atbilstoao pozit%2łvo skait<u rindu, visus rindas locek<us Femot pc
absolkts vrt%2łbas:
" "
(-1)n an = . (2)
" "an
n=0 n=0
Teorma. Ja absolkto vrt%2łbu rinda (2) konver#, tad ar%2ł alternjoa rinda (1) konver#.
Defin%2łcija. Ja absolkto vrt%2łbu rinda (2) konver#, tad saka, ka alternjoa rinda (2)
konver# absolkti. Ja rinda (2) diver#, bet alternjoa rinda (1) konver#, tad saka, ka
rinda (1) konver# nosac%2łti.
"
(-1)n
Piemrs. Noskaidrot, kda ir rinda : absolkti konver#enta, nosac%2łti konver#enta
"
5
n=1 n2
vai diver#enta.
"
1
Risinjums. Atbilstoa pozit%2łv skait<u rinda ir . T ir visprint harmonisk
"
5
n=1 n2
2
rinda, kur p = < 1, ! rinda diver#.
5
Prbaud%2łsim abus Leibnica paz%2łmes nosac%2łjumus:
1) Uzrakst%2łsim vairkus pirmos rindas locek<us pc absolkts vrt%2łbas:
1 1 1 1
1 > > > > >... , rindas locek<i pc absolkts vrt%2łbas samazins.
5 5 5 5
4 9 16 25
1
2) lim = 0 .
5
n"
n2
Abi Leibnica paz%2łmes nosac%2łjumi izpild%2łti, seko, ka dot rinda konver#. T k atbilstoa
pozit%2łv skait<u rinda diver#, tad dot rinda konver# nosac%2łti.
14.2. Funkciju rindas, ts konver#ences apgabals
Aplkkosim bezgal%2łgu funkciju virkni
u1(x), u2(x), u3(x), ... , un(x), ... , (3)
14. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
kur funkcijm ui (x) ir kop%2łgs defin%2łcijas apgabals.
Defin%2łcija. Par funkciju rindu sauc funkciju virknes (3) bezgal%2łgu summu
"
(x) = u1(x)+ u2(x)+ u3(x)+ K + un(x)+K (4)
"un
n=1
un(x) sauc par funkciju rindas vispr%2łgo locekli.
Ievietojot rind (4) argumenta x viet kdu vrt%2łbu no kop%2łg funkciju defin%2łcijas
apgabala, iegkst skait<u rindu. Piemram, ja x = x0 , atbilstoa skait<u rinda ir
"
(x0 ) = u1(x0 )+ u2(x0 )+ u3(x0 )+ K + un(x0 )+ K
"un
n=1
Atkar%2łb no x0 vrt%2łbas a%2ł rinda var konver#t vai diver#t. Viena un t pati funkciju
rinda vienai x vrt%2łbai var konver#t, citai  diver#t.
Defin%2łcija. To argumenta x vrt%2łbu kopu, kuriem atbilstoa skait<u rinda konver#, sauc
par funkciju rindas (3) konver#ences apgabalu.
Funkciju rindas konver#ences apgabalu nosaka, izmantojot kdu no pozit%2łvo skait<u rindu
konver#ences paz%2łmm.
"
(x - 2)n
Piemrs. Noteikt funkciju rindas konver#ences apgabalu.
"
3n "(4n + 5)
n=0
Risinjums. Izmantosim Dalambra paz%2łmi. T k a%2ł paz%2łme der pozit%2łvm skait<u
rindm, bet ne vism x vrt%2łbm atbilstoas rindas bks pozit%2łvas, tad rindas locek<us
Femsim pc modu<a:
un+1(x) (x - 2)n+1 3n "(4n + 5) x - 2 4n + 5
lim = lim " = lim =
n" un(x) n" 3 n" 4n + 9
3n+1 "(4(n +1)+ 5) - 2)n
(x
5
4 +
x - 2 x - 2
n
= lim = .
9
3 n" 3
4 +
n
Pc Dalambra paz%2łmes rinda konver#, ja
x - 2 x - 2
< 1 ! -1 < < 1 ! - 3 < x - 2 < 3 ! -1 < x < 5.
3 3
14. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Ttad, ja x "(-1; 5), rinda konver#. Savukrt, ja x "(- "; -1)*" (5; + "), tad
un+1(x)> 1 un l%2łdz ar to rinda diver#. Bet intervla galapunktos, t.i., ja x = -1 vai
lim
n" un(x)
un+1(x)
x = 5 , lim = 1. `ajos gad%2łjumos Dalambra paz%2łme nedod atbildi, ttad
n" un(x)
jizmanto cita paz%2łme. Tdjdi prbaud%2łsim, vai intervla galapunktos rinda konver#.
Prbaudi sksim ar to vrt%2łbu, kura dod pozit%2łvu skait<u rindu, t.i., x = 5 .
" "
(5 - 2)n " 3n 1
Ja x = 5 , tad iegkstam skait<u rindu = = .
" " "
4n + 5
3n "(4n + 5) 3n(4n + 5)
n=0 n=0 n=0
Konver#enci prbaud%2łsim pc integrls paz%2łmes:
" b b b
dx dx 1 d(4x + 5) 1 1
#
= lim = lim = lim ln 4x + 5 = lim ln(4b + 5)- ln 5ś# = "
ś# ź#
+" +" +"
4x + 5 b" 4x + 5 4 b" 4x + 5 4 b" 4 #n" #
0
0 0 0
Atbilstoaais ne%2łstais integrlis diver# ! rinda diver#.
"
(-1- 2)n " (- 3)n " (-1)n
Ja x = -1, tad rinda ir ada: = = .
" " "
4n + 5
3n "(4n + 5) 3n(4n + 5)
n=0 n=0 n=0
T ir alternjoaa rinda, kuras konver#enci nosaka pc Leibnica paz%2łmes. Prbaud%2łsim
abus paz%2łmes nosac%2łjumus:
1 1 1 1
1) uzrakst%2łsim vairkus rindas locek<us pc absolkts vrt%2łbas: > > > > K,
5 9 13 17
ttad rindas locek<i samazins;
1
2) lim = 0.
n" 4n + 5
Abi Leibnica paz%2łmes nosac%2łjumi izpild%2łti, secinm, ka rinda konver#.
Iegkstam dots funkciju rindas konver#ences apgabalu x "[-1; 5).
Funkciju rindas summa ir funkcija, kura ir atkar%2łga no argumenta x:
S(x) = lim Sn(x).
n"
Rindas atlikums, tpat k skait<u rindai, ir starp%2łba starp rindas summu un parcilsummu:
Rn(x) = S(x)- Sn(x) = un+1(x)+ un+2(x)+ un+3(x)+ ... .
Ja rinda konver#, tad
14. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
lim Rn(x) = lim (S(x)- Sn(x)) = S(x)- lim Sn(x) = S(x)- S(x) = 0 .
n" n" n"
Ja lim Rn(x) = 0 ! lim (S(x)- Sn(x)) = 0 ! lim Sn(x) = S(x)
,
n" n" n"
ttad rinda konver#.
L%2łdz ar to esam ieguvuai rindas konver#ences nepiecieaamo un pietiekamo
paz%2łmi:
Teorma (funkciju rindas konver#ences nepiecieaam un pietiekam paz%2łme).
Funkciju rinda konver# tad un tikai tad, ja rindas atlikums tiecas uz nulli, kad n " ,
t.i.,
lim Rn(x) = 0 .
n"
14.3. Pakpju rindas
Defin%2łcija. Par pakpju rindu sauc funkciju rindu, kuras locek<i ir argumenta x pakpju
funkcijas:
"
xn = a0 + a1x + a2x2 +...+ an xn +...
"an
n=0
Pakpju rinda vienmr konver#, ja x = 0:
"
.
x = 0 ! xn = a0 ! Sn(0) = a0 ! S = a0
"an
n=0
Pakpju rindas konver#ences apgabals ir pret koordintu skumpunktu simetrisks
intervls (izFemot galapunktus). To nosaka bela teorma.
bela teorma. Ja pakpju rinda konver# punkt x1 `" 0 , tad t konver# visos punktos
x, kuriem x < x1 , t.i. konver# intervl (- x1 , x1 ). Ja pakpju rinda diver#
punkt x2, tad t diver# visos punktos x, kuriem x > x2 , t.i. diver# rpus intervla
[- x2 , x2 ].
Pakpju rindu %2łpaa%2łbas:
1. Pakpju rindas summa S(x) ir konver#ences apgabal neprtraukta funkcija.
2. Pakpju rindu konver#ences intervl dr%2łkst integrt pa locek<iem:
x x
" " "
# ś#
an
xndx = xn+1.
"an "an "
+"ś# xn ź#dx = +"
ś# ź#
n +1
#n=0 # n=0 n=0
0 0
14. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Pc integraanas iegkts rindas konver#ences apgabals sakr%2łt ar dots rindas
konver#ences apgabalu.
3. Pakpju rindu konver#ences apgabal dr%2łkst atvasint pa locek<iem:
2
" " "
# ś#
ś#
xn ź# = (xn )2 = xn-1 .
"an "an "nan
ś# ź#
# n=0 # n=0 n=0
Pc atvasinaanas konver#ences apgabals nemains.
4. Mekljot pakpju rindas robe~u, robe~as z%2łmi dr%2łkst ienest aiz summas z%2łmes:
" " "
# ś#
n
ś#
lim xn ź# = lim (an xn)= x0 .
"an " "an
ś# ź#
xx0 n=0 xx0
# # n=0 n=0
14.4. Funkciju izvirz%2łaana pakpju rind.
Maklorena rinda. Teilora rinda
Ja funkcija f(x) ir neprtraukta un bezgal%2łgi daudzas reizes diferencjama kd
intervl, kas satur punktu x = 0 , tad funkciju var izvirz%2łt pakpju rind
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + an xn + ... (5)
Noteiksim koeficientus a0, a1, a2, ..., an , ... .
Formul (5) ievietojot x = 0, iegksim f (0) = a0 .
Atvasinsim rindu (5):
2
f (x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + ... + nan xn-1 + ... .
2
un atvasinjum ievietosim x = 0, tad f (0) = a1.
Turpinsim atvasinaanu:
2 2 2 2
f (x) = 2a2 + 2 " 3a3x + ... + (n -1)n an xn-2 + ...; f (0) = 2a2 ;
2 2 2 2 2 2
f (x) = 2 " 3a3 + ... + (n - 2)(n -1)n an xn-3 + ...; f (0) = 2 " 3a3;
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
(n)
f (0) = 2 " 3" 4 " ... "(n -1)n an = n!an .
No a%2łm sakar%2łbm izteiksim:
(n)
2 2 2 2 2
f (0) f (0) f (0), ...
2
a0 = f (0), a1 = f (0), a2 = , a3 = , & , an =
2 2 " 3 n!
14. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Ievietojot aos koeficientus rind (5), iegksim adu rindu
(n) " (n)
2 2 2
f (0) f (0) f (0) f (0)xn ,
f (x) = f (0)+ x + x2 +...+ xn + ... =
"
1! 2! n! n!
n=0
kuru sauc par Maklorena rindu. Uzrakstot funkcijai f (x) atbilstoao Maklorena rindu,
saka, ka funkciju izvirza rind nulles punkta apkrtn.
Ne katru funkciju var izvirz%2łt nulles punkta apkrtn. Piemram, funkcija
f (x) = ln x punkt x = 0 nav definta, ttad ao funkciju nevar izvirz%2łt pakpju rind pc x
pakpm. Funkcija f (x) = x punkt x = 0 ir definta, ta%0ńu aaj punkt neeksist
funkcijas atvasinjums, tpc ar%2ł ao funkciju nevar izvirz%2łt pakpju rind pc x pakpm.
Td gad%2łjum var izmantot Maklorena rindas visprinjumu  Teilora rindu un izvirz%2łt
funkciju pakpju rind pc (x - a) pakpm:
(n) (n)
2 2 2
f (a)(x - a)+ f (a)(x - a)2 +...+ f (a)(x - a)n + ... = " f (a)(x - a)n .
f (x) = f (a)+
"
1! 2! n! n!
n=0
Ja Teilora rind ievieto x = 0, iegkst Maklorena rindu.
14.5. Da~u elementro funkciju izvirz%2łjumi Maklorna rind
Iegksim da~u elementro funkciju izvirz%2łjumus Maklorena rind:
1. f (x) = ex .
Noteiksim funkcijas atvasinjumus un to vrt%2łbas punkt x = 0:
f (0) = e0 = 1;
2 2
f (x) = ex , f (0) = 1;
2 2 2 2
f (x) = ex , f (0) = 1;
2 2 2 2 2 2
f (x) = ex , f (0) = 1;
& & & & & & & & & & & & ..
(n) (n)
f (x) = ex , f (0) = 1.
Ievietojot iegkts vrt%2łbas Maklorena rind, iegksim funkcijas f (x) = ex izvirz%2łjumu pc
x pakpm:
"
1 1 1 1 1
ex = 1+ x + x2 + x3 + ... + xn + ... = xn .
"
1! 2! 3! n! n!
n=0
14. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Noteiksim a%2łs rindas konver#ences apgabalu, izmantojot Dalambra paz%2łmi:
un+1(x)
xn+1 n! 1
lim = lim " = x lim = 0 < 1,
n" un(x) n" (n +1)!
xn n" n +1
pc Dalambra paz%2łmes rinda konver# visiem x, l%2łdz ar to formula funkcijas ex
izvirz%2łjumam ir spk visiem x "(- ", + ").
2. f (x) = sin x .
f (0) = sin 0 = 0;
2 2
f (x) = cos x, f (0) = 1;
2 2 2 2
f (x) = -sin x, f (0) = 0;
2 2 2 2 2 2
f (x) = - cos x, f (0) = -1;
& & & & & & & & & & & & &
0, ja k = 2n
ż#
(k)
f (0) =
#
(-1)n , ja k = 2n +1.
#
Iegksim
"
x3 x5 (-1)n
sin x = x - + - ... + (-1)n x2n+1 + ... = x2n+1.
"
3! 5! (2n +1)! (2n +1)!
n=0
Lai noteiktu a%2łs rindas konver#ences apgabalu, pielietosim Dalambra paz%2łmi:
un+1(x)
x2n+3 (2n +1)! 1
lim = lim " = x2 lim = 0 < 1,
n" un(x) n" (2n + 3)! n" (2n + 2)(2n + 3)
x2n+1
ttad rinda konver#, ja x "(- ", + ").
3. f (x) = cos x .
cos x = (sin x)2 . Izmantosim pakpju rindu 3. %2łpaa%2łbu un atvasinsim rindu
"
(-1)n
sin x = x2n+1 pa locek<iem:
"
(2n +1)!
n=0
2
" " "
# ś#
(-1)n (-1)n (-1)n
ś# ź#
cos x = = (x2n+1)2 = (2n +1)x2n =
" " "
ś#n=0 +1)! x2n+1 ź#
(2n (2n +1)! (2n +1)!
n=0 n=0
# #
14. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
"
(-1)n
= x2n .
"
(2n)!
n=0
Esam ieguvuai funkcijas f (x) = cos x izvirz%2łjumu pakpju rind:
"
x2 x4 (-1)n
cos x = 1- + - ... + (-1)n x2n + ... = x2n.
"
2! 4! (2n)! (2n)!
n=0
Atvasinot rindu, ts konver#ences apgabals nemains, ttad x "(- ", + ").
4. f (x) = (1+ x)ą .
Noteiksim dots funkcijas un ts atvasinjumu vrt%2łbas punkt x = 0:
f (0) = 1;
2 2
f (x) = ą (1+ x)ą -1, f (0) = ą ;
2 2 2
f (x) = ą(ą -1)(1+ x)ą -2 , f (0) = ą(ą -1);
2 2 2 2 2 2
f (x) = ą(ą -1)(ą - 2)(1+ x)ą -3, f (0) = ą(ą -1)(ą - 2);
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
(n) (n)
f (x) = ą(ą -1)(ą - 2)...(ą - n +1)(1+ x)ą -n , f (0) = ą(ą -1)(ą - 2)...(ą - n +1) .
Iegksim binomilo rindu
ą(ą -1) ą(ą -1)(ą - 2)
(1+ x)ą = 1+ ą x + x2 + x3 + K +
2! 3!
"
ą(ą -1)(ą - 2)...(ą - n +1)
+ xn + ... = 1+
"ą(ą -1)(ą - 2)...(ą - n +1) xn .
n! n!
n=1
Pc Dalambra paz%2łmes noteiksim konver#ences apgabalu aai rindai:
ą(ą -1)...(ą - n +1)(ą - n)xn+1 n!
lim " =
n" (n +1)!
ą(ą -1)...(ą - n +1)xn
ą
-1
ą - n
n
= x lim = x lim = x " -1 = x
1
n" n +1 n"
1 +
n
14. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
x < 1, ja -1 < x < 1.
Binomils rindas konver#ence intervla galapunktos (t.i., pie x = -1 un x = 1) ir
atkar%2łga no kpintja ą. Visiem ą rinda konver#, ja x "(-1; 1).
5. f (x) = ln(1+ x).
x
dx
T k ln(1+ x) = , varam izmantot pakpju rindu 2.%2łpaa%2łbu (rindu dr%2łkst integrt pa
+"1+ x
0
"
locek<iem). Rind (1+ x)ą = 1+
"ą(ą -1)(ą - 2)...(ą - n +1) xn ievietosim ą = -1,
n!
n=1
iegksim
n
" " "
1 -1(-1-1)(-1- 2)...(-1- n +1)
= 1+ xn = 1+
" "(-1) n! xn = "(-1)n xn.
1+ x n! n!
n=1 n=1 n=0
Tad
x x
" " " "
# ś#
(-1)n (-1)n+1
ln(1+ x) = xn+1 = xn.
"(-1)n xn ź#dx = "(-1)n xndx = " "
+"ś# +"
ś# ź#
n +1 n
#n=0 # n=0 n=0 n=1
0 0
Esam ieguvuai funkcijas f (x) = ln(1+ x) izvirz%2łjumu Maklorena rind:
"
x2 x3 (-1)n+1
ln(1+ x) = x - + - ... + (-1)n+1 xn + ... = xn .
"
2 3 n n
n=1
Rindas konver#ences apgabals integrjot nemains, tdjdi x "(-1; 1).
6. f (x) = arctg x .
R%2łkosimies pc iepriekajs shmas, binomil rind Femot ą = -1 un x aizvietojot ar x2:
"
1
=
"(-1)n x2n.
1+ x2 n=0
x x x
" " "
# ś#
dx (-1)n
arctg x = x2n+1 .
"(-1)n x2n ź#dx = "(-1)n x2ndx = "
+"1+ x2 = +"ś# +"
ś# ź#
2n +1
# n=0 # n=0 n=0
0 0 0
Ttad funkcijas f (x) = arctg x izvirz%2łjums Maklorena rind ir
"
x3 x5 (-1)n
arctg x = x - + - ... + (-1)n x2n+1 + ... = x2n+1 , kur x "(-1; 1).
"
3 5 2n +1 2n +1
n=0
14. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
15 lekcija 2 sem
7 lekcija 2 sem
16 lekcija 2 sem
2 lekcija 2 sem
10 lekcija 2 sem
3 lekcija 2 sem
11 lekcija 2 sem
4 lekcija 2 sem
9 lekcija 2 sem
8 lekcija 2 sem
8 lekcija 2 sem
1 lekcija 2 sem
14 lekcija
13 lekcija 2 sem
6 lekcija 2 sem
5 lekcija 2 sem
Praca kontrolna sem IV LO 14 15 10 V
oferta sem 14
instrukcja do lab mioc mechanika sem 3 blachy karoseryjne 14

więcej podobnych podstron