14 lekcija


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
14. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Funkcijas atvasinjums. Atvasinjuma #eometrisk un
mehnisk interpretcija. Atvasinaanas pamatlikumi. Saliktas funkcijas
atvasinjums. Inverss funkcijas atvasinjums. Elementro funkciju
atvasinjumi.
14.1. Funkcijas atvasinjums
PieFemsim, ka materils punkts kustas nevienmr%2łgi pa taisni. Tad, izvloties
kust%2łbas taisni par koordintu asi, punkta stvokli katr laika moment t raksturo punkta
koordinta x ( 1. z%2łm.). Funkciju x = x(t), kas izsaka materila punkta koordintas x
atkar%2łbu no laika t, sauc par materila punkta
"x kust%2łbas likumu.
PieFemsim, ka laik "t materils punkts
O x(t) x(t+"t) x
veic ce<u "x , t.i. laika moment t + "t punkta
koordinta ir x(t)+ "x = x(t + "t). Tad punkta
vidjo trumu var aptuveni apr7int pc formulas
1. z%2łm.
"x x(t + "t)- x(t)
vvid. = = .
"t "t
Punkta momentno trumu iegksim, samazinot laiku "t l%2łdz nullei, t.i., apr7inot robe~u,
kad "t 0 . Ttad materila punkta momentnais trums ir
"x x(t + "t)- x(t)
vmom. = lim = lim .
"t0 "t0
"t "t
Faktiski a%2ł formula ar%2ł defin funkcijas atvasinjumu. Ta%0ńu to nodefinsim
patva<%2łgai funkcijai y = f (x). PieFemsim, ka a%2ł funkcija ir definta kd punkt x un t
apkrtn. Izmain%2łsim x par "x . Tad funkcija mains par "y = f (x + "x)- f (x).
Sastd%2łsim attiec%2łbu
"y f (x + "x)- f (x)
= .
"x "x
`o attiec%2łbu sauc par funkcijas maiFas vidjo trumu intervl [x; x + "x] un t izsaka
funkcijas izmaiFu, kas apr7inta vienai argumenta izmaiFas vien%2łbai.
Defin%2łcija. Funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiec%2łbas robe~u, kad
argumenta pieaugums tiecas uz nulli, sauc par funkcijas atvasinjumu.
14. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
dy
2 2
Funkcijas y = f (x) atvasinjumu apz%2łm ar vienu no simboliem y , f (x), ,
dx
d
f (x). Ttad
dx
"y f (x + "x)- f (x)
2
y = lim = lim .
"x0 "x0
"x "x
Funkcijas atvasinjuma atraaanu sauc par funkcijas atvasinaanu vai
diferencaanu.
Lai noteiktu funkcijas atvasinjumu pc defin%2łcijas, veic adas darb%2łbas:
1) nosaka argumenta pieaugumam "x atbilstoao funkcijas pieaugumu
"y = f (x + "x)- f (x);
"y
2) sastda funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiec%2łbu un vienkrao to;
"x
3) apr7ina a%2łs attiec%2łbas robe~u, kad "x 0 .
Piemrs. Noteikt funkcijas y = x3 atvasinjumu.
1) noteiksim argumenta pieaugumam "x atbilstoao funkcijas pieaugumu:
3 2 3 2 3
"y = (x + "x) - x3 = x3 + 3x2"x + 3x("x) + ("x) - x3 = 3x2"x + 3x("x) + ("x) .
2) noteiksim funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiec%2łbu:
2 3 2
"y 3x2"x + 3x("x) + ("x) "x(3x2 + 3x"x + ("x) )= 3x2 + 3x"x + ("x) .
2
= =
"x "x "x
3) apr7insim iegkts attiec%2łbas robe~u, kad "x 0 :
"y
2
2
y = lim = lim(3x2 + 3x"x + ("x) )= 3x2 + 3x " 0 + 02 = 3x2 .
"x0 "x0
"x
Ttad (x3)2 = 3x2 .
Jpiebilst, ka parasti funkcijas neatvasina pc defin%2łcijas, jo tas ir sare~#%2łts un
darbietilp%2łgs process, bet gan izmantojot atvasinaanas formulas. `%2ł formulas apskat%2łsim
turpmkajos paragrfos.
Vl piebild%2łsim, ka funkcijai eksist atvasinjums tikai tajos punktos, kuros
funkcija ir neprtraukta un kuros funkcijas grafiks ir gluda l%2łnija (t.i., punktos, kuros
funkcijas grafikam eksist pieskare). Funkcijas, kurm eksist atvasinjums punkt x0,
sauc par diferencjamm aaj punkt.
14. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
14.2. Atvasinjuma #eometrisk un mehnisk interpretcija
Atvasinjuma #eometrisk interpretcija.
PieFemsim, ka 2. z%2łmjum attlot l%2łnija ir neprtrauktas funkcijas y = f (x)
grafiks. Caur l%2łnijas punktiem M0 un M novilksim taisni M0M. `o taisni sauc par sekanti.
Ar  apz%2łmsim leF7i, ko a%2ł sekante veido ar Ox ass pozit%2łvo virzienu. PieFemsim, ka
punkts M prvietojas pa l%2łniju,
y
tuvojoties punktam M0, kura ir
nekust%2łgs. Td gad%2łjum ar%2ł
sekante mains. Punktam M
M
f(x0+"x)
nonkot punkt M0, sekante
M0M k<kst par l%2łnijas pieskari
punkt M0. PieFemsim, ka
pieskare ar Ox ass pozit%2łvo
M0
N
pusasi veido leF7i ą.
f(x0)
Apskat%2łsim taisnleF7a
trijstkri M0MN. `aj trijstkr%2ł

ą
leF7is MM0N =  , piekatete
O x0 x0+"x x
M0N sakr%2łt ar argumenta
pieaugumu, t.i., M0N = "x ,
2. z%2łm.
pretkatete MN sakr%2łt ar
funkcijas pieaugumu, t.i., MN = "y . No sakar%2łbm taisnleF7a trijstkr%2ł seko
MN "y
tg  = = .
M0N "x
Ja "x 0 , tad punkts M M0, sekante M0M pieskare punkt M0,  ą ,
tg  tgą jeb
"y
2
tgą = lim tg  = lim = f (x0 ).
"x0 "x0
"x
No anal%2łtisks #eometrijas kursa zinms, ka tangenss leF7im, ko taisne veido ar Ox ass
pozit%2łvo pusasi, ir viends ar taisnes virziena koeficientu. Ttad funkcijas grafikam
punkt M (x0 , f (x0 )) vilkts pieskares virziena koeficients sakr%2łt ar a%2łs funkcijas
0
atvasinjumu punkt x0:
2
k = tgą = f (x0 ).
p
T ir atvasinjuma #eometrisk interpretcija.
K zinms no anal%2łtisks #eometrijas kursa, viendojums taisnei, kas iet caur
punktu M (x0 , f (x0 )) un kuras virziena koeficients ir k, ir
0
y - f (x0 ) = k(x - x0 ) jeb y = f (x0 )+ k(x - x0 ).
14. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2
`aj viendojum ievietojot k = f (x0 ), iegksim funkcijas grafikam punkt
p
M (x0 , f (x0 )) vilkts pieskares viendojumu:
0
2
y = f (x0 )+ f (x0 )(x - x0 ).
Fizik un mehnik bie~i izmanto taisnes, ko sauc par normlm. Par l%2łnijas
normli punkt M (x0 , f (x0 )) sauc taisni, kas vilkta
0
y
caur punktu M0 perpendikulri pieskarei (3. z%2łm.).
Sastd%2łsim normles viendojumu. T k pieskare un
normle ir savstarpji perpendikulras, pc divu taiaFu
perpendikularittes nosac%2łjuma normles virziena
koeficients
1 1
M0
kn = - = - .
2
k f (x0 )
p
O x
Tdjdi normles viendojums ir
3. z%2łm.
1
y = f (x0 )- (x - x0 ).
2
f (x0 )
Atvasinjuma mehnisk interpretcija.
K jau aplkkojm lekcijas skum, ja materila punkta kust%2łbas likums ir
x = x(t), tad punkta momentnais trums
"x x(t + "t)- x(t)
v = lim = lim .
"t0 "t0
"t "t
Pdj izteiksme ir funkcijas x = x(t) atvasinjuma defin%2łcija, tdjdi punkta
momentnais trums ir kust%2łbas likuma atvasinjums pc laika, t.i.,
2
v = x (t).
T ir atvasinjuma mehnisk interpretcija.
14.3. Atvasinaanas pamatlikumi
Bez pierd%2łjuma uzrakst%2łsim atvasinaanas pamatlikumus, t.i. konstantas
funkcijas, divu funkciju summas, starp%2łbas, reizinjuma un dal%2łjuma atvasinjumu
formulas:
2
1) C = 0 , kur C ir konstante;
2 2
2) (u + v)2 = u + v ;
14. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
norm

l
kare
e
pies
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2 2
3) (u - v)2 = u - v ;
2 2 2
4) (u " v)2 = u v + uv ; secinjums no 1. un 4. %2łpaa%2łbas: (Cu)2 = Cu ;
2
2 2
u u v
# ś# - uv
5) = .
ś# ź#
v v2
# #
14.4. Saliktas funkcijas atvasinjums
Apskat%2łsim saliktu funkciju y = y(u), kur u = u(x) ir starparguments jeb iekaj
funkcija. Noteiksim a%2łs funkcijas atvasinjumu (Femsim vr, ka abas funkcijas y un u ir
diferencjamas, l%2łdz ar to ar%2ł neprtrauktas, ttad bezgal%2łgi mazam argumenta
pieaugumam atbilst bezgal%2łgi mazs funkcijas pieaugums):
"y "y "u "y "u
ś#
2 2 2
yx = lim = lim# " = ["x 0 ! "u 0]= lim " lim = yu "ux .
ś# ź#
"x0 "x0 "u0 "x0
"x "u "x "u "x
# #
Ieguvm, ka saliktas funkcijas y = y(u(x)) atvasinjums pc x ir viends ar rjs
funkcijas y atvasinjuma pc iekajs funkcijas u un iekajs funkcijas u atvasinjuma
pc argumenta x reizinjumu:
2 2 2
yx = yu " ux .
Analo#iski apr7inms atvasinjums ar%2ł vairkkrt saliktm funkcijm.
Piemram, ja y = y(u), u = u(v), v = v(x), tad
2 2 2 2
yx = yu " uv " vx .
14.5. Inverss funkcijas atvasinjums
PieFemsim, ka funkcija y = y(x) ir monotona un diferencjama intervl [a; b].
Tad tai eksist invers funkcija x = x(y), kas ar%2ł ir monotona un diferencjama.
Noteiksim a%2łs funkcijas atvasinjumu:
"x "y "y 1
ś#
2
xy = lim = lim#1: = ["y 0 ! "x 0]= 1: lim = .
ś# ź#
"y0 "y0 "x0
2
"y "x "x yx
# #
Ttad savstarpji inversu funkciju y = y(x) un x = x(y) atvasinjumi ir savstarpji
apgriezti lielumi:
1
2
xy = .
2
yx
14. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
14.6. Elementro funkciju atvasinjumi
1. Logaritmisks funkcijas y = ln x atvasinjums.
R%2łkosimies pc pirmaj paragrf aprakst%2łts shmas. Vispirms noteiksim dots funkcijas
pieaugumu:
x + "x "x
ś#
"y = ln(x + "x)- ln x = ln = ln#1+ .
ś# ź#
x x
# #
Funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiec%2łba ir
1
"y 1 "x "x
ś# ś#"x
= ln#1+ = ln#1+ .
ś# ź# ś# ź#
"x "x x x
# # # #
Funkcijas atvasinjums
1 1 x 1
"
"x "x "x x
"y "x "x "x
ś# ś# ś#
(ln x)2 = lim = lim ln#1+ = ln lim#1+ = (1")= ln lim#1+ =
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
"x0 "x0 "x0 "x0
"x x x x
# # # # # #
1
x
x
# ś#
1
"x # ś#
"x ź# 1
ś#
x
ź#
= lnś# lim#1+ = lnś#e = .
ś# ź#
ś# ź#
ś# ź#
"x0
x x
ś# # # ź#
# #
# #
2. Logaritmisks funkcijas y = loga x atvasinjums.
ln x
T k loga x = , tad
ln a
2
ln x 1 1 1 1
# ś#
(loga x)2 = = (ln x)2 = " = .
ś# ź#
ln a ln a ln a x x ln a
# #
x
3. Eksponentfunkcijas y = a atvasinjums.
x
Eksponentfunkcija y = a ir logaritmisks funkcijas x = loga y invers funkcija. Pc
inverss funkcijas atvasinjuma
1 1
x x
2
y = (a )2 = = = y ln a = a ln a .
(loga y)2 1
y
y ln a
4. Eksponentfunkcijas y = ex atvasinjums.
Ja eksponentfunkcijas bze a = e , iegkst
(ex)2 = ex ln e = ex "1 = ex .
14. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
5. Pakpes funkcijas y = xą atvasinjums.
Izmantosim sakar%2łbu x = eln x . Tad y = xą = eą ln x . Atvasinsim to k saliktu funkciju:
1
(xą )2 = (eą ln x)2 = eą ln x "(ą ln x)2 = eą ln x "ą "(ln x)2 = xą "ą " = ąxą -1 .
x
6. Trigonometrisks funkcijas y = sin x atvasinjums.
`o atvasinjumu noteiksim pc atvasinjuma defin%2łcijas:
ą -  ą +  x + "x - x x + "x + x
Ą#siną ń#
"y = sin(x + "x)- sin x = - sin  = 2sin cos = 2sin cos =
ó# Ą#
2 2 2 2
Ł# Ś#
"x 2x + "x
= 2sin cos ;
2 2
"x 2x + "x "x
2sin cos sin
"y 2x + "x sin x
Ą#lim = 1ń#
2 2 2
(sin x)2 = lim = lim = lim " lim cos = =
ó#x0 x Ą#
"x0 "x0 "x0 "x0
"x
"x "x 2
Ł# Ś#
2
2x + 0
= 1" cos = cos x .
2
7. Trigonometrisks funkcijas y = cos x atvasinjums.
Ą
Izmantosim sakar%2łbu cos x = sin# - xś# un saliktas funkcijas atvasinaanas principu:
ś# ź#
2
# #
2
2
# Ą ś# Ą Ą
#
(cos x)2 = ś#sin# - xś#ź# = cos# - xś# " - xś# = sin x "(0 -1) = -sin x .
ś# ź#ź# ś# ź# ś# ź#
ś#
2 2 2
# # # # # #
# #
8. Trigonometrisko funkciju y = tg x un y = ctg x atvasinjums.
sin x
Izmantosim sakar%2łbu tg x = un dal%2łjuma atvasinaanas formulu:
cos x
2
sin x (sin x)2 cos x - sin x(cos x)2 cos x " cos x - sin x "(- sin x)
# ś#
(tg x)2 = = = =
ś# ź#
cos x cos2 x cos2 x
# #
cos2 x + sin2 x 1
= = .
cos2 x cos2 x
Analo#iski iegkst funkcijas y = ctg x atvasinjumu:
1
(ctg x)2 = - .
sin2 x
14. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
9. Ciklometrisks funkcijas y = arcsin x atvasinjums.
Funkcijas y = arcsin x invers funkcija ir x = sin y . Pc inverss funkcijas atvasinaanas
formulas
1 1 1 1
2
y = (arcsin x)2 = = = = .
1- sin2 y 1- x2
(sin y)2 cos y
y
10. Ciklometrisks funkcijas y = arccos x atvasinjums.
Ą
Izmantosim sakar%2łbu arcsin x + arccos x = . Tad
2
2 2
Ą Ą 1 1
# # ś#
(arccos x)2 = - arcsin xś# = - (arcsin x)2 = 0 - = - .
ś# ź# ś# ź#
2 2
# # # #
1- x2 1- x2
11. Ciklometrisks funkcijas y = arctg x atvasinjums.
Funkcijas y = arctg x invers funkcija ir x = tg y . Pc inverss funkcijas atvasinaanas
formulas
1 1 1 1 1
Ą# ń#
2
y = (arctg x)2 = = = cos2 y = = = .
2
ó#cos ą = 1+ tg2ą Ą#
1+ tg2 y 1+ x2
Ł# Ś#
(tg y)2 1
y
cos2 y
12. Ciklometrisks funkcijas y = arcctg x atvasinjums.
Ą
Izmantosim sakar%2łbu arctg x + arcctg x = . Tad
2
2 2
Ą Ą 1 1
# # ś#
(arcctg x)2 = - arctg xś# = - (arctg x)2 = 0 - = - .
ś# ź# ś# ź#
2 2 1+ x2 1+ x2
# # # #
13. Hiperbolisko funkciju y = sh x un y = ch x atvasinjums.
ex - e- x ex + e- x
Atcersimies hiperbolisko funkciju defin%2łcijas: sh x = , ch x = . Iegksim
2 2
2
# - e-x ź# 1 1 1
ś#
ex
# x
#e
ś#
(sh x)2 = = (ex)2 - (e-x)2 ś# = - e-x "(- x)2 ś# = (ex - e-x "(-1))=
ś# ź#
ś# ź#
ś# ź#
# #
2 2 # # 2 2
# #
ex + e- x
= = ch x .
2
Analo#iski dabk
(ch x)2 = sh x .
14. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
14. Hiperbolisko funkciju y = th x un y = cth x atvasinjums.
sh x
Izmantosim sakar%2łbu th x = un dal%2łjuma atvasinaanas formulu:
ch x
2
# ś#
sh x (sh x)2 ch x - sh x(ch x)2 ch x " ch x - sh x " sh x
(th x)2 = ś# ź# = = =
ś# ź#
ch x ch2 x ch2 x
# #
ch2 x - sh2 x 1
= = [ch2 x - sh2 x = 1]= .
ch2 x ch2 x
Analo#iski iegkst funkcijas y = cth x atvasinjumu:
1
(cth x)2 = - .
sh2 x
Esam ieguvuai visu pamatelementro funkciju atvasinaanas formulas.
Apkoposim ts kop.
Atvasinaanas pamatformulas:
2
1. (C) = 0, kur C = const ;
2
2
1 1
# ś# -
1 1 1 1
2
ś#x2 ź#
2
2. (xą )2 = ą xą -1, tai skait (x) = 1, # ś# =(x-1)2 = - , ( x)2 = = x = ;
ś# ź#
ś# ź#
x # x2 2
# 2 x
# #
2
3. (sin x) = cos x ;
2
4. (cos x) = -sin x ;
1
2
5. (tg x) = ;
cos2 x
1
2
6. (ctg x) = - ;
2
sin x
1
7. (loga x)2 = ;
x ln a
1
2
8. (ln x) = ;
x
x x
9. (a )2 = a ln a ;
10. (ex)2 = ex ;
1
2
11. (arcsin x) = ;
1- x2
1
2
12. (arccos x) = - ;
1- x2
14. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
1
2
13. (arctg x) = ;
1+ x2
1
2
14. (arcctg x) = - ;
1+ x2
2
15. (sh x) = ch x ;
2
16. (ch x) = sh x ;
1
2
17. (th x) = ;
ch2 x
1
2
18. (cth x) = - .
sh2 x
14. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
14 lekcija 2 sem
T 14
Rzym 5 w 12,14 CZY WIERZYSZ EWOLUCJI
ustawa o umowach miedzynarodowych 14 00
990425 14
foto (14)
DGP 14 rachunkowosc i audyt
Plakat WEGLINIEC Odjazdy wazny od 14 04 27 do 14 06 14
022 14 (2)
index 14
Program wykładu Fizyka II 14 15

więcej podobnych podstron