R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
5. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Noteikt integr<a lietojumi plaknes figkras laukuma
apr7inaanai Dekarta koordints. Noteikt integr<a lietojumi l%2łnijas loka
garuma apr7inaanai. Noteikt integr<a lietojumi rotcijas 7ermeFa
tilpuma apr7inaanai.
5.1. Noteikt integr<a lietojumi plaknes figkras laukuma
apr7inaanai Dekarta koordints
1) Definjot noteikto integrli, par pamatu Fmm uzdevumu par l%2łkl%2łniju trapeces
laukuma apr7inaanu. Rezultt ieguvm,
y
ka laukums plaknes figkrai, kuru ierobe~o
taisnes y = 0 , x = a , x = b un l%2łnija
y = f(x)
y = f (x) pirmaj kvadrant (1. z%2łm.), ir
viends ar
b
S
S = f (x)dx .
+"
a
O a b x
2) PieFemsim, ka plaknes figkru ierobe~o
taisnes y = 0 , x = a , x = b un l%2łnija
1. z%2łm. y = f (x) ceturtaj kvadrant (2. z%2łm.). Td
gad%2łjum visa plaknes figkra atrodas
ceturtaj kvadrant. Eemot aai figkrai
y
simetrisku figkru attiec%2łb pret Ox asi,
iegksim iepriekajo gad%2łjumu, kura attlots
ab
1. z%2łmjum. Tad figkru pirmaj kvadrant
O x
ierobe~o taisnes y = 0 , x = a , x = b un
S
l%2łnija y = - f (x) un ts laukums ir
y = f(x)
b
S = f (x))dx . Mints figkras laukums
+"(-
a
sakr%2łt ar 2. z%2łmjum attlots figkras
2. z%2łm.
laukumu, ttad
b
S = - f (x)dx .
+"
a
5. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
3) Aplkkosim figkru, kuru no augaas ierobe~o
y
l%2łnija y = f1(x), no apakaas l%2łnija
y = f1(x)
y = f2(x) (3. z%2łm.). PieFemsim, ka ao l%2łniju
krustpunktu abscisas ir x = a un x = b . Tad
iegkts figkras laukumu iegksim k laukumu
S
b
y = f2(x) S1 un S2 starp%2łbu, kur S1 = f1(x)dx -
+"
a
laukums figkrai, ko ierobe~o taisnes y = 0 ,
O a b x
x = a , x = b un l%2łnija y = f1(x);
b
3. z%2łm.
S2 = f2(x)dx - laukums figkrai, ko ierobe~o
+"
a
taisnes y = 0 , x = a , x = b un l%2łnija y = f2(x). Ttad
b b b
S = S1 - S2 = f1(x)dx - f2(x)dx = f1(x)- f2(x))dx .
+" +" +"(
a a a
4) Apskat%2łsim figkru, kuru no apakaas ierobe~o taisne y = 0 (jeb Ox ass), no kreiss
puses l%2łnija y = f (x), no labs puses
y
l%2łnija y = g(x) (4. z%2łm.). PieFemsim, ka ao
l%2łniju krustpunkta abscisa ir x = b , l%2łnija
y = f(x)
y = f (x) krusto Ox asi punkt x = a ,
l%2łnija y = f (x) - punkt x = c . `das
figkras laukumu var apr7int, saskaitot
divu l%2łkl%2łniju trape%0ńu laukumus:
y = g(x)
b
S1 S2
S1 = f (x)dx - laukums figkrai, ko
+"
a
O a b c x
ierobe~o taisnes y = 0 , x = b un l%2łnija
c
4. z%2łm.
y = f (x); S2 = g(x)dx - laukums
+"
b
figkrai, ko ierobe~o taisnes y = 0 , x = b un l%2łnija y = g(x). Ttad
b c
S = S1 + S2 = f (x)dx + g(x)dx .
+" +"
a b
Jpiebilst, ka bez aplkkotajiem 4 gad%2łjumiem, var bkt ar%2ł citi gad%2łjumi. Lai pareizi
sastd%2łtu noteikto integrli plaknes figkras laukuma apr7inaanai, figkra ir juzz%2łm
5. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
koordintu sistm un pc z%2łmjuma jnosaka, vai l%2łkl%2łniju trape%0ńu laukumi ir jatFem
vai jsaskaita.
Piemrs. Apr7int laukumu figkrai, ko ierobe~o l%2łnijas y2 = 4x , x2 = 4y .
Risinjums. Lai pareizi sastd%2łtu noteikto integrli, dot figkra ir juzz%2łm (5. z%2łm.). K
redzam no z%2łmjuma, no augaas figkru
ierobe~o l%2łnija y2 = 4x jeb y = 2 x , no
y
x2
4
apakaas l%2łnija x2 = 4y jeb y = . Tas
4
atbilst 3. gad%2łjumam, kad laukumu apr7ina
k divu laukumu starp%2łbu. Noteiksim abu
l%2łniju krustpunktu abscisas (a%2łs vrt%2łbas ir ar%2ł
noteikt integr<a robe~as). `im nolkkam
piel%2łdzinsim abas y izteiksmes:
O 4 x
x2
= 2 x , x2 = 8 x , x4 = 64x ,
4
x4 - 64x = 0 , x(x3 - 64)= 0 ,
5. z%2łm.
x = 0 , x = 4 .
Sastd%2łsim noteikto integrli un apr7insim to:
4
3
4 4
1
4 4 4
2
#
x2 ś# 4 1 x 1 x3 4 x3
2
S = x - x dx - x2dx = 2 " - " = x3 - =
+"ś#2 4 ź#dx = 2+" +"
ś# ź#
3
4 4 3 3 12
0
# #
0 0 0
0 0
2
0
4 43 32 16 16
= 43 - = - = .
3 12 3 3 3
Piemrs. Apr7int laukumu figkrai, ko ierobe~o l%2łnijas y = 2x -1, x + y = 2, y = 0 .
Risinjums. Uzz%2łmsim doto figkru (6. z%2łm.). Dotais uzdevums atbilst 4. gad%2łjumam,
kad laukumu jr7ina k divu figkru laukumu summu:
1
1
# ś#
2x ź# 2 1 1
ś#
S1 = (2x -1)dx = - xź# = -1- = -1.
+" ś#
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
# #
0
0
5. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
y
Otr figkra ir taisnleF7a trijstkris, ts
laukums
1"1 1
S2 = = .
2 2
1 1 1 1
S1
S2
O
Tad S = S1 + S2 = -1+ = - .
ln 2 2 ln 2 2
1 2
x
6. z%2łm.
5.2. Noteikt integr<a lietojumi l%2łnijas loka garuma apr7inaanai
PieFemsim, ka dota neprtraukta l%2łnija y = f (x) un japr7ina ts garums no
punkta A(a, f (a)) l%2łdz punktam
y
B(b, f (b)) (7. z%2łm.). Ar punktiem
B A = P0 , P1, P2 , & , Pn = B visu l%2łniju
Pi-1
sadal%2łsim n da<s. `o punktu abscisas
Pi
a = x0 , x1, x2 , & , xn = b apmierina
neviend%2łbas
A
x0 < x1 < x2 < K < xn .
Punktus A , P1, P2 , & , B savienosim ar
O a xi-1 xi b x
lauztu l%2łniju. Dots l%2łnijas garums L ir
aptuveni viends ar a%2łs lauzts l%2łnijas
7. z%2łm.
garumu L . Savukrt lauzts
lauztai l%2łnijai
l%2łnijas garumu varam apr7int k atsevia7u posmu (t.i. nogrie~Fu garumu summu):
n
Pi-1
Llauztai linijai = .
""li
i=1
"l
"y
Aplkkosim atsevia7i vienu lauzts l%2łnijas posmu (8. z%2łm.).
Caur punktiem Pi-1, Pi novilksim koordintu as%2łm parallas
Pi taisnes, k tas pard%2łts z%2łmjum. Izveidojas taisnleF7a
"x
trijstkris, kura kateau malu garumi ir "x un "y . Lauzts
8. z%2łm. l%2łnijas posms ir a%2ł trijstkra hipotenkza, kuras garumu varam
5. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
apr7int pc Pitagora teormas:
2
#
("y)2 ś# 1+ ś# "y
# ś#
ź#
"l = ("x)2 + ("y)2 = ("x)2ś#1+ = "x .
ź#
ś#
"x
# #
("x)2 ź#
# #
Tad lauzts l%2łnijas garums ir
2
n n
# ś#
"yi
ś# ź#
Llauztai linijai = = 1+ "xi ,
""li "
ś# ź#
"xi
# #
i=1 i=1
kur "xi = xi - xi-1 .
Prec%2łzu dots l%2łnijas garumu dabksim, ja Femsim tik s%2łku l%2łnijas sadal%2łjumu da<s, ka
blakus esoaie punkti praktiski sakr%2łt, t.i., ja = max "xi tiecas uz nulli. Ttad
1d"id"n
2
n n
# ś#
"yi
ś# ź#
L = lim = lim 1+ "xi .
""li "
ś# ź#
0 0 "xi
# #
i=1 i=1
"y
2
Eemot vr atvasinjuma defin%2łciju lim = y un noteikt integr<a defin%2łciju,
"x0 "x
iegksim l%2łnijas loka apr7inaanas formulu:
b
2
L = 1+ (y )2 dx .
+"
a
x x
-
2 2
Piemrs. Apr7int l%2łnijas y = e + e garumu starp punktiem ar abscism x = 0 un
x = 4 .
y
8
Risinjums. Vispirms uzz%2łmsim doto l%2łniju (9. z%2łm.).
Noteiksim dots funkcijas atvasinjumu:
x x x x
# ś#
-
1 1 1
# ś#
6
ś#e 2 - ź#
2 2 2
2
y = e " + e " = - e .
ś#- ź#
ś# ź#
2 2 2
# #
# #
4 Sastd%2łsim noteikto integrli un apr7insim to:
2
x x
4 # ś# 4
# ś#ź#
1 1
ś#
ś#e 2 - e- ź#
2
L = 1+ (ex
2
+" +"
ś# ź#
ś# ź#ź# dx = 1+ 4 - 2 + e-x)dx =
2
ś#
0 0
# #
# #
4 4
1 1
x
1 2 3 4
= (4 + ex - 2 + e-x)dx = ex + 2 + e-x dx =
+" +"
4 2
0 0
9. z%2łm.
5. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2
x x x x x x
4 4 4 4
# ś# # ś#
- -
1 1 1 x 1 x
ś# ś#
ś#e 2 + e- ź#
2
= dx =
ś# ś#
+" +"ś#e 2 + e 2 ź#dx = " 2+"e 2 d# ź# + 2 "(- 2)+"e 2 d#- ź# =
ś# ź# ś# ź#
2 2 2 2 2
# # # #
0 0 0 0
# # # #
4 4
x x
-
1
2 2
= e - e = e2 -1- e-2 +1 = e2 - .
e2
0 0
5.3. Noteikt integr<a lietojumi rotcijas 7ermeFa tilpuma
apr7inaanai
1) PieFemsim, ka dota neprtraukta plaknes l%2łnija y = y(x), kas atrodas pirmaj
kvadrant. Izveidosim plaknes apgabalu, ko ierobe~o a%2ł l%2łnija un taisnes x = a , x = b ,
y = 0 (10. z%2łm.). PieFemsim, ka ais
y
y = y(x)
plaknes apgabals rot ap Ox asi.
Apr7insim iegkt rotcijas 7ermeFa
tilpumu. `im nolkkam intervlu [a; b] ar
punktiem a = x0 , x1, x2 , & , xn = b
sadal%2łsim n da<s:
x0 < x1 < x2 < K < xn .
O a xi-1 xi b x
Caur aiem punktiem novilksim plaknes,
perpendikulras Ox asij. Mints plaknes
visu rotcijas 7ermeni sadala n da<s. i-ts
da<as tilpumu apz%2łmsim ar "Vi . Tad
n
V = .
""Vi
i=1
10. z%2łm.
Katras da<as tilpumu tuvinti var apr7int
k cilindra tilpumu. Cilindra tilpums Vcilindram = Ą R2H . Par cilindra rdiusu varam
Femt funkcijas vrt%2łbu jebkur intervla [xi-1; xi ] punkt, ttad R = y(ti ), kur
ti "[xi-1; xi ]. Savukrt cilindra augstums H = xi - xi-1 = "xi . Tdjdi i-ts da<as
tilpums
"Vi H" Ą y2(ti )"xi
un visa rotcijas 7ermeFa tilpums
5. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
n
V H" Ą y2(ti )"xi .
"
i=1
Prec%2łzu tilpuma vrt%2łbu iegksim, Femot tik s%2łku intervla [a; b] sadal%2łjumu da<s, ka
= max "xi tiecas uz nulli. Ttad
1d"id"n
n
V = Ą lim y2(ti )"xi .
"
0
i=1
Iegkto robe~u sal%2łdzinot ar noteikt integr<a defin%2łciju, dabksim
b
V = Ą y2dx .
+"
a
2) Ja plaknes figkru, kura rot ap Ox asi, no augaas ierobe~o l%2łnija y = y1(x), no apakaas
l%2łnija y = y2(x), kur x "[a; b], tad iegkt rotcijas 7ermeFa tilpumu iegkst k divu
tilpumu starp%2łbu:
b b b
2 2 2 2
V = V1 -V2 = Ą y1 (x)dx - Ą y2 (x)dx = Ą (y1 (x)- y2 (x))dx .
+" +" +"
a a a
3) PieFemsim, ka plaknes apgabals, ka ierobe~o l%2łnijas y = y(x), y = c , y = d , x = 0,
rot ap Oy asi (11. z%2łm.). Td
y
gad%2łjum, lai apr7intu rotcijas
7ermeFa tilpumu, Ox un Oy asis
d
main%2łsim lomm. No l%2łnijas
viendojuma y = y(x) izteiksim x k
funkciju no y, t.i. x = x(y). Tad
y = y(x)
d
V = Ą x2dy .
c
+"
c
O a b x
4) Ja plaknes figkru, kura rot ap Oy
asi, no labs puses ierobe~o l%2łnija
11. z%2łm.
x = x1(y), no kreiss puses l%2łnija
x = x2(y), kur y "[c; d], tad iegkt rotcijas 7ermeFa tilpums (pc analo#ijas ar
2.gad%2łjumu) ir
d
2 2
V = Ą (x1 (y)- x2 (y))dy .
+"
c
5. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
1
Piemrs. Plaknes da<a, kuru ierobe~o l%2łnijas y = x3, x = -1, x = 1, rot 1) ap Ox asi; 2)
3
ap Oy asi. Apr7int iegkto rotcijas 7ermeFu tilpumu.
Risinjums. Uzz%2łmsim doto apgabalu (12. z%2łm.). T k apgabals ir simetrisks attiec%2łb
pret koordintu sistmas
y
skumpunktu, tad abos
1
gad%2łjumos apr7insim pusi no
3
rotcijas 7ermeFa tilpuma un
rezulttu pareizinsim ar 2.
-1
1) Rotcija ap Ox asi. Tad
O 1 x
apgabalu no augaas ierobe~o
1
l%2łnija y = x3 , no apakaas Ox
3
ass, x "[0; 1]. Tas ir 1.gad%2łjums,
12. z%2łm.
ttad
1
1 2 1
1 2Ą 2Ą x7 2Ą 1 2Ą
# #
Vx = 2Ą x3 ś# dx = x6dx = " = - 0ś# = .
ś# ź#
+"ś# 3 ź# 9 +"
9 7 9 7 63
# # # #
0 0
0
2) Rotcija ap Oy asi. Tad apgabalu no labs puses ierobe~o taisne x = 1, no kreiss
1
3
puses l%2łnija y = x3 jeb x = 3y . Tas ir 4.gad%2łjums. Pc atbilstoas formulas iegksim
3
1
1 1
5
3
# ś#
2
3 3 # ś# ś# ź#
3
2
y
Vy = 2Ą -( 3y) = 2Ą
ś# ź#
+"#12 3 ś#dy +"ś#1- 3 9 " y 3 ź#dy = 2Ą ś# y - 3 9 " 5 ź# =
ś# ź#
# #
ś# ź#
0 0
# # ś# 3 ź#
# #
0
# ś#
# ś#
1 33 9 1 1 33 9 1 1 4Ą
# ś#
ś# ź#
ś# ź#
= 2Ą - " = 2Ą - = 2Ą - ź#
= .
ś#
ś# ź#
ś# 3
3 5
# #
35 ź# 3 5 " 33 9 # 3 5 # 15
# #
Noteikto integrli var pielietot ar%2ł rotcijas virsmas laukuma apr7inaanai.
Virsmas laukums, kas rodas, intervl [a,b] neprtrauktas un diferencjamas funkcijas
y = f (x) grafikam rotjot ap Ox asi, ir viends ar
b
2
2
Qx = 2Ą f (x) 1+ ( f (x)) dx .
+"
a
Ja a%2ł l%2łnija rot ap Oy asi un no l%2łnijas viendojuma x = x(y), kur y "[c, d], tad iegkt
rotcijas 7ermeFa virsmas laukums ir
d
2
2
Qy = 2Ą x(y) 1+ (x (y)) dy .
+"
c
5. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
15 lekcija 2 sem7 lekcija 2 sem16 lekcija 2 sem2 lekcija 2 sem10 lekcija 2 sem3 lekcija 2 sem11 lekcija 2 sem4 lekcija 2 sem9 lekcija 2 sem14 lekcija 2 sem8 lekcija 2 sem8 lekcija 2 sem1 lekcija 2 sem13 lekcija 2 sem6 lekcija 2 semmk wyklady transport sem 1więcej podobnych podstron