1 Zbiór liczb zespolonych
Definicja 1.1 Rozważmy zbiór C = R × R. W zbiorze C okreÅ›lamy
dwa dziaÅ‚ania +, ·, które bÄ™dziemy nazywali dodawaniem i mnożeniem:
1. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
2. (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc),
gdzie działania po prawych stronach równości są zwykłymi działaniami
na liczbach rzeczywistych. Elementy zbioru C, w którym określone
sÄ… dziaÅ‚ania +, ·, bÄ™dziemy nazywali liczbami zespolonymi, a zbiór C
zbiorem liczb zespolonych.
Definicja 1.2 Niech z = a + bi będzie dowolną liczbą zespoloną.
Liczbę sprzężoną z liczbą z nazywamy liczbę zespoloną z = a - bi.
Å»
Twierdzenie 1.1
1. z = z
Å»
2. z1 + z2 = z1 + z2
3. z1 - z2 = z1 - z2
4. z1z2 = z1 · z2

z1 z1
5. = (z2 = 0).

z2 z2
Definicja 1.3 Niech z = a + bi. Modułem liczby zespolonej z, który
"
oznaczamy przez |z|, nazywamy liczbÄ™ rzeczywistÄ… a2 + b2
Twierdzenie 1.2 Niech z1 = |z1|(cos Õ1+i sin Õ1) oraz z2 = |z2|(cos Õ2+
i sin Õ2). Wówczas
1. z1z2 = |z1||z2|(cos(Õ1 + Õ2) + i sin(Õ1 + Õ2)),
tzn. |z1z2| = |z1||z2| oraz arg(z1z2) = arg z1 + arg z2
|z1|
z1
2. = (cos(Õ1 - Õ2) + i sin(Õ1 - Õ2)),
z2 2|
|z

z
|z1|
z1
1
tzn. = oraz arg = arg z1 - arg z2.
z
|z2| z2
2
Definicja 1.4 (wzór de Moivre a)
1
[|z|(cos Õ + i sin Õ)]n = |z|n(cos nÕ + i sin nÕ)
Twierdzenie 1.3 Dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2 zachodzi
nierówność
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|
Definicja 1.5 Niech n " N. Pierwiastkiem stopnia n liczby zespolo-
nej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w o tej własności, że wn = z.
Twierdzenie 1.4 Każda liczba zespolona z = |z|(cos Õ + i sin Õ)
różna od zera ma dokładnie n pierwiastków stopnia n postaci:

Õ + 2kÄ„ Õ + 2kÄ„
n n
|z|(cos Õ + i sin Õ) = |z|(cos + i sin ),
n n
gdzie k = 0, 1, . . . , n - 1.
Twierdzenie 1.5 Jeżeli wk, gdzie k = 0, 1, . . . , n - 1, są pierwiast-
kami stopnia n z liczby z, to

2kĄ 2kĄ
wk = w0 cos + i sin
n n
2
2 Wielomiany
Definicja 2.1 Wielomianem rzeczywistym (zespolonym) stopnia n "
N *" {0} nazywamy funkcjÄ™ W : R - R
(W : C - C) określoną wzorem
W (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0
gdzie ak " R (ak " C) dla 0 d" k d" n oraz an = 0. Liczby ak nazywamy

współczynnikami wielomianu W .
Definicja 2.2 Mówimy, że wielomian S jest ilorazem, a wielomian R
resztą z dzielenia wielomiany P przez wielomian Q, jeżeli dla każdego
x " R (x " C) spełniony jest warunek
P (x) = Q(x)S(x) + R(x)
oraz stopień reszty R jest mniejszy od stopnia dzielnika Q. Jeżeli
R(x) a" 0 to mówimy, że wielomian P jest podzielny przez wielomian
Q.
Definicja 2.3 LiczbÄ™ rzeczywistÄ… (zespolonÄ…) x0 nazywamy pier-
wiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W , jeżeli W (x0) =
0.
Twierdzenie 2.1 (Bézout) Liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
W (x) = (x - x0)P (x)
Definicja 2.4 Liczba x0 jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
W (x) = (x - x0)kP (x)
3
oraz P (x0) = 0

Twierdzenie 2.2 Niech
W (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba
całkowita p = 0 będzie pierwiastkiem wielomianu. Wtedy p jest dziel-

nikiem wyrazu wolnego a0.
Twierdzenie 2.3 Niech
W (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych stopnia n oraz
p
niech liczba wymierna , gdzie p i q są liczbami całkowitymi względnie
q
pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu W . Wtedy p jest dziel-
nikiem współczynnika a0 a q jest dzielnikiem współczynnika an tego
wielomianu.
Twierdzenie 2.4 Każdy wielomian stopnia n " N ma dokładnie n
pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne).
Twierdzenie 2.5 Niech W będzie wielomianem o współczynnikach
rzeczywistych. Wówczas liczba zespolona z0 jest k-krotnym pierwiast-
kiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba z0 jest pierwiast-
kiem k-krotnym tego wielomianu.
4
3 Macierze i wyznaczniki
Definicja 3.1 MacierzÄ… rzeczywistÄ… (zespolonÄ…) wymiaru m × n,
gdzie m, n " N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb
rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolum-
nach. Będziemy pisali macierz w postaci
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . .
.
. . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚
. . .
am1 am2 . . . amn
i oznaczali przez [aij]m×n, gdzie aij " R (aij " C). Skalary aij nazywa-
my wyrazami lub elementami danej macierzy.
Definicja 3.2 GłównÄ… przekÄ…tnÄ… macierzy [aij]m×n nazywamy ciÄ…g
elementów (a11, a22, . . . , ass), gdzie s = min{m, n}.
Definicja 3.3 (rodzaje macierzy)
1. Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy sÄ… równe 0,
nazywamy macierzÄ… zerowÄ… wymiaru m × n i oznaczamy przez
Om×n lub O, gdy znamy jej wymiar.
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
0 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
Om×n =
ïÅ‚ śł
. . .
.
. . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚
. . .
0 0 . . . 0
2. Macierz kwadratowa stopnia n e" 2, w której wszystkie elementy
stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą
dolnotrójkątną. Podobnie określa się macierz górnotrójkątną.
5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 0 0 . . . 0 a11 a12 a13 . . . a1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚
a21 a22 0 . . . 0 0 a22 a23 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚
a31 a32 a33 . . . 0 0 0 a33 . . . a3n śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ . . . . śł ïÅ‚ . . . . śł
. .
. . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
an1 an2 . . . . . . ann 0 0 . . . . . . ann
3. Macierz kwadratowa stopnia n e" 2, będąca jednocześnie macie-
rzą dolnotrójkątną jak i górnotrójkątną, nazywana jest macierzą
diagonalnÄ….
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 0 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
0 a22 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 a33 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ . . . . śł
.
. . . . .
.
. . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 . . . . . . ann
4. Macierz diagonalną, w której wszystkie elementy głównej prze-
kątnej są równe 1, nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy
przez In lub I, gdy znamy jej stopień.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
0 1 . . . 0
ïÅ‚ śł
In =
ïÅ‚ śł
. . .
.
. . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚
. . .
0 0 . . . 1
3.1 Działania na macierzach
Definicja 3.4 Dodawaniem macierzy nazywamy działanie w zbiorze
Mm×n (K) okreÅ›lone w nastÄ™pujÄ…cy sposób:
6
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b1n
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł ïÅ‚ b21 b22 . . . b2n śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
+ =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚ ðÅ‚ . ûÅ‚
. . . . . .
am1 am2 . . . amn bm1 bm2 . . . bmn
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
ïÅ‚
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n śł
ïÅ‚ śł
= .
ïÅ‚ śł
. . .
.
. . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚
. . .
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
Tak wiÄ™c [aij]m×n + [bij]m×n = [aij + bij]m×n.
Definicja 3.5 Mnożeniem macierzy przez skalar nazywamy odwzo-
rowanie dla  " K i [aij]m×n " Mm×n (K) okreÅ›lone w nastÄ™pujÄ…cy
sposób:
 [aij]m×n = [aij]m×n
Zatem
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł ïÅ‚ a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
 =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚ ðÅ‚ . ûÅ‚
. . . . . .
am1 am2 . . . amn am1 am2 . . . amn
Definicja 3.6 Niech bÄ™dÄ… dane dwie macierze: A = [aij]m×n oraz B =
[bij]n×p. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz AB okreÅ›lonÄ… w
następujący sposób:
n

AB = [cij]m×p , gdzie cij = aisbsj
s=1
(i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , p)
Twierdzenie 3.1 Niech A = [aij]m×n, B = [bij]n×p, C = [cij]p×q bÄ™dÄ…
macierzami o elementach ze zbioru K. Wówczas
(AB) C = A (BC) .
7
Twierdzenie 3.2 Niech  " K oraz A, B, C " Mn (K). Wówczas
1. A (B + C) = AB + AC oraz (B + C) A = BA + BC - mnożenie
macierzy jest rozdzielne względem ich dodawania
2. (A) B = A (B) =  (AB).
Twierdzenie 3.3 Jeżeli A, I " Mn (K), to AI = IA = A.
Definicja 3.7 Niech A = [aij]m×n " Mm×n (K). MacierzÄ… transpono-
wanÄ… do macierzy A nazywamy macierz B = [bij]n×m, której elementy
są określone wzorem:
bij = aji, gdzie 1 d" i d" n oraz 1 d" j d" m.
Macierz transponowanÄ… do macierzy A oznaczamy przez AT .
Twierdzenie 3.4 (własności transponowania macierzy) Niech  "
K oraz A, B " Mm×n (K).
1. (A + B)T = AT +BT ,
T
2. AT = A,
3. (A)T = AT ,
4. (AB)T = BT AT .
3.2 Definicja i własności wyznacznika
Definicja 3.8 Wyznacznikiem macierzy nazywamy funkcjÄ™
det : Mn (K) - K,
która każdej macierzy A = [aij] przypisuje liczbę ze zbioru K. Funkcja
ta określona jest wzorem rekurencyjnym:
1. jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to det A = a11,
2. jeżeli macierz A ma stopień n e" 2, to
det A = (-1)1+1 a11 det A" +(-1)1+2 a12 det A" +. . .+(-1)1+n a1n det A"
11 12 1n
8

n

równoważnie: det A = (-1)1+k a1k det A" , gdzie A" ozna-
1k ij
k=1
cza macierz stopnia n - 1 otrzymanÄ… z macierzy A przez skre-
ślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Wyznacznik macierzy A oznaczamy też przez det [aij] lub |A|, a w
formie rozwiniętej przez

îÅ‚ Å‚Å‚

a11 a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n

ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł a21 a22 . . . a2n
ïÅ‚ śł
det lub .
ïÅ‚ śł
. . . . . .
. .
. . . . . . . .

ðÅ‚ . ûÅ‚ .
. . . . . .


an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann
Twierdzenie 3.5 (reguły obliczania wyznaczników stopnia drugiego
i trzeciego)

a b
1. det = ad - bc,
îÅ‚c d Å‚Å‚
a b c
ïÅ‚ śł
2. det d e f = (aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + bdi) (reguła
ðÅ‚ ûÅ‚
g h i
Sarrusa).
Uwaga: Reguła Sarrusa obliczania wyznaczników nie przenosi się
na wyznaczniki wyższych stopni.
Twierdzenie 3.6 Wyznacznik macierzy dolnotrojkątnej lub górno-
trójkątnej jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej prze-
kÄ…tnej.


a11 0 . . . 0 a11 a12 . . . a1n


a21 a22 . . . 0 0 a22 . . . a2n

= = a11 · a22 · . . . · ann

. . . . . .
. .
. . . . . . . .
. .
. . . . . .


an1 an2 . . . ann 0 0 . . . ann
9
3.3 Rozwinięcie Laplace a
Definicja 3.9 Niech będzie dana macierz A " Mn (K), gdzie n > 1.
Dopełnieniem algebraicznym elementu aij nazywamy liczbę określoną
następująco:
Aij = (-1)i+j det A" ,
ij
gdzie A" oznacza macierz stopnia n - 1 otrzymanÄ… z macierzy A przez
ij
skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Twierdzenie 3.7 (rozwinięcie Laplace a) Niech będzie dana macierz
A = [aij] " Mn (K). Wówczas
n

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ainAin = aikAik (i = 1, 2, . . . , n)
k=1
n

det A = a1jA1j + a2jA2j + . . . + anjAnj = akjAkj (j = 1, 2, . . . , n) .
k=1
Twierdzenie 3.8 (własności wyznaczników)
1. Wyznacznik macierzy kwadratowej majÄ…cej kolumnÄ™ (wiersz)
złożoną z samych zer jest równy 0.


a11 a12 . . . 0 . . . a1n


a21 a22 . . . 0 . . . a2n

= 0

. . . .
. .
. . . . . .
. .
. . . .


an1 an2 . . . 0 . . . ann
2. Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przesta-
wimy między sobą dwie kolumny (wiersze).


a1i a1j a1j a1i


a2i a2j a2j a2i

=
-
. . . .
. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


ani anj anj ani
10
3. Wyznacznik macierzy kwadratowej majÄ…cej dwie jednakowe ko-
lumny (wiersze) jest równy 0.

Ä… Ä…


² ²

= 0

. .
. .

. . . . . . . . . . .



4. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy
kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można
wyłączyć przed wyznacznik macierzy.


a11 a12 . . . ca1j . . . a1n a11 a12 . . . a1j . . . a1n


a21 a22 . . . ca2j . . . a2n a21 a22 . . . a2j . . . a2n

= c

. . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . .


an1 an2 . . . canj . . . ann an1 an2 . . . anj . . . ann
Ponadto


ca11 ca12 . . . ca1n a11 a12 . . . a1n


ca21 ca22 . . . ca2n a21 a22 . . . a2n

= cn

. . . . . .
. .
. . . . . . . .
. .
. . . . . .


can1 can2 . . . cann an1 an2 . . . ann
5. Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej ko-
lumny (wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie
wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (wier-
sza) są zastąpione tymi składnikami.
11


a11 a12 . . . a1j + a . . . a1n
1j


a21 a22 . . . a2j + a . . . a2n

2j
=

. . . .
. .
. . . . . .
. .
. . . .


an1 an2 . . . anj + a . . . ann
nj


a11 a12 . . . a1j . . . a1n a11 a12 . . . a . . . a1n
1j


a21 a22 . . . a2j . . . a2n a21 a22 . . . a . . . a2n

2j
= +

. . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . .


an1 an2 . . . anj . . . ann an1 an2 . . . a . . . ann
nj
6. Wyznacznik nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolum-
ny (wiersza) dodamy odpowiadajÄ…ce im elementy innej kolumny
(wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę.


a11 . . . a1i . . . a1j . . . a1n a11 . . . a1i + ca1j . . . a1j . . . a1n


a21 . . . a2i . . . a2j . . . a2n a21 . . . a2i + ca2j . . . a2j . . . a2n

=

. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . .


an1 . . . ani . . . anj . . . ann an1 . . . ani + canj . . . anj . . . ann
7. Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe.


a11 a12 . . . a1n a11 a21 . . . an


a21 a22 . . . a2n a12 a22 . . . a2n

=

. . . . . .
. .
. . . . . . . .
. .
. . . . . .


2
an1 an2 . . . ann an a2n . . . an
Twierdzenie 3.9 (Cauchy) Niech A, B " Mn (K). Wówczas
det AB = det A· det B.
3.4 Macierz odwrotna
Definicja 3.10 Niech będzie dana macierz A " Mn (K). Macie-
rzÄ… odwrotnÄ… do macierzy A nazywamy macierz oznaczonÄ… przez A-1,
spełniającą warunek:
12
AA-1 = A-1A = I
Definicja 3.11 Macierz A " Mn (K) nazywamy osobliwą, jeżeli
det A = 0.
W przeciwnym wypadku macierz A nazywamy nieosobliwÄ….
Twierdzenie 3.10 Macierz A " Mn (K) jest odwracalna wtedy i
tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
Wniosek 3.1 Niech będzie dana macierz nieosobliwa A " Mn (K).
Wówczas
îÅ‚ Å‚Å‚T
A11 A12 . . . A1n
ïÅ‚
A21 A22 . . . A2n śł
1
ïÅ‚ śł
A-1 =
ïÅ‚ śł
. . .
.
. . . .
det A ðÅ‚ . ûÅ‚
. . .
An1 An2 . . . Ann
Twierdzenie 3.11 (własności macierzy odwrotnych) Niech A, B "
Mn (K) będą macierzami odwracalnymi oraz ą " K \ {0}. Wtedy ma-
cierze A-1, AT , AB, ąA także są odwracalne i prawdziwe są równości:
1. det(A-1) = (det A)-1 4. (AB)-1 = B-1A-1
1
5. (Ä…A)-1 = A-1
2. (A-1)-1 = A
Ä…
-1
3. AT = (A-1)T
13
4 Układy równań liniowych
Definicja 4.1 Układem równań liniowych nazywamy układ
Å„Å‚
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
ôÅ‚
.................................................
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
gdzie aij, bi " R lub aij, bi " C, (i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n). Skala-
ry aij nazywamy współczynnikami przy niewiadomych, a bi - wyrazami
wolnymi.
Definicja 4.2 Ciąg skalarów (c1, c2, . . . , cn), gdzie ci " R lub ci "
C, (i = 1, 2, . . . , n), nazywamy rozwiązaniem układu równań, jeżeli
zachodzą równości:
Å„Å‚
a11c1 + a12c2 + . . . + a1ncn = b1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a21c1 + a22c2 + . . . + a2ncn = b2
ôÅ‚
.................................................
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1c1 + am2c2 + . . . + amncn = bm
Układ równań, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem sprzecz-
nym.
Powyższy układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzo-
wej:
AX = B,
gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n x1 b1
ïÅ‚ ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a21 a22 . . . a2n śł x2 b2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = , X = , B =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . .
.
. . . . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . .
am1 am2 . . . amn xm bm
14
Macierz A nazywamy macierzą główną układu równań, macierz X ma-
cierzą (kolumną) niewiadomych, a B macierzą (kolumną) wyrazów wol-
nych.
Definicja 4.3 Macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n b1
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n b2 śł
ïÅ‚ śł
[A|B] =
ïÅ‚ śł
. . . .
.
. . . . .
ðÅ‚ . ûÅ‚
. . . .
am1 am2 . . . amn bm
nazywamy macierzą uzupełnioną (rozszerzoną) układu AX = B.
Definicja 4.4 Układ równań liniowych
Å„Å‚
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
ôÅ‚
.................................................
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
nazywamy układem jednorodnym.
Definicja 4.5 Dwa układy równań liniowych nazywamy równoważ-
nymi, jeżeli maja ten sam zbiór rozwiązań.
4.1 Układy Cramera
Definicja 4.6 Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych
AX = B, w którym macierz A jest nieosobliwa, czyli jest macierzą kwa-
dratowÄ…, gdzie det A = 0.

Twierdzenie 4.1 Układ Cramera AX = B z n równaniami ma do-
kładnie jedno rozwiązanie określone wzorami:
Wx
j
xj = , (j = 1, 2, . . . , n)
W
15
gdzie W = det A oraz Wx jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z
j
macierzy A przez zastąpienie w niej j-tej kolumny kolumną wyrazów
wolnych B.
16
5 Funkcje liczbowe
Definicja 5.1 Niech zbiory X, Y ‚" R bÄ™dÄ… niepuste. FunkcjÄ… okre-
śloną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporząd-
kowanie każdemu elementowi x " X dokładnie jednego elementu y " Y
i oznaczamy przez
f : X - Y
Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x).
Definicja 5.2 Niech f : X - Y . Zbiór X nazywamy dziedziną
funkcji f i oznaczamy symbolem Df. Zbiór Y nazywamy przeciwdzie-
dziną funkcji f a zbiór

y " Y : "x"D y = f(x)
f
nazywamy zbiorem jej wartości.
Definicja 5.3 Funkcje f : Df - Y oraz g : Df - Y są równe,
jeżeli
Df = Dg '" "x"D f(x) = g(x)
f
Definicja 5.4 Wykresem funkcji f : X - Y nazywamy zbiór

(x, y) " R2 : x " X, y = f(x)
Definicja 5.5 Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y , jeżeli
"y"Y "x"X f(x) = y.
na
Piszemy wtedy f : X - Y .
Definicja 5.6 Funkcję f : X - Y nazywamy okresową, jeżeli
"T >0 "x"X x + T " X '" f(x + T ) = f(x)
17
Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. Jeżeli istnieje najmniejszy okres
funkcji f, to nazywamy go okresem podstawowym.
Definicja 5.7 Funkcję f : X - Y nazywamy parzystą, jeżeli
"x"X - x " X '" f(-x) = f(x)
Definicja 5.8 Funkcję f : X - Y nazywamy nieparzystą, jeżeli
"x"X - x " X '" f(-x) = -f(x)
Definicja 5.9 Funkcja f jest ograniczona z doÅ‚u na zbiorze A ‚" Df,
jeżeli
"m"R "x"A f(x) e" m.
Definicja 5.10 Funkcja f jest ograniczona z góry na zbiorze A ‚" Df,
jeżeli
"M"R "x"A f(x) d" M.
Definicja 5.11 Funkcja f jest ograniczona na zbiorze A ‚" Df, jeżeli
"m,M"R "x"A m d" f(x) d" M.
Definicja 5.12 Funkcja f jest rosnÄ…ca na zbiorze A ‚" Df, jeżeli
"x ,x2"A [x1 < x2 =Ò! f(x1) < f(x2)] .
1
Definicja 5.13 Funkcja f jest malejÄ…ca na zbiorze A ‚" Df, jeżeli
"x ,x2"A [x1 < x2 =Ò! f(x1) > f(x2)] .
1
Definicja 5.14 Funkcja f jest niemalejÄ…ca na zbiorze A ‚" Df, jeżeli
"x ,x2"A [x1 < x2 =Ò! f(x1) d" f(x2)] .
1
18
Definicja 5.15 Funkcja f jest nierosnÄ…ca na zbiorze A ‚" Df, jeżeli
"x ,x2"A [x1 < x2 =Ò! f(x1) e" f(x2)] .
1
Definicja 5.16 Niech f : X - Y oraz g : Z - W , gdzie Y ‚" Z.
Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g ć% f : X - W określoną
wzorem:
(g ć% f)(x) = g(f(x)).
Definicja 5.17 Funkcja f jest różnowartoÅ›ciowa na zbiorze A ‚" Df,
jeżeli
"x ,x2"A [x1 = x2 =Ò! f(x1) = f(x2)] .

1
na
Definicja 5.18 Niech funkcja f : X - Y będzie różnowartościo-
wa. Funkcje odwrotnÄ… do funkcji f nazywamy funkcjÄ™ f-1 : Y - X
spełniającą warunek:
f-1(y) = x Ð!Ò! y = f(x)
gdzie x " X, y " Y .
na
Twierdzenie 5.1 Niech funkcja f : X - Y będzie różnowartościo-
wa. Wtedy
"x"X f-1(f(x)) = x oraz "y"Y f(f-1(y)) = y
Definicja 5.19

Ä„
1. Funkcję odwrotną do funkcji sinus obciętej do przedziału -Ą,
2 2
nazywamy arcus sinus i oznaczamy przez arcsin.
2. Funkcję odwrotną do funkcji cosinus obciętej do przedziału 0, Ą
nazywamy arcus cosinus i oznaczamy przez arccos.
3. Funkcję odwrotną do funkcji tangens obciętej do przedziału

Ä„
-Ä„, nazywamy arcus tangens i oznaczamy przez arctg.
2 2
4. Funkcję odwrotną do funkcji cotangens obciętej do przedziałuu
0, Ä„ nazywamy arcus cotangens i oznaczamy przez arcctg.
19
6 CiÄ…gi liczbowe
Definicja 6.1 Ciągiem nazywamy funkcję f : N - R. Wartość tej
funkcji dla liczby naturalnej n " N będziemy nazywać n-tym wyrazem
ciągu i oznaczać przez an, tzn. f(n) = an. Sam ciąg oznaczać będziemy
symbolem (an).
Definicja 6.2 Ciąg (an) jest ograniczony z dołu, jeżeli
"m"R "n"N an e" m.
Definicja 6.3 Ciąg (an) jest ograniczony z góry, jeżeli
"M"R "n"N an d" M.
Definicja 6.4 Ciąg (an) jest ograniczony, jeżeli
"m,M"R "n"N m d" an d" M.
Definicja 6.5 Ciąg (an) jest rosnący, jeżeli
"n"N an < an+1.
Definicja 6.6 Ciąg (an) jest malejący, jeżeli
"n"N an > an+1.
Definicja 6.7 Ciąg (an) jest niemalejący, jeżeli
"n"N an d" an+1.
Definicja 6.8 Ciąg (an) jest nierosnący, jeżeli
"n"N an e" an+1.
20
6.1 Granica właściwa ciągu
Definicja 6.9 Ciąg (an) jest zbieżny do granicy właściwej a " R, co
zapisujemy
an a lub lim an = a,
n"
jeżeli
" >0 "n "N "n>n |an - a| <
0 0
Twierdzenie 6.1 Jeżeli ciągi (an), (bn) są zbieżne do granicy wła-
ściwej, to
1. limn"(an + bn) = limn" an + limn" bn
2. limn"(an - bn) = limn" an - limn" bn
3. limn"(an · bn) = limn" an · limn" bn
limn" an
n
4. limn"(a ) = , o ile limn" bn = 0

bn limn" bn
5. limn"(can) = c limn" an
Twierdzenie 6.2 Jeżeli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną
granicÄ™.
Twierdzenie 6.3 Jeżeli ciąg jest zbieżny do granicy właściwej, to
jest ograniczony.
Twierdzenie 6.4 limn" an = 0 Ð!Ò! limn" |an| = 0.
Twierdzenie 6.5 limn" an = a =Ò! limn" |an| = |a|.
Twierdzenie 6.6 Jeżeli limn" an = 0 oraz ciąg (bn) jest ograniczo-
ny, to limn"(an · bn) = 0.
Twierdzenie 6.7 (o trzech ciągach) Jeżeli ciągi (an), (bn), (cn) speł-
niajÄ… warunki:
1. "n "N "ne"n an d" bn d" cn
0 0
2. limn" an = limn" cn = b,
to limn" bn = b.
21
Twierdzenie 6.8 Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to jest
zbieżny.
6.2 Granica niewłaściwa ciągu
Twierdzenie 6.9 Jeżeli ciągi (an), (bn) spełniają warunki:
1. "n "N "ne"n an d" bn
0 0
2. limn" an = " (odpowiednio limn" bn = -")
to limn" bn = " (odp. limn" an = -")
Definicja 6.10 Wyrażenia

"

0
[" - "] , [0 · "] , , , [1"] , 00 , "0
" 0
nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi. Ich wartości zależą od postaci
ciągów je tworzących.
6.3 Granice pewnych ciągów
n
1
Twierdzenie 6.10 CiÄ…g en = 1 + jest rosnÄ…cy i ograniczony.
n
n
1
Twierdzenie 6.11 limn" 1 + = e, gdzie e H" 2, 718281828459045
n
Twierdzenie 6.12
Å„Å‚
= 0 dla a " (-1, 1)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
= 1 dla a = 1
lim an
n"
ôÅ‚
= " dla a " (1, ")
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
nie istnieje dla a " (-", -1
22
7 Granice funkcji
7.1 Podstawowe definicje
Definicja 7.1
1. Sąsiedztwem lewostronnym punktu x0 " R nazywamy przedział
S-(x0) = (x0 - ´, x0) dla dowolnego ´ > 0.
2. SÄ…siedztwem prawostronnym punktu x0 " R nazywamy prze-
dziaÅ‚ S+(x0) = (x0, x0 + ´) dla dowolnego ´ > 0.
3. Sąsiedztwem punktu x0 " R nazywamy przedział S(x0) = (x0 -
´, x0) *" (x0, x0 + ´) dla dowolnego ´ > 0.
Definicja 7.2
1. Sąsiedztwem " nazywamy przedział S(") = (a, ") dla dowol-
nego a " R.
2. Sąsiedztwem -" nazywamy przedział S(-") = (-", a) dla
dowolnego a " R.
Definicja 7.3 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego sąsiedztwa S(x0). Liczba g jest granicą właściwą funkcji
f w punkcie x0, co zapisujemy
limxx f(x) = g, jeżeli
0
"(x )‚"S(x0) lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g
n
n" n"
Definicja 7.4 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona dla
pewnego sąsiedztwa lewostronnego S-(x0). Liczba g jest granicą wła-
ściwą lewostronną funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy limxx- f(x) =
0
g, jeżeli
"(x )‚"S-(x0) lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g
n
n" n"
23
Definicja 7.5 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określo-
na dla pewnego sÄ…siedztwa prawostronnego S+(x0). Liczba g jest gra-
nicą właściwą prawostronną funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy
+
limxx f(x) = g, jeżeli
0
"(x )‚"S+(x0) lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g
n
n" n"
Definicja 7.6 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego sąsiedztwa S(x0). Funkcja f ma granicę niewłaściwą "
w punkcie x0, co zapisujemy limxx f(x) = ", jeżeli
0
"(x )‚"S(x0) lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = "
n
n" n"
Definicja 7.7 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego sąsiedztwa S(x0). Funkcja f ma granicę niewłaściwą -"
w punkcie x0, co zapisujemy limxx f(x) = -", jeżeli
0
"(x )‚"S(x0) lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -"
n
n" n"
Twierdzenie 7.1 Funkcja f ma w punkcie x0 granicę właściwą
+
(niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy limxx- f(x) = limxx f(x).
0 0
Wspólna wartość granic jednostronnych jest wtedy granicą funkcji f.
Twierdzenie 7.2 Jeżeli
1. limn" x = x0, gdzie x = x0 dla każdego n " R, oraz limn" f(x ) =

n n n
g
2. limn" x = x0, gdzie x = x0 dla każdego n " R, oraz limn" f(x ) =

n n n
g
3. g = g ,

to granica limxx f(x) nie istnieje (właściwa lub niewłaściwa).
0
24
Definicja 7.8 Niech funkcja f będzie określona dla pewnego sąsiedz-
twa S("). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w ", co zapisujemy
limx" f(x) = g, jeżeli
"(x )‚"S(") lim xn = " =Ò! lim f(xn) = g
n
n" n"
Definicja 7.9 Niech funkcja f będzie określona dla pewnego są-
siedztwa S(-"). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w -", co
zapisujemy limx-" f(x) = g, jeżeli
"(x )‚"S(-") lim xn = -" =Ò! lim f(xn) = g
n
n" n"
Definicja 7.10 Niech funkcja f będzie określona dla pewnego są-
siedztwa S("). Funkcja f ma w " granicę niewłaściwą ", co zapisu-
jemy limx" f(x) = ", jeżeli
"(x )‚"S(") lim xn = " =Ò! lim f(xn) = "
n
n" n"
Twierdzenie 7.3 Jeżeli
1. limn" x = " oraz limn" f(x ) = g
n n
2. limn" x = " oraz limn" f(x ) = g
n n
3. g = g ,

to granica limx" f(x) nie istnieje (właściwa lub niewłaściwa).
7.2 Twierdzenia o granicach funkcji
Twierdzenie 7.4 Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punk-
cie x0, to
1. limxx (f(x) + g(x)) = limxx f(x) + limxx g(x)
0 0 0
2. limxx (f(x) - g(x)) = limxx f(x) - limxx g(x)
0 0 0
3. limxx (cf(x)) = c limxx f(x), gdzie c " R
0 0
4. limxx (f(x) · g(x)) = limxx f(x) · limxx g(x)
0 0 0
25
limxx0 f(x)
5. limxx f(x) = , o ile limxx g(x) = 0

0 0
g(x) limxx0 g(x)
xx0
6. limxx f(x)g(x) = (limxx f(x))lim g(x)
0 0
Twierdzenie 7.5 Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:
1. limxx f(x) = y0
0
2. f(x) = y0 dla każdego x " S(x0)

3. limyy g(y) = q
0
to limxx g(f(x)) = q.
0
Twierdzenie 7.6 limx0 sin x = 1
x
Twierdzenie 7.7 limx0 ax-1 = ln a, a > 0
x
Twierdzenie 7.8 Jeżeli istnieje funkcja odwrotna do funkcji g w
pewnym otoczeniu S(x0), to
lim f(x) = lim f(g-1(t))
xx0
tg(x0)
7.3 Asymptoty funkcji
Definicja 7.11 Prosta x = a jest asymptotÄ… pionowÄ… lewostronnÄ…
funkcji f, jeżeli
lim f(x) = -" albo lim f(x) = "
xa- xa-
Definicja 7.12 Prosta x = a jest asymptotÄ… pionowÄ… prawostronnÄ…
funkcji f, jeżeli
lim f(x) = -" albo lim f(x) = "
xa+ xa+
Definicja 7.13 Prosta jest asymptotÄ… pionowÄ… obustronnÄ… funkcji,
jeżeli jest asymptotą pionową prawostronną i lewostronną.
26
Definicja 7.14 Prosta y = b jest asymptotÄ… poziomÄ… lewostronnÄ…
funkcji f, jeżeli
lim f(x) = b
x-"
Definicja 7.15 Prosta y = b jest asymptotÄ… poziomÄ… prawostronnÄ…
funkcji f, jeżeli
lim f(x) = b
x"
Definicja 7.16 Prosta y = ax+b jest asymptotą ukośną lewostronną
funkcji f, jeżeli
lim [f(x) - (ax + b)] = 0
x-"
Definicja 7.17 Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną prawo-
stronną funkcji f, jeżeli
lim [f(x) - (ax + b)] = 0
x"
Twierdzenie 7.9 Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną prawo-
stronnÄ… (lewostronnÄ…) funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
f(x)
a = lim oraz b = lim [f(x) - ax]
x" x"
x

f(x)
a = lim oraz b = lim [f(x) - ax]
x-" x-"
x
27
8 Ciągłość funkcji
8.1 Podstawowe definicje
Definicja 8.1
1. Otoczeniem lewostronnym punktu x0 " R nazywamy przedział
O-(x0) = (x0 - ´, x0] dla dowolnego ´ > 0.
2. Otoczeniem prawostronnym punktu x0 " R nazywamy prze-
dziaÅ‚ O+(x0) = [x0, x0 + ´) dla dowolnego ´ > 0.
3. Otoczeniem punktu x0 " R nazywamy przedział O(x0) = (x0 -
´, x0 + ´) dla dowolnego ´ > 0.
Definicja 8.2 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia O(x0). Funkcja f jest ciągła w punkcie x0, jeżeli
lim f(x) = f(x0)
xx0
Definicja 8.3 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona dla
pewnego otoczenia lewostronnego O-(x0). Funkcja f jest lewostronnie
ciągła w punkcie x0, jeżeli
lim f(x) = f(x0)
xx-
0
Definicja 8.4 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia prawostronnego O+(x0). Funkcja f jest prawo-
stronnie ciągła w punkcie x0, jeżeli
lim f(x) = f(x0)
xx+
0
Definicja 8.5 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia O(x0). Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy
i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie i prawostronnie ciągła w x0.
28
Definicja 8.6 Funkcja jest ciągła na zbiorze, jeżeli jest ciągła w
każdym punkcie tego zbioru.
Definicja 8.7 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia O(x0). Funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość
+
I rodzaju, jeżeli istnieją granice skończone limxx- f(x), limxx f(x)
0 0
oraz
lim f(x) = f(x0) lub lim f(x) = f(x0)

xx- xx+
0 0
Definicja 8.8 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia O(x0). Funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość
+
II rodzaju, jeżeli co najmniej jedna z granic limxx- f(x), limxx f(x)
0 0
nie istnieje lub jest niewłaściwa.
8.2 Działania na funkcjach ciągłych
Twierdzenie 8.1 Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x0, to
f
ciÄ…gÅ‚e sÄ… w punkcie x0 także funkcje: f + g, f - g, f · g oraz funkcja ,
g
o ile g(x0) = 0.

Twierdzenie 8.2 Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła w punkcie x0
2. funkcja g jest ciągła w punkcie y0 = f(x0)
to funkcja złożona g ć% f jest ciągła w punkcie x0.
Twierdzenie 8.3 Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzi-
nach.
29
9 Rachunek różniczkowy funkcji jed-
nej zmiennej
9.1 Podstawowe definicje
Definicja 9.1 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona dla
pewnego otoczenia O(x0). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0
odpowiadającym przyrostowi "x zmiennej niezależnej, gdzie "x = 0

oraz x0 + "x " O(x0), nazywamy liczbÄ™
f(x0 + "x) - f(x0)
"x
Definicja 9.2 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia O(x0). Pochodną właściwą funkcji f w punkcie
x0 nazywamy granicę właściwą
f(x0 + "x) - f(x0)
f (x0) = lim
"x0 "x
Definicja 9.3 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego lewostronnego otoczenia O-(x0). PochodnÄ… lewostronnÄ…
właściwą funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę właściwą
f(x0 + "x) - f(x0)

f-(x0) = lim
"x0- "x
Definicja 9.4 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona dla
pewnego prawostronnego otoczenia O+(x0). PochodnÄ… prawostronnÄ…
właściwą funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę właściwą
f(x0 + "x) - f(x0)

f+(x0) = lim
"x0+ "x
30
Twierdzenie 9.1 Funkcja ma pochodna w punkcie x0 wtedy i tylko
wtedy, gdy

f-(x0) = f+(x0)
Twierdzenie 9.2 Jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie,
to jest w tym punkcie ciągła.
Definicja 9.5 Funkcja ma pochodną właściwą na zbiorze, jeżeli ma
pochodna w każdym punkcie tego zbioru.
Definicja 9.6 Niech f będzie ciągła w punkcie x0. Funkcja ma po-
chodną niewłaściwą w punkcie x0, jeżeli
f(x0 + "x) - f(x0)
lim = Ä…"
"x0 "x
9.2 Twierdzenia o pochodnej funkcji
Twierdzenie 9.3 Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe w
punkcie x0, to
1. [f + g] (x0) = f (x0) + g (x0)
2. [cf] (x0) = cf (x0), gdzie c " R
3. [f · g] (x0) = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0)

f (x0)g(x0)-f(x0)g (x0)
f
4. (x0) = , o ile g(x0) = 0

g
[g(x0)]2
Twierdzenie 9.4 Jeżeli
1. funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x0
2. funkcja g ma pochodną właściwą w punkcie f(x0)
to
(g ć% f) (x0) = g (f(x0)) · f (x0)
Twierdzenie 9.5 Jeżeli funkcja f ma następujące własności:
31
1. jest ciągła w otoczeniu O(x0)
2. jest malejÄ…ca lub rosnÄ…ca na otoczeniu O(x0)
3. ma pochodną właściwą f (x0)
to
1
(f-1) (y0) = , gdzie y0 = f(x0)
f (x0)
9.3 Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji
Definicja 9.7 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona dla
pewnego otoczenia O(x0). Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w
punkcie (x0, f(x0)), jeżeli jest granicznym położeniem siecznych funkcji
f przechodzÄ…cych przez punkty (x0, f(x0)), (x, f(x)), gdy x - x0.
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji
Jeżeli ą oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie
(x0, f(x0)) i dodatnią półosią Ox, to
f (x0) = tgÄ…
Jeżeli ą+ oraz ą- oznaczają odpowiednio kąty między prawą i lewą
stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) a dodatnią półosią
Ox, to

f+(x0) = tgÄ…+ oraz f-(x0) = tgÄ…-
Twierdzenie 9.6 Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie
(x0, f(x0)) ma postać:
y = f(x0) + f (x0)(x - x0)
32
9.4 Różniczka funkcji
Definicja 9.8 Niech funkcja f ma pochodna właściwą w punkcie
x0. Różniczką funkcji f w punkcie x0 nazywamy funkcję df zmiennej
"x = x - x0 określoną wzorem
df("x) = f (x0)"x
Twierdzenie 9.7 Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie
x0, to
f(x0 + "x) H" f(x0) + f (x0)"x
Błąd jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji "f = f(x0 + "x) -
f(x0) jej różniczką df = f (x0)"x, dąży szybciej do zera niż przyrost
zmiennej niezależnej "x, tzn.
"f - df
lim = 0
"x0 "x
9.5 Pochodne wyższych rzędów
Definicja 9.9 Pochodną właściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie
x0 definiujemy rekurencyjnie:
1. f(1)(x0) = f (x0)

2. f(n)(x0) = f(n-1) (x0) dla n e" 2
Dodatkowo przyjmujemy, że f(0)(x0) = f(x0).
Twierdzenie 9.8 (Leibniza) Jeżeli funkcje f i g mają pochodne
właściwe n-tego rzędu w punkcie x0, to

n

n
(f · g)(n)(x0) = f(n-k)(x0) · g(k)(x0)
k
k=0
33
9.6 Twierdzenia o wartości średniej
Twierdzenie 9.9 (Rolle a) Jeżeli funkcja f:
1. jest ciągła na [a, b]
2. ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a, b)
3. f(a) = f(b)
to istnieje punkt c " (a, b) taki, że
f (c) = 0
Twierdzenie 9.10 (Lagrange a) Jeżeli funkcja f
1. jest ciągła na [a, b]
2. ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a, b)
to istnieje punkt c " (a, b) taki, że
f(b) - f(a)
f (c) =
b - a
Wnioski z tw. Lagrange a
Wniosek 9.1 Jeżeli funkcja f spełnia warunek
"x"(a,b) f (x) = 0,
to jest stała na przedziale (a, b).
Wniosek 9.2 Jeżeli funkcja f spełnia warunek
"x"(a,b) f (x) > 0,
to jest rosnÄ…ca na przedziale (a, b).
Wniosek 9.3 Jeżeli funkcja f spełnia warunek
"x"(a,b) f (x) < 0,
to jest malejÄ…ca na przedziale (a, b).
34
9.7 Reguła de L Hospitala
Twierdzenie 9.11 Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:
1. limxx f(x) = limxx g(x) = 0 lub limxx f(x) = limxx g(x) =
0 0 0 0
"
2. istnieje granica limxx f (x),
0
g (x)
to
f(x) f (x)
lim = lim
xx0 xx0
g(x) g (x)
9.8 Rozwinięcie Taylora funkcji
Twierdzenie 9.12 (wzór Taylora z resztą Lagrange a) Niech x0 " R
oraz niech funkcja f będzie określona dla pewnego otoczenia O(x0).
Jeżeli funkcja f ma w otoczeniu O(x0) n-tą pochodną, to dla każdego
x " O(x0) istnieje punkt c taki, że zachodzi równość
f (x0) f (x0)
f(x) = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2 + . . . +
1! 2!
f(n-1)(x0) fn(c)
+ (x - x0)n-1 + (x - x0)n,
(n - 1)! n!
gdzie c = x0 + ¸(x - x0), 0 < ¸ < 1.
9.9 Ekstrema funkcji
Definicja 9.10 Funkcja f ma w punkcie x0 " R minimum lokalne,
jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x0) takie, że
"x"S(x ) f(x) e" f(x0)
0
Definicja 9.11 Funkcja f ma w punkcie x0 " R maksimum lokalne,
jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x0) takie, że
"x"S(x ) f(x) d" f(x0)
0
35
Definicja 9.12 Funkcja f ma w punkcie x0 " R minimum lokalne
właściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x0) takie, że
"x"S(x ) f(x) > f(x0)
0
Definicja 9.13 Funkcja f ma w punkcie x0 " R maksimum lokalne
właściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x0) takie, że
"x"S(x ) f(x) < f(x0)
0
Definicja 9.14 Liczba m " R jest najmniejszą wartością funkcji na
zbiorze A ‚" Df, jeżeli
"x "A f(x0) = m oraz "x"A f(x) e" m
0
Definicja 9.15 Liczba M " R jest największą wartością funkcji na
zbiorze A ‚" Df, jeżeli
"x "A f(x0) = M oraz "x"A f(x) d" M
0
Twierdzenie 9.13 (Fermata) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. ma ekstremum lokalne w x0
2. istnieje f (x0)
to
f (x0) = 0
Twierdzenie 9.14 Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w
punktach, w których jej pochodna równa się zero albo w punktach, w
których jej pochodna nie istnieje.
Twierdzenie 9.15 Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f (x0) = 0
2. istnieje sÄ…siedztwo lewostronne S-(x0) i prawostronne S+(x0)
takie, że
36
"x"S (x0) f (x) > 0 oraz "x"S (x0) f (x) < 0
- +
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 9.16 Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f (x0) = 0
2. istnieje sÄ…siedztwo lewostronne S-(x0) i prawostronne S+(x0)
takie, że
"x"S (x0) f (x) < 0 oraz "x"S (x0) f (x) > 0
- +
to w punkcie x0 ma minimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 9.17 Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f (x0) = f (x0) = . . . = f(n-1)(x0) = 0
2. f(n)(x0) < 0
3. n jest liczbÄ… parzystÄ…, gdzie n e" 2
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 9.18 Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f (x0) = f (x0) = . . . = f(n-1)(x0) = 0
2. f(n)(x0) > 0
3. n jest liczbÄ… parzystÄ…, gdzie n e" 2
to w punkcie x0 ma minimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 9.19 Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f (x0) = f (x0) = . . . = f(n-1)(x0) = 0
2. f(n)(x0) = 0

3. n jest liczbÄ… nieparzystÄ…, gdzie n e" 3
to w punkcie x0 nie ma ekstremum lokalnego.
9.10 Punkty przegięcia funkcji
Definicja 9.16 Funkcja f jest wklęsła na przedziale (a, b), jeżeli dla
dowolnych x1, x, x2 spełniających nierówność a < x1 < x < x2 < b
37
zachodzi
f(x2) - f(x1)
f(x) e" f(x1) + (x - x1)
x2 - x1
Definicja 9.17 Funkcja f jest wypukła na przedziale (a, b), jeżeli
dla dowolnych x1, x, x2 spełniających nierówność a < x1 < x < x2 < b
zachodzi
f(x2) - f(x1)
f(x) d" f(x1) + (x - x1)
x2 - x1
Definicja 9.18 Funkcja f jest ściśle wklęsła na przedziale (a, b),
jeżeli dla dowolnych x1, x, x2 spełniających nierówność a < x1 < x <
x2 < b zachodzi
f(x2) - f(x1)
f(x) > f(x1) + (x - x1)
x2 - x1
Definicja 9.19 Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (a, b),
jeżeli dla dowolnych x1, x, x2 spełniających nierówność a < x1 < x <
x2 < b zachodzi
f(x2) - f(x1)
f(x) < f(x1) + (x - x1)
x2 - x1
Twierdzenie 9.20 Jeżeli funkcja f spełnia warunek
"x"(a,b) f (x) > 0,
to jest ściśle wypukła na przedziale (a, b).
Twierdzenie 9.21 Jeżeli funkcja f spełnia warunek
"x"(a,b) f (x) < 0,
to jest ściśle wklęsła na przedziale (a, b).
Definicja 9.20 Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia O(x0). Niech funkcja f ma pochodnÄ… na O(x0).
38
Punkt (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia funkcji f, jeżeli istnieje są-
siedztwo lewostronne S-(x0) i prawostronne S+(x0) takie, że f jest
ściśle wypukła na S-(x0) oraz ściśle wklęsła na S+(x0) albo odwrotnie.
Twierdzenie 9.22 Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia
2. istnieje f (x0)
to
f (x0) = 0
Twierdzenie 9.23 Funkcja może mieć punkty przegięcia tylko w
punktach, w których jej druga pochodna równa się zero albo w punk-
tach, w których ta pochodna nie istnieje.
Twierdzenie 9.24 Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f (x0) = 0
2. istniejÄ… sÄ…siedztwa lewostronne S-(x0) i prawostronne S+(x0)
takie, że
"x"S (x0) f (x) > 0 oraz "x"S (x0) f (x) < 0
- +
lub
"x"S (x0) f (x) < 0 oraz "x"S (x0) f (x) > 0
- +
to punkt (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia funkcji f.
Twierdzenie 9.25 Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f (x0) = f (x0) = . . . = f(n-1)(x0) = 0
2. f(n)(x0) = 0

3. n jest liczbÄ… nieparzystÄ…, gdzie n e" 3
to punkt (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia funkcji f.
Twierdzenie 9.26 Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
39
1. f (x0) = f (x0) = . . . = f(n-1)(x0) = 0
2. f(n)(x0) = 0

3. n jest liczbÄ… parzystÄ…, gdzie n e" 4
to punkt (x0, f(x0)) nie jest punktem przegięcia funkcji f.
9.11 Badanie przebiegu zmienności funkcji
1. Dziedzina funkcji.
2. Podstawowe własności funkcji:
- parzystość lub nieparzystość
- okresowość
- punkty przecięcia wykresu z osiami Ox i Oy
- ciągłość
3. Granice lub wartości funkcji na  końcach dziedziny.
4. Asymptoty funkcji.
5. Pierwsza pochodna funkcji:
- dziedzina pochodnej
- przedziały monotoniczności funkcji
- ekstrema funkcji
- granice lub wartości funkcji na  końcach dziedziny pochod-
nej
6. Druga pochodna funkcji:
- dziedzina drugiej pochodnej
- przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji
- punkty przegięcia
7. Tabelka.
8. Wykres funkcji.
40