1 lekcija 2 sem


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
1. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Primit%2łv funkcija, nenoteiktais integrlis, t %2łpaa%2łbas.
Substitkcijas metode. Parcil integraana.
1.1. Primit%2łv funkcija, nenoteiktais integrlis, t %2łpaa%2łbas
PieFemsim, ka dota kda funkcija F(x). `%2łs funkcijas atvasinjums
2
F (x) = f (x).
Defin%2łcija. Funkciju F(x) sauc par funkcijas f (x) primit%2łvo funkciju.
Apskat%2łsim da~us piemrus:
(x2)2 = 2x , (x2 + 3)2 = 2x , (x2 -10)2 = 2x .
Redzam, ka funkcijai 2x ir vairkas primit%2łvs funkcijas: x2 , x2 + 3 , x2 -10 . Visas a%2łs
funkcijas savstarpji ata7iras par konstanti. Ttad, zinot funkciju f (x), ts primit%2łvo
funkciju F(x) var noteikt ar precizitti l%2łdz konstantei un to ar%2ł sauc par nenoteikto
integrli.
Defin%2łcija. Par funkcijas f (x) nenoteikto integrli sauc a%2łs funkcijas primit%2łvs funkcijas
vispr%2łgo veidu.
Nenoteikto integrli apz%2łm ar simbolu f (x)dx . Funkciju f (x) sauc par zemintegr<a
+"
funkciju, izteiksmi f (x)dx - par zemintegr<a izteiksmi. Ttad
f (x)dx = F(x)+ C .
+"
Nenoteikt integr<a %2łpaa%2łbas:
1. Nenoteikt integr<a atvasinjums ir viends ar zemintegr<a funkciju; nenoteikt
integr<a diferencilis ir viends ar zemintegr<a izteiksmi:
(+" f (x)dx)2 = f (x); d(+" f (x)dx)= f (x)dx.
2. Nenoteiktais integrlis no kdas funkcijas diferenci<a (vai atvasinjuma) ir viends
ar a%2łs funkcijas un patva<%2łgas konstantes summu:
2
F (x)dx = F(x)+ C .
+"dF(x) = F(x)+ C; +"
1. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
3. Divu vai vairku funkciju summas (starp%2łbas) nenoteiktais integrlis ir viends ar ao
funkciju integr<u summu (starp%2łbu):
f1(x)dx ą f2(x)dx .
+"( f1(x)ą f2(x))dx =+" +"
4. Ja zemintegr<a funkcija ir kdas funkcijas un konstantes reizinjums, tad konstanti
var iznest pirms integr<a z%2łmes:
Af (x)dx = A f (x)dx , kur A  const.
+" +"
5. Ja f (x)dx = F(x)+ C , tad aizvietojot x ar kdu funkciju u, formula saglabjas:
+"
f (u)du = F(u)+ C .
+"
Pdjo %2łpaa%2łbu sauc par integr<a formas invarianci.
1.2. Integraanas pamatformulas
Zinot, ka (x2)2 = 2x , varam rakst%2łt, ka = x2 + C . L%2łdz%2łg veid, izmantojot
+"2xdx
atvasinaanas pamatformulas, ir iegktas integraanas pamatformulas. Ts ir adas:
xą +1
1) xą dx = + C , (ą " R, ą `" -1)
+"
ą +1
dx
2) = ln x + C
+"
x
x
a
x
3) dx = + C, (a " R, a > 0, a `" 1)
+"a ln a
x
4) dx = ex + C
+"e
5) xdx = - cos x + C
+"sin
6) xdx = sin x + C
+"cos
dx
7) = tg x + C
+"
cos2 x
dx
8) = -ctg x + C
+"
sin2 x
1. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
dx x
9) = arcsin + C, (a " R, a `" 0)
+"
a
a2 - x2
dx 1 x
10) = arctg + C
+"
a2 + x2 a a
dx
11) = ln x + x2 ą a2 + C
+"
x2 ą a2
dx 1 a + x
12) = ln + C
+"
a2 - x2 2a a - x
1 x
# ś#
13) a2 - x2 dx = x a2 - x2 + a2 arcsin + C
ś# ź#
+"
2 a
# #
1
#
14) x2 + a2 dx = x x2 + a2 + a2 ln x + x2 + a2 ś# + C
ś# ź#
+"
# #
2
15) xdx = ch x + C
+"sh
16) xdx = sh x + C
+"ch
dx
17) = th x + C
+"
ch2 x
dx
18) = -cth x + C .
+"
sh2 x
Da~us integr<us var apr7int, izmantojot tikai pamatformulas un zemintegr<a funkcijas
algebriskos prveidojumus.
Piemri:
2
2
#
3 3
3
1) - + 5 " x2 ś#dx = 4 x3dx - 2 x-3dx + 5 x dx =
ź#
+"ś#4x x3 +" +" +"
# #
5
3
x4 x-2 x 1
= 4 " - 2 " + 5 " + C = x4 + + 33 x5 + C .
5
4 - 2 x2
3
7 dx
# ś#dx
x
2) + dx =
+"ś#3sin x - + 6x ź# = 3+"sin xdx - 7+" +"6
cos2 x cos2 x
# #
6x
= 3cos x - 7tg x + + C .
ln 6
1. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
x2 - 6 (x2 + 6)-12 x2 + 6 12 dx
3) dx = dx = dx - dx = -12 =
+" +" +" +" +"dx +"
x2 + 6 x2 + 6 x2 + 6 x2 + 6 x2 + 6
12 x
= x - arctg + C .
6 6
2
cos2 x 1- sin x 1 sin2 x dx
2
4) xdx = dx = dx = dx - dx = -
+"ctg +" +" +" 2 +" +" 2 +"dx =
sin2 x sin2 x sin x sin2 x sin x
= -ctg x - x + C .
1.3. Funkciju integraana, izmantojot integr<a formas invarianci
Atcersimies, ko sauc par funkcijas diferencili. Funkcijas diferencilis ir viends
2
ar a%2łs funkcijas atvasinjuma un argumenta diferenci<a reizinjumu, t.i., dy = y " dx . T
2
k konstantes atvasinjums ir nulle, ((x + C)2 = x = 1), tad, Femot y = x + C , iegksim
d(x + C) = 1" dx .
Tdjdi, pieskaitot vai atFemot konstanti izteiksmei aiz diferenci<a simbola,
diferencilis nemains, t.i.,
dx = d(x + C).
Tagad Femsim funkciju y = kx , kur k ir konstante. (kx)2 = k , ttad,
d(kx) = kdx .
L%2łdz ar to iegksim, ka, piereizinot konstanti izteiksmei aiz diferenci<a simbola,
jpiereizina ar%2ł apgriezt konstante:
1
dx = d(kx).
k
Varam izpild%2łt abas darb%2łbas reiz, t.i., piereizint konstanti un pieskait%2łt
konstanti, tad
1
dx = d(ax + b).
a
Aiz diferenci<a simbola dr%2łkst ienest ne tikai konstanti, bet ar%2ł funkciju. Neaana
aiz diferenci<a ir darb%2łba, pretja diferencaanai, ttad t ir integraana:
f (x)dx = d(+" f (x)dx). Pamainot izteiksmi aiz diferenci<a simbola, izmanto nenoteikt
1. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
integr<a 5.%2łpaa%2łbu: ja f (x)dx = F(x)+ C , tad aizvietojot x ar kdu funkciju u, formula
+"
saglabjas: f (u)du = F(u)+ C .
+"
Piemri:
x
Ą# - 3 = u 16
ń#
(x - 3)
15 15
ó# u16 Ą#
1) - 3) dx = - 3) d(x - 3) = = + C ;
15
+"(x +"(x
16
ó#
+"u du = + CĄ#
Ł# 16 Ś#
8x = u
Ą# ń#
1 1
2) 8xdx = 8xd(8x) = = - cos8x + C ;
ó#
+"sin +"sin
8
ó# Ą#
+"sin udu = -cosu + CĄ# 8
Ł# Ś#
dx dx dx 1 d(2x +1)
3) = = = =
+" +" 2 +" 2 +" 2
4x2 + 4x + 2 2
(2x) + 2 " 2x "1+12 +1 (2x +1) +1 (2x +1) +1
2x +1 = u, a = 1
Ą# ń#
1 1 2x +1 1
ó# Ą#
= du u = " arctg + C = arctg(2x +1)+ C ;
= arctg + CĄ# 2 1
ó# 1 2
+" 2
Ł# a2 + u a Ś#
1 1 1
x2dx - - # ś# -
x3 1
2 2 2
ś# ź#
4) = x2 "(x3 + 5) dx = (x3 + 5) dś# ź# = (x3 + 5) d(x3 + 5)=
+" +" +" +"
3 3
x3 + 5 # #
1
2
1 (x3 + 5) 2
= + C = x3 + 5 + C .
1
3 3
2
1.3. Substitkcijas metode
Sare~#%2łtku integr<u atraaanai lieto metodi, ko sauc par substitkcijas metodi. Jau
metodes nosaukums rda, ka metod izmanto substitkciju, t.i., kdu izteiksmi, atkar%2łgu no
x, (visbie~k zemintegr<a funkcijas f(x) da<u) aizstj ar citu main%2łgo. Piemram, jnosaka
integrlis f (x)dx . Kdu izteiksmi, atkar%2łgu no x, apz%2łmsim ar t: g(x) = t . No a%2łs
+"
sakar%2łbas izteiksim x k funkciju no t, piemram x = (t), atrad%2łsim diferencili
2
dx =  (t)dt un, ievietojot a%2łs izteiksmes dotaj integrl%2ł, iegksim integrli no jaun
main%2łg:
2
f (x) dx = f ((t))" (t) dt .
+" +"
Ja substitkcija izvlta pareizi, iegktais integrlis ir vienkraks par iepriekajo. Pc t
nointegraanas ir jpriet uz skotnjo main%2łgo x.
1. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Piemri:
Ą#
x - 2 = tń#
ó# Ą#
2 2 4 2 4 2
1) x " x - 2dx = x = t + 2 = (t + 2)" t " 2tdt = (2t + 4t )dt = 2 dt + 4 dt =
ó# Ą#
+" +" +" +"t +"t
ó# Ą#
dx = 2tdt
Ł# Ś#
t5 t3 2 4
5 3
= 2 " + 4 " + C = (x - 2) + (x - 2) + C ;
5 3 5 3
dt
2
dt 1- t "
Ą# ń#
2
sin x = t dx =
cos xdx
1- t
ó# Ą#
2
2) = = =
1- t
+" +" 2
ó# Ą#
sin2 x + 6sin x t + 6t
2
ó#
Ł#x = arcsin t cos x = 1- sin2 x = 1- t Ą#
Ś#
dt dt dt d(t + 3) 1 3 + (t + 3)
= = = = - = - ln + C =
+" 2 +" 2 +" 2 +" 2
t + 6t (t + 2 " 3t + 9)- 9 2 " 3 3 - (t + 3)
(t + 3) - 9 32 - (t + 3)
1 6 + t 1 6 + sin x
= - ln + C = - ln + C .
6 t 6 sin x
1.4. Parcil integraana
Atcersimies divu funkciju atvasinaanas formulu:
2 2
(uv)2 = u v + uv .
Prrakst%2łsim to ar diferenci<iem:
d(uv) = vdu + udv
un izteiksim
udv = d(uv)- vdu .
Abas viend%2łbas puses nointegrsim:
+"udv = +"d(uv)- +"vdu .
Eemot vr, ka pc nenoteikto integr<u 2. %2łpaa%2łbas
+"d(uv) = uv , iegksim
+"udv = uv - +"vdu .
Pdjo formulu sauc par parcils integraanas formulu.
1. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Pielietojot parcils integraanas formulu integrlim f (x)dx , u un dv jizvlas
+"
t, lai izpild%2łtos adi nosac%2łjumi:
1) izteiksme udv bktu vienda ar zemintegr<a izteiksmi f (x)dx ;
2) dv bktu viegli integrjams, jo v = (nosakot funkciju v, dv primit%2łvajai
+"dv
funkcijai konstanti nepieskaita);
3) integrlis bktu vienkraks par doto integrli.
+"vdu
Parcilo integraanu parasti pielieto, integrjot ada veida funkcijas:
#
Pn(x)eąx
#
Pn(x)siną xŹ# , Femot u = Pn(x), kur Pn(x) ir polinoms;
Pn(x)cosą x#
#
#
xą ln x ln x
ż#
# #arcsin x .
xą arcsin xŹ# , kur ą "R , Femot atbilstoai u =
#
# #
xą arctg x arctg x
#
#
Piemri:
u = x du = dx
Ą# ń#
ó# Ą#
1) x sin 3xdx = 1 1 =
+"
ó#dv = sin 3xdx v = 3xdx = 3xd(3x) = - cos3xĄ#
+"sin +"sin
Ł# 3 3 Ś#
1 1 x 1 1 x 1
# #
= x " cos3xś# - cos3xś#dx = - cos3x + "
ś#-
ź# ź#
+"ś#- +"cos3xd(3x) = - cos3x + 9 sin 3x + C
3 3 3 3 3 3
# # # #
1
Ą# ń#
u = ln x du = dx
ó# Ą#
4
x
3
ó# 4 Ą#
3
3
2) x ln xdx = = ln x " x -
1 4
+" 3
ó# Ą#
x 3
4
3 3
3 3
dv = xdx v = xdx = x dx = = x
ó# Ą#
+" +"
4
4
ó# Ą#
Ł# 3 Ś#
4
4 1
3
3 1 3 3 3 3 x
3 3
3 3
- x " dx = x4 ln x - x dx = x4 ln x - " + C =
+" +"
4
4 x 4 4 4 4
3
3 9 3 3
ś#
3 3 3
= x4 ln x - x4 + C = x4 #ln x - ź#
+ C .
ś#
4 16 4 4
# #
1. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
15 lekcija 2 sem
7 lekcija 2 sem
16 lekcija 2 sem
2 lekcija 2 sem
10 lekcija 2 sem
3 lekcija 2 sem
11 lekcija 2 sem
4 lekcija 2 sem
9 lekcija 2 sem
14 lekcija 2 sem
8 lekcija 2 sem
8 lekcija 2 sem
13 lekcija 2 sem
6 lekcija 2 sem
5 lekcija 2 sem
mk wyklady transport sem 1

więcej podobnych podstron