R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
13. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Skait<u rinda, rindas parcilsumma. Skait<u rindas
konver#ences defin%2łcija, konver#ences nepiecieaam paz%2łme. Pozit%2łvu
skait<u rindu konver#ences pietiekams paz%2łmes.
13.1. Skait<u rinda, rindas parcilsumma.
Skait<u rindas konver#ences defin%2łcija
PieFemsim, ka dota bezgal%2łga skait<u virkne
a1, a2, a3, K, an , K (1)
Defin%2łcija. Par skait<u rindu sauc skait<u virknes (1) bezgal%2łgu summu:
"
= a1 + a2 + a3 +K + an + K (2)
"an
n=1
Skait<us a1, a2, a3,K sauc par rindas locek<iem, an par rindas vispr%2łgo locekli.
Visbie~k rindu uzdod, nodefinjot rindas vispr%2łgo locekli k funkciju no
2n -1
naturla skait<a n. Piemram, an = . Tad katram naturlam skaitlim n var apr7int
3n +1
2 "1-1 1 2 " 2 -1 3 2 " 3 -1 5
rindas locekli: a1 = = , a2 = = , a3 = = utt. Ttad
4 10 28
31 +1 32 +1 33 +1
"
2n -1 1 3 5 2n -1
= + + +K + + K
"
4 10 28
3n +1 3n +1
n=1
Sastd%2łsim skait<u rindas (2) pirmo n locek<u summas:
S1 = a1,
S2 = a1 + a2 ,
S3 = a1 + a2 + a3 ,
& & & & & & & & & ..
Sn = a1 + a2 + a3 + K+ an ,
& & & & & & & & & & & &
`%2łs summas sauc par skait<u rindas (2) parcilsummm. Parcilsummas veido bezgal%2łgu
skait<u virkni
13. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
S1, S2 , S3, K, Sn ,K (3)
No parcilsummu virknes izturaans ir atkar%2łga skait<u rindas (2) uzved%2łba.
Defin%2łcija. Ja parcilsummu virknei (3) eksist gal%2łga robe~a S, kad n " , t.i., eksist
S = lim Sn , tad rindu (2) sauc par konver#entu rindu, bet skaitli S par rindas summu
n "
un raksta
"
= S .
"an
n=1
`aj gad%2łjum saka, ka rinda konver# uz summu S.
Defin%2łcija. Ja lim Sn neeksist vai ar%2ł a%2ł robe~a ir bezgal%2łga, tad rindu (2) sauc par
n "
diver#entu rindu jeb saka, ka rinda diver#.
Diver#entai rindai summas nav.
K piemru apskat%2łsim #eometrisko rindu
"
n
"aq = a + aq + aq2 + K + aqn-1 +K, (4)
n=0
kuras locek<i ir bezgal%2łgas #eometrisks progresijas locek<i. `%2łs rindas parcilsumma ir
#eometrisks progresijas pirmo n locek<u summa:
a(1- qn).
Sn = a + aq + aq2 +...+aqn-1 =
1- q
Apr7insim robe~u no a%2łs parcilsummas, kad n " :
a(1- qn)
a a
S = lim Sn = lim = - lim qn .
n " n " n "
1- q 1- q 1- q
Aplkkosim atsevia7us gad%2łjumus, atkar%2łb no kvocienta q vrt%2łbas:
a
1) Ja q < 1, tad limqn = 0 ! S = .
n "
1- q
2) Ja q > 1, tad lim qn = " ! lim Sn = " ! rinda diver#.
n "
n "
"
3) Ja q = 1, iegkstam rindu a = a + a + a+...+a+...; tad Sn = an ; lim Sn = " !
"
n "
n=1
rinda diver#.
"
(- )n-1
4) Ja q = -1, iegkstam rindu - 1 a = a - a + a - a+...+ 1 a+...; atbilstoa
"( )n-1
n=1
parcilsummas virkne ir a, 0, a, 0,...; ts robe~a neeksist ! rinda diver#.
13. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Secinjums. "eometrisk rinda (4) konver# tad un tikai tad, ja q < 1, un aaj
a
gad%2łjum ts summa S = .
1- q
Atmetot rindas (2) pirmo locekli, iegksim jaunu skait<u rindu
"
= a2 + a3 + K + an + K
"an
n=2
`%2łs rindas parcilsummu
= a2 + a3 +K + an
n-1
un skotnjs rindas (2) parcilsummu Sn saista sakar%2łba
Sn = a1 + .
n-1
T k a1 ir gal%2łgs skaitlis, tad vai nu abm parcilsummm eksist gal%2łga robe~a, vai ar%2ł
gal%2łgas robe~as nav, t.i., vai nu abas rindas konver#, vai ar%2ł abas diver#. Tds
secinjums ir spk ar%2ł tad, ja atmetam pirmos k rindas locek<us. Tdjdi gal%2łgs skaits
pirmo rindas locek<u neietekm rindas konver#enci, t.i.,
" "
ja rinda konver#, tad konver# ar%2ł rinda ;
"an "an
n=1 n=k+1
" "
ja rinda diver#, tad diver# ar%2ł rinda .
"an "an
n=1 n=k+1
Defin%2łcija. Starp%2łbu starp konver#entas rindas summu S un parcilsummu Sn sauc par
rindas atlikumu un apz%2łm Rn, ttad
Rn = S - Sn = an+1 + an+2 + ... .
Konver#entai rindai
lim Rn = lim (S - Sn ) = S - lim Sn = S - S = 0 ,
n " n " n "
t.i., konver#entas rindas atlikuma robe~a, kad n " , ir vienda ar nulli.
13. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
13.2. Rindas konver#ences nepiecieaam paz%2łme. Harmonisk rinda
Noskaidrot rindas konver#enci pc defin%2łcijas bie~i vien nevar, tpc, lai noteiktu,
vai rinda konver#, vai diver#, izmanto konver#ences paz%2łmes. Vispirms aplkkosim
rindas konver#ences nepiecieaamo paz%2łmi.
PieFemsim, ka skait<u rinda
"
= a1 + a2 + a3 + K + an + K
"an
n=1
konver#. Tas noz%2łm, ka lim Sn = S . Aplkkosim parcilsummas
n "
Sn-1 = a1 + a2 + a3 + K + an-1 un Sn = a1 + a2 + a3 + K + an-1 + an .
To starp%2łba Sn - Sn-1 = an . Apr7insim robe~u no an, kad n " :
lim an = lim (Sn - Sn-1)= lim Sn - lim Sn-1 = S - S = 0.
n " n " n " n "
L%2łdz ar to esam pierd%2łjuai teormu.
Teorma (rindas konver#ences nepiecieaam paz%2łme).
"
Ja skait<u rinda konver#, tad ts vispr%2łg locek<a robe~a, kad n " , vienda ar
"an
n=1
nulli, t.i.,
lim an = 0.
n "
JFem vr, ka ais nosac%2łjums ir nepiecieaamais, bet nav pietiekams. Tdjdi, ja
nosac%2łjums neizpilds, t.i., ja lim an `" 0 , varam secint, ka rinda diver#, ta%0ńu, no t, ka
n "
nosac%2łjums izpilds, nevar secint, ka rinda konver#.
Piemrs: Izmantojot rindas konver#ences nepiecieaamo paz%2łmi, pierd%2łt, ka rinda
"
3n - 2
diver#.
"
7n +1
n=1
2
3 -
3n - 2 " 3
# ś#
n
Risinjums. lim an = lim = = lim = .
ś# ź#
1
n " n " 7n +1 " n " 7
# #
7 +
n
3
T k lim an = `" 0 , tad konver#ences nepiecieaamais nosac%2łjums neizpilds ! rinda
n " 7
diver#.
13. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Piemrs. Noteikt, vai harmonisk rinda
"
1 1 1 1 1
= 1+ + + +...+ +...
"
n 2 3 4 n
n=1
konver# vai diver#.
1
Risinjums. lim an = lim = 0 , ttad rindas konver#ences nepiecieaam paz%2łme ir
n " n " n
izpild%2łta. Ta%0ńu, k jau minjm ieprieka, tas vl nenoz%2łm, ka rinda konver#. Lai
noteiktu harmonisks rindas izturaans veidu, vispirms pierd%2łsim, ka
( )
"x > 0: x > ln 1+ x .
`im nolkkam sastd%2łsim funkciju
( ) ( )
f x = x - ln 1+ x .
Ts atvasinjums
1 x
( )
f 2 x = 1- = .
1+ x 1+ x
( ) ( ) ( )
Ja x > 0 ! f 2 x > 0 ! f x ir augoaa funkcija. T k f 0 = 0 un funkcija ir
( )
augoaa, tad f x > 0 , sekojoai
( )
x - ln 1+ x > 0 jeb x > ln(1+ x).
Sastd%2łsim harmonisks rindas parcilsummu un novrtsim to, izmantojot tikko
pierd%2łto neviend%2łbu:
1 1 1 1
1 1 1 1
ś# ś# ś# ś#
( )ś# ź# ś# ź# ś# ź#
Sn = 1+ + + +...+ > ln 1+ 1 + ln#1+ + ln#1+ + ln#1+ + ... + ln#1+ =
ś# ź#
2 3 4 n
2 3 4 n
# # # # # # # #
3 4 5 n + 1
# ś# # ś# # ś# # ś# 3 4 5 n +1
ś#
= ln2 + lnś# ź# + lnś# ź# + lnś# ź# +...+ lnś# ź# = ln#2 " " " "..." = ln(n +1).
ś# ź#
# # # #
2 # 3 # 4 # # n
2 3 4 n
# #
S = lim Sn e" lim (n +1) = " ! harmonisk rinda diver#.
n " n "
Ttad, neskatoties uz to, ka rindas konver#ences nepiecieaam paz%2łme izpild%2łta,
harmonisk rinda diver#. Varam secint, ka konver#ences noteikaanai nepietiek ar
nepiecieaamo nosac%2łjumu, vajadz%2łgi pietiekamie konver#ences nosac%2łjumi.
13. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
13.3. Pozit%2łvu skait<u rindu konver#ences pietiekams paz%2łmes
" "
1. Sal%2łdzinaanas paz%2łme. Ja rindu un vispr%2łgajiem locek<iem izpilds
"an "bn
n=1 n=1
neviend%2łba
"N "n e" N : 0 < an d" bn ,
tad ir spk adi apgalvojumi:
" "
1) ja rinda konver#, tad ar%2ł rinda konver#;
"bn "an
n=1 n=1
" "
2) ja rinda diver#, tad ar%2ł rinda diver#;
"an "bn
n=1 n=1
" "
an
3) ja lim = c, c `" 0, c `" " , tad rindas un uzvedas viendi: vai nu
"an "bn
n " bn
n=1 n=1
abas konver#, vai abas diver#.
Sal%2łdzinaanai parasti izmanto divu veidu rindas:
"
n
1) #eometrisko rindu
"aq , kura konver#, ja q < 1; diver#, ja q e" 1;
n=0
"
1
2) visprinto harmonisko rindu , kura konver#, ja p > 1; diver#, ja p d" 1.
"
p
n
n=1
"
1
Piemrs. Noskaidrot, kda ir rinda : konver#enta vai diver#enta.
"
5n + 3
n=1
n n
"
1 1 1
# ś#
Risinjums. T k < = un
ś# ź# ś# ź#
"# 1 ś# konver# k #eometrisk rinda ar
5
# #
5n + 3 5n 5 n=1# #
"
1 1
q = , (q < 1), tad pc sal%2łdzinaanas paz%2łmes seko, ka rinda konver#.
"
5
5n + 3
n=1
"
2n2 +1
Piemrs. Noskaidrot, kda ir rinda : konver#enta vai diver#enta.
"
3n3 + 5n - 6
n=1
" " "
n2 1
Risinjums. Sal%2łdzinsim ao rindu ar rindu = = (skait%2łtj un saucj
"bn " "
n3 n
n=1 n=1 n=1
atstjam tikai augstks n pakpes). Tad
13. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
1
2 +
ś#
an # 2n2 +1 1 (2n2 +1)n "
# ś#
n2 2
ś# ź#
lim = lim : = lim = = lim =
ś# ź#
ź#
5 6
n " n " n " " n " 3
bn ś# 3n3 + 5n - 6 n
3n3 + 5n - 6 # #
# #
3 + -
n2 n3
" "
2 2 2n2 +1 1
T k `" 0, `" " , tad rindas un uzvedas viendi, t.i. diver#.
" "
3 3 n
3n3 + 5n - 6
n=1 n=1
an+1
2. Dalambra paz%2łme. Apr7ina lim = . Tad
n " an
1) ja < 1, rinda konver#;
2) ja > 1, rinda diver#;
3) ja = 1, paz%2łme nedod atbildi, jizmanto cita paz%2łme.
Dalambra paz%2łmi parasti izmanto, ja rindas vispr%2łgais loceklis satur faktorilu vai kda
reizintja n-to pakpi.
"
(2n -1)!
Piemrs. Noskaidrot, kda ir rinda : konver#enta vai diver#enta.
"
4n+2
n=1
(2n -1)! (2(n +1)-1)! (2n +1)!
Risinjums. an = ; an+1 = = .
4n+2 4n+1+2 4n+3
an+1 (2n +1)! (2n -1)! (2n +1)!"4n+2
# ś#
lim = lim : = lim =
ś# ź#
n " an n " n "
# 4n+3 4n+2 # 4n+3 "(2n -1)!
1 (2n -1)!"(2n)(2n +1) 1
= lim = lim (2n)(2n +1) = " > 1,
4 n " (2n -1)! 3 n "
ttad rinda diver#.
n
3. Koa%2ł paz%2łme. Apr7ina lim an = . Tad
n "
1) ja < 1, rinda konver#;
2) ja > 1, rinda diver#;
3) ja = 1, paz%2łme nedod atbildi, jizmanto cita paz%2łme.
Koa%2ł paz%2łmi rti izmantot, ja vispr%2łgais loceklis ir pakpe, kuras kpintjs ir linera
funkcija no n.
4n-7
"
Piemrs. Noskaidrot, kda ir rinda
ś# ź#
"# n + 5 ś# : konver#enta vai diver#enta.
3n + 2
# #
n=1
13. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
7
4-
5
# ś# n
4n-7
4n-7 1+
ś# ź#
n + 5 n + 5 n
# ś# # ś#
n
n n ś# ź#
Risinjums. lim an = lim = lim = lim =
ś# ź# ś# ź#
2
n " n " 3n + 2 n " 3n + 2 n "
ś# ź#
# # # #
3 +
ś# ź#
# n #
4
1 1
# ś#
= = < 1, ttad rinda konver#.
ś# ź#
3 81
# #
( )
4. Integrl paz%2łme. Sastd%2łsim neprtrauktu funkciju f x t, lai
f (1) = a1, f (2) = a2, ..., f (n) = an , ....
" "
"
( ) ( )
Ja ne%2łstais integrlis f x dx konver#, tad ar%2ł rinda an konver#. Ja f x dx
"
+" +"
n=1
1 1
"
diver#, tad ar%2ł rinda an diver#.
"
n=1
"
1
Piemrs. Noskaidrot, kda ir rinda : konver#enta vai diver#enta.
"
n ln n
n=2
Risinjums. Sastd%2łsim atbilstoao ne%2łsto integrli un noteiksim, vai tas konver#, vai
diver#:
b
1
" b
1
dx (ln x)
2
= lim x)- d(ln x) = lim = 2 lim( lnb - ln 2)= " .
2
+" +"(ln
b " b " 0,5 b "
x ln x
2 2
2
T k ne%2łstais integrlis diver#, ar%2ł dot rinda diver#.
13. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
15 lekcija 2 sem7 lekcija 2 sem16 lekcija 2 sem2 lekcija 2 sem10 lekcija 2 sem3 lekcija 2 sem13 lekcija11 lekcija 2 sem4 lekcija 2 sem9 lekcija 2 sem14 lekcija 2 sem8 lekcija 2 sem8 lekcija 2 sem1 lekcija 2 sem6 lekcija 2 sem5 lekcija 2 semplan zajec zaoczne rok3 sem 6 letni 13harmonogram HIP sem III 13 14 MechatronikaUAS 13 zaowięcej podobnych podstron