13 lekcija

R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
13. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Argumenta un funkcijas pieaugums. Funkciju
neprtraukt%2łba. Funkciju prtraukuma punkti, to veidi. Neprtrauktu funkciju
%2łpaa%2łbas.
13.1. Argumenta un funkcijas pieaugums
PieFemsim, ka argumentam x vispirms ir vrt%2łba x0, bet pc tam vrt%2łba x1. Tad
starp%2łbu starp a%2łm vrt%2łbm x1 - x0 sauc par argumenta pieaugumu un apz%2łm ar simbolu
"x , ttad
"x = x1 - x0 .
Argumenta pieaugums var bkt gan pozit%2łvs, gan negat%2łvs, atkar%2łb no t, vai argumenta
vrt%2łba pieaug vai samazins. No argumenta pieauguma formulas seko
x1 = x0 + "x ,
t.i., jaun vrt%2łba ir vecs vrt%2łbas un pieauguma summa.
PieFemsim, ka dota funkcija y = f (x). Pie argumenta vrt%2łbas x = x0 funkcijas
vrt%2łba ir y0 = f (x0 ), pie x = x1 - y1 = f (x1). Starp%2łbu starp funkcijas vrt%2łbm
y1 - y0 = f (x1)- f (x0 ) sauc par funkcijas pieaugumu un apz%2łm ar simbolu "y . Ttad
"y = y1 - y0 = f (x1)- f (x0 ).
Argumenta skotnjo vrt%2łbu bie~i apz%2łm ar x. Tad x1 = x + "x un funkcijas
pieaugums
"y = f (x + "x)- f (x).
y
1. z%2łmjum grafiski pard%2łts argumenta un
funkcijas pieaugums.
y1
Piemrs. Atrast pieaugumu funkcijai y = x3
"y
vispr%2łg veid un gad%2łjum, kad argumenta
vrt%2łba mains no 1 l%2łdz 1,2.
y0
Dots funkcijas pieaugums vispr%2łg veid:
3 2 3
"y = (x + "x) - x3 = x3 + 3x2"x + 3x("x) + ("x) -
x0 x1 x
O
"x
2 3
- x3 = 3x2"x + 3x("x) + ("x) .
1. z%2łm.
13. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Ja arguments mains no 1 l%2łdz 1,2, tad argumenta skotnj vrt%2łba x = 1, argumenta
pieaugums "x = 1,2 -1 = 0,2 un funkcijas pieaugums
"y = 3�"12 �" 0,2 + 3�"1�" 0,22 + 0,23 = 0,6 + 0,12 + 0,008 = 0,728 .
x=1
Apr7inus var izdar%2łt ar%2ł adi:
"y = y(1,2)- y(1) = 1,23 -13 = 1,728 -1 = 0,728.
x=1
Ttad, ja pie vrt%2łbas x = 1 argumentu palielina par 0,2 vien%2łbm, tad funkcija y = x3
palielins par 0,728 vien%2łbm.
13.2. Funkciju neprtraukt%2łba
Defin%2łcija. Funkciju y = f (x) sauc par neprtrauktu punkt x0, ja bezgal%2łgi mazam
argumenta pieaugumam atbilst bezgal%2łgi mazs funkcijas pieaugums, t.i., ja
lim "y = 0 .
"x0
T k "x = x - x0 , tad no nosac%2łjuma "x 0 seko x - x0 0 jeb x x0 . Savukrt
funkcijas pieaugums "y = f (x)- f (x0 ) = f (x0 + "x)- f (x0 ). Izmantojot a%2łs sakar%2łbas
neprtraukt%2łbas defin%2łciju var prrakst%2łt adi:
lim( f (x)- f (x0 )) = 0 .
xx0
Pc 1. robe~u pamatteormas varam rakst%2łt lim f (x)- lim f (x0 ) = 0 . Savukrt
xx0 xx0
lim f (x0 ) = f (x0 ), tdjdi iegksim
xx0
lim f (x)- f (x0 ) = 0,
xx0
no kurienes seko otr funkcijas neprtraukt%2łbas defin%2łcija.
Defin%2łcija. Funkciju y = f (x) sauc par neprtrauktu punkt x0, ja ir spk viend%2łba
lim f (x) = f (x0 ).
xx0
No pdjs defin%2łcijas izriet 3 nosac%2łjumi, pie kuriem funkcija y = f (x) ir
neprtraukta punkt x0:
1) funkcija y = f (x) ir definta punkt x0 un t apkrtn (t.i. eksist f (x0 ));
2) funkcijai y = f (x) eksist robe~a, kad x x0 (t.i. eksist lim f (x));
xx0
3) a%2ł robe~a sakr%2łt ar funkcijas vrt%2łbu punkt x0 (t.i. lim f (x) = f (x0 )).
xx0
13. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Defin%2łcija. Funkciju y = f (x) sauc par neprtrauktu intervl (a; b), ja t ir
neprtraukta katr a%2ł intervla punkt.
13.3. Funkciju prtraukuma punkti, to veidi
Ja neizpilds vismaz viens no iepriekaj paragrf mintajiem funkcijas
neprtraukt%2łbas nosac%2łjumiem, tad funkcija ir prtraukta punkt x0 un adus punktus sauc
par funkcijas prtraukuma punktiem.
Defin%2łcija. Punktu x0 sauc par funkcijas y = f (x) prtraukuma punktu, ja izpilds
vismaz viens no adiem nosac%2łjumiem:
1) funkcija nav definta punkt x0;
2) funkcijai neeksist robe~a, kad x x0 ;
3) funkcijai eksist robe~a, kad x x0 , ta%0ńu t nav vienda ar funkcijas vrt%2łbu
punkt x0.
Aplkkosim mintos nosac%2łjumus grafiskos piemros.
y y y
f(x0)
lim f (x)
xx0
Ox0 x Ox0 x Ox0 x
2. z%2łm. 3. z%2łm. 4. z%2łm.
2. z%2łmjum attlot funkcija nav definta punkt x0; 3. z%2łmjum attlotajai funkcijai
neeksist robe~a, kad x x0 ; 4. z%2łmjum pard%2łtajai funkcijai eksist robe~a, kad
x x0 , bet lim f (x) `" f (x0 ). Vism trim attlotajm funkcijm punkts x0 ir
xx0
prtraukuma punkts.
Prtraukuma punktus iedala divs grups.
Defin%2łcija. Prtraukuma punktu x0 sauc par pirm veida prtraukuma punktu, ja aaj
punkt eksist abas vienpusjs robe~as un ts ir gal%2łgas. Ja vismaz viena no vienpusjm
robe~m, kad x x0 , neeksist vai ir bezgal%2łga, prtraukuma punktu x0 sauc par otr
veida prtraukuma punktu.
Pirm veida prtraukuma punktiem var apr7int funkcijas lcienu
� = lim f (x)- lim f (x) ,
xx0 +0 xx0 -0
kas nosaka, kda ir funkcijas izmaiFa, ejot caur prtraukuma punktu.
13. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Ja lciens � = 0 , t.i., ja abas vienpusjs robe~as ir viendas: lim f (x) = lim f (x), tad
xx0 +0 xx0 -0
pirm veida prtraukuma punktu sauc par novraamu. Piemram, 2., 3. un 4. z%2łmjum
attlotajm funkcijm x0 ir pirm veida prtraukuma punkts, pie tam 2. un 4. z%2łmjum
attlotajm funkcijm tas ir novraams prtraukuma punkts. Aplkkosim vl da~us
piemrus.
Piemri:
5
1. Noskaidrot prtraukuma punkta veidu funkcijai y = . Uzz%2łmt funkcijas
2
(x +1)
grafiku.
Dot funkcija nav definta punkt x0 = -1, ttad tas ir funkcijas prtraukuma punkts. Lai
noteiktu t veidu, apr7insim vienpus%2łgs robe~as, kad x -1:
5 5 5 5 5 5
lim = = = +" ; lim = = = +" .
2 2 2 2
x-1+0 x-1-0
+ 0 + 0
(x +1) (+ 0) (x +1) (- 0)
T k abas vienpusjs robe~as ir bezgal%2łgas, punkts x0 = -1 ir dots funkcijas otr veida
prtraukuma punkts. Lai uzskictu funkcijas grafiku, noteiksim funkcijas izturaanos, kad
x ą" :
5 5 5 5
lim = = 0 ; lim = = 0 .
2 2
x+" x-"
+ " + "
(x +1) (x +1)
Funkcijas grafiks pard%2łts 5. z%2łmjum.
y
14
12
10
8
6
4
2
x
-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
5. z%2łm.
13. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
sin x
2. Noskaidrot prtraukuma punkta veidu funkcijai y = . Uzz%2łmt funkcijas grafiku.
x
Dots funkcijas prtraukuma punkts ir x0 = 0 , jo funkcija aaj punkt nav definta.
Apr7insim vienpusjs robe~as, kad x 0 :
sin x sin x
lim = 1; lim = 1 (pc pirms ievrojams robe~as).
x+0 x-0
x x
T k abas vienpusjs robe~as ir gal%2łgas un viendas, tas ir novraams pirm veida
prtraukuma punkts.
sin x sin x
lim = 0 , lim = 0 k ierobe~otas un bezgal%2łgi lielas funkcijas dal%2łjums.
x+" x-"
x x
Funkcijas grafiks attlots 6. z%2łmjum.
y
1
0.5
x
-6 -4 -2 2 4 6
-0.5
-1
6. z%2łm.
2
ż#
(x +1) , ja x "(- "; 1).
3. Noskaidrot prtraukuma punkta veidu funkcijai y =
�#
3 - x, ja x "[1; + ")
�#
Uzz%2łmt funkcijas grafiku.
`oreiz main%2łsim uzdevuma risinaanas sec%2łbu un vispirms uzz%2łmsim funkcijas grafiku
(7. z%2łmjums). No z%2łmjuma redzams, ka funkcija ir prtraukta punkt x = 1.
Apr7insim vienpus%2łgs robe~as, kad x 1:
y
lim y = lim(3 - x)= 3-1 = 2 ;
x1+0 x1
3
2 2
lim y = lim(x +1) = (1+1) = 4 .
x1-0 x1
2
T k abas vienpusjs robe~as ir gal%2łgas, tas ir pirm
veida prtraukuma punkts.
Robe~as, kad x ą" , aoreiz nav vajadz%2łgas,
O 1 x
jo iepriekajos uzdevumos ts ms izmantojm grafika
z%2łmaanai, bet aaj uzdevum grafiks jau uzz%2łmts.
7. z%2łm.
13. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
13.4. Neprtrauktu funkciju %2łpaa%2łbas
Apskat%2łsim da~as neprtrauktu funkciju %2łpaa%2łbas, ierobe~ojoties ar formuljumiem
bez pierd%2łjumiem.
1. %2łpaa%2łba. Ja funkcija y = f (x) ir neprtraukta slgt intervl, tad t aai intervl
vismaz reizi sasniedz savu lielko un savu mazko vrt%2łbu.
Secinjums. Slgt intervl neprtraukta funkcija ir ierobe~ota aaj intervl.
Secinjums izsaka to, ka slgt intervl neprtrauktai funkcijai var atrast tdu pozit%2łvu
skaitli M, kuru pc absolkts vrt%2łbas neprsniedz neviena funkcijas vrt%2łba dotaj
intervl.
2. %2łpaa%2łba. Slgt intervl neprtraukta funkcija vismaz reizi sasniedz jebkuru vrt%2łbu,
kas ieslgta starp vrt%2łbm intervla galapunktos.
Secinjums. Ja slgt intervl neprtrauktai funkcijai intervla galapunktos vrt%2łbas ir
ar da~dm z%2łmm, tad vismaz vien a%2ł intervla punkt funkcijas vrt%2łba ir vienda ar
nulli.
3. %2łpaa%2łba. Izpildot aritmtiskas darb%2łbas ar neprtrauktm funkcijm, iegkst
neprtrauktu funkciju. Sekojoai:
1) punkt x0 neprtrauktu funkciju summa ir aai punkt neprtraukta funkcija, ja
vien saskaitmo skaits ir gal%2łgs;
2) punkt x0 neprtrauktu funkciju reizinjums ir aai punkt neprtraukta
funkcija, ja vien reizintju skaits ir gal%2łgs;
3) divu punkt x0 neprtrauktu funkciju dal%2łjums ir aai punkt neprtraukta
funkcija, ja vien dal%2łtjs aai punkt nav viends ar nulli;
4) pieFemsim, ka dota salikta funkcija y = f (u), kur u = g(x), un g(x0 ) = u0 . Ja
funkcija g(x) ir neprtraukta punkt x0, bet funkcija f (u) ir neprtraukta
punkt u0, tad salikt funkcija f (g(x)) ir neprtraukta punkt x0.
4. %2łpaa%2łba. Visas elementrs funkcijas ir neprtrauktas savos defin%2łcijas apgabalos.
No pdjs %2łpaa%2łbas seko, ka, lai apr7intu robe~as elementrajm funkcijm,
argumenta viet jievieto t robe~vrt%2łba un jizr7ina funkcijas vrt%2łba.
13. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
13 lekcija 2 sem
UAS 13 zao
er4p2 5 13
Budownictwo Ogolne II zaoczne wyklad 13 ppoz
ch04 (13)
model ekonometryczny zatrudnienie (13 stron)
Logistyka (13 stron)
Stereochemia 13
kol zal sem2 EiT 13 2014

więcej podobnych podstron