6 lekcija 2 sem


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
6. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Noteikt integr<a lietojumi fizik. Jdziens par
ne%2łstajiem integr<iem. Noteikt integr<a visprinjums.
6.1. Noteikt integr<a lietojumi fizik
1) Darba apr7inaana.
PieFemsim, ka main%2łga spka iedarb%2łb 7ermenis prvietojas pa Ox ass nogriezni [a,b],
pie tam spka projekcija uz Ox asi ir funkcija F(x). Tad a%2ł spka veiktais darbs ir
b
A = F(x)dx .
+"
a
2) Taisnvirziena kust%2łb noiet ce<a apr7inaana.
PieFemsim, ka 7ermenis kustas taisnvirziena kust%2łb ar trumu, kura mains atkar%2łb no
laika pc likuma v = v(t). Tad 7ermeFa noieto ce<u laika intervl [ą, ] var apr7int
pc formulas

s =
+"v(t)dt .
ą
3) Materilas l%2łnijas masa.
Par materilu punktu sauc #eometrisku punktu, kur koncentrta zinma masa. Par
materilu l%2łniju sauc #eometrisku l%2łniju, kuras jebkuram lokam ir noteikta masa.
PieFemsim, ka l%2łnijas viendojums ir y = f (x), ts projekcija uz Ox ass ir intervls [a,b]
un materilas l%2łnijas linerais bl%2łvums ir (x), tad l%2łnijas masu var apr7int pc
formulas
b
2 2
m = (x) 1+ y dx .
+"
a
4) Materilas l%2łnijas statiskie momenti.
Par materila punkta statisko momentu attiec%2łb pret dotu taisni sauc masas reizinjumu
ar punkta attlumu l%2łdz taisnei. Piemram, ja plaknes punkt P0(x0 , y0 ) ir koncentrta
masa m0, tad a%2ł punkta statiskais moments attiec%2łb pret Ox asi ir m0 y0 , attiec%2łb pret Oy
asi - m0 x0 . Ja ir doti n materili punkti Pi(xi , yi ), kuru masa ir attiec%2łgi mi (1 d" i d" n), tad
n
ao punktu sistmas statiskais moments pret Ox asi ir M = yi , pret Oy asi -
x "mi
i=1
6. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
n
M = xi . Ja l%2łnijas viendojums ir y = f (x), ts projekcija uz Ox ass ir intervls
y "mi
i=1
[a,b] un materilas l%2łnijas linerais bl%2łvums ir (x), tad l%2łnijas statiskos momentus
attiec%2łb pret koordintu as%2łm apr7ina pc formulm
b b
2 2 2 2
Sx = (x)y 1+ y dx , S = (x)x 1+ y dx .
y
+" +"
a a
5) Materilas l%2łnijas masas centra koordintas.
Par materilu punktu sistmas masas centru sauc tdu punktu C(xC , yC ), kur
n
koncentrjot visu punktu kop%2łgo masu m = , statiskie momenti ir tdi paai k
"mi
i=1
dotajai punktu sistmai, t.i. myC = M un mxC = M .
x y
Masas centra koordintas materilai l%2łnijai, kurai ir neprtrauktas un
diferencjamas funkcijas y = f (x) grafika forma intervl [a,b] un kuras linerais
bl%2łvums ir (x) , ir
b b
2 2 2 2
(x)x 1+ y dx (x)y 1+ y dx
+" +"
S
Sx a
y
a
xC = = , yC = = .
b b
m m
2 2 2 2
(x) 1+ y dx x 1+ y dx
+" +"
a a
6) Materilas l%2łnijas inerces momenti.
Par materila punkta inerces momentu attiec%2łb pret dotu taisni sauc masas reizinjumu
ar punkta attluma kvadrtu l%2łdz taisnei. Piemram, ja plaknes punkt P0(x0 , y0 ) ir
2
koncentrta masa m0, tad a%2ł punkta inerces moments attiec%2łb pret Ox asi ir m0 y0 ,
2
attiec%2łb pret Oy asi - m0 x0 . Ja ir doti n materili punkti Pi(xi , yi ), kuru masa ir attiec%2łgi
n
mi (1 d" i d" n), tad ao punktu sistmas inerces moments pret Ox asi ir I = yi2 , pret
x "mi
i=1
n
Oy asi - I = xi2 .
y "mi
i=1
Inerces momenti materilai l%2łnijai, ja tai ir neprtrauktas un diferencjamas
funkcijas y = f (x) grafika forma intervl [a,b] un l%2łnijas linerais bl%2łvums ir (x), ir
apr7inmi pc formulm
b b
2 2 2 2
I = (x)y2 1+ y dx , I = (x)x2 1+ y dx .
x y
+" +"
a a
6. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
7) Homognas plaknes figkras statiskie momenti.
PieFemsim, ka Oxy plakn dota l%2łkl%2łnijas trapece, kuru ierobe~o l%2łknes y = f (x) loks, Ox
ass intervls [a,b] un taisnes x = a un x = b . PieFemsim ar%2ł, ka a%2ł figkra ir materila ar
konstantu bl%2łvumu . Tad mints figkras statiskos momentus attiec%2łb pret koordintu
as%2łm var apr7int pc formulm
b b
1
Sx =  y2dx , S =  xydx .
y
+" +"
2
a a
8) Homognas plaknes figkras masas centra koordintas.
Ja Oxy plakn dota l%2łkl%2łnijas trapece, kuru ierobe~o l%2łknes y = f (x) loks, Ox ass intervls
[a,b] un taisnes x = a un x = b , un a%2ł figkra ir materila ar konstantu bl%2łvumu , tad ts
masas centra koordintas ir
b b
xydx y2dx
+" +"
S
Sx a
y
a
xC = = , yC = = .
b b
m m
ydx 2 ydx
+" +"
a a
9) Homognas plaknes figkras inerces momenti.
PieFemsim, ka Oxy plakn dota l%2łkl%2łnijas trapece, kuru ierobe~o l%2łknes y = f (x) loks, Ox
ass intervls [a,b] un taisnes x = a un x = b , un ka a%2ł figkra ir materila ar konstantu
bl%2łvumu . Tad mints figkras inerces momentus attiec%2łb pret koordintu as%2łm var
apr7int pc formulm
b b
1
I =  y2 y dx , I =  x2 y dx .
x y
+" +"
3
a a
10) `7idruma hidrostatiskais spiediens.
Apskat%2łsim a7idrum vertikli iegremdtu figkru. PieFemsim, ka figkras kontkru nosaka
viendojumi y = y1(x) un y = y2(x), x "[a,b]. Tad a7idruma spiediens uz ao figkru ir
apr7inms pc formulas
b
p = g x(y2 - y1)dx ,
+"
a
kur g ir br%2łvs kriaanas patrinjums,  - a7idruma bl%2łvums.
6. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
6.2. Jdziens par ne%2łstajiem integr<iem
Atcersimies noteikt integr<a defin%2łciju. Ja funkcija y = f (x) ir neprtraukta vai
gabaliem neprtraukta (t.i., tai ir gal%2łgs skaits pirm veida prtraukuma punktu) intervl
[a; b], kur a un b ir gal%2łgi skait<i, tad noteiktais integrlis
b
n
f (x)dx = lim f (ti )"xi ,
"
+"
"x0
i=1
a
kur a = x0 < x1 < x2 < K < xn = b , ti "[xi-1, xi ], "xi = xi - xi-1 , "x = max "xi .
1d"id"n
Ja a vai b ir bezgal%2łgi lieli, tad intervls [a; b] ir bezgal%2łgs un to nevar sadal%2łt n
gal%2łgos intervlos, l%2łdz ar to noteikt integr<a defin%2łcijai nav jgas. Savukrt gad%2łjum,
kad zemintegr<a funkcijai ir bezgal%2łgs prtraukums, aaj punkt nevar apr7int
funkcijas vrt%2łbu f (ti ), ttad ar%2ł noteikt integr<a defin%2łcijai nav jgas. Ta%0ńu mintajos
gad%2łjumos noteikt integr<a defin%2łciju var visprint, iegkstot t saucamos ne%2łstos
integr<us. Atkar%2łb no t, kura no noteikt integr<a nosac%2łjumiem nav izpild%2łts, ne%2łstos
integr<us sadala pirm, otr un trea veida ne%2łstajos integr<os.
b
Defin%2łcija. Par pirm veida ne%2łstajiem integr<iem sauc integr<us f (x)dx , kuriem
+"
a
zemintegr<a funkcija ir neprtraukta vai gabaliem neprtraukta intervl [a; b], bet
a = -" vai b = +" .
b
Defin%2łcija. Par otr veida ne%2łstajiem integr<iem sauc integr<us f (x)dx , kuriem a un b
+"
a
ir gal%2łgi skait<i, bet zemintegr<a funkcijai ir bezgal%2łgs prtraukums intervl [a; b].
b
Defin%2łcija. Par trea veida ne%2łstajiem integr<iem sauc integr<us f (x)dx , kuriem
+"
a
a = -" vai b = +" un zemintegr<a funkcijai ir bezgal%2łgs prtraukums intervl [a; b].
b b
dx dx
Aplkkosim 2 noteiktos integr<us: I1 = un I2 = ( b > 1). "eometriski
+" +"
x
x2
1 1
1
pirmais integrlis ir viends ar laukumu plaknes figkrai, kuru ierobe~o l%2łnijas y =
x2
(sarkan l%2łnija 1. z%2łm.), y = 0 , x = 1, x = b ; otrais integrlis - ar laukumu plaknes figkrai,
1
kuru ierobe~o l%2łnijas y = (zil l%2łnija 1. z%2łm.), y = 0 , x = 1, x = b .
x
6. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
y
4
3
2
1
x
1
2 4 6 8 10
1. z%2łm.
Apr7insim ao integr<u vrt%2łbas:
b
b b b b
dx x-1 1 1 dx
b
I1 = = x-2dx = = - = - +1; I2 = = ln x = ln b - ln1 = ln b .
+" +" +"
1
-1 x b x
x2
1
1 1 1
1
PieFemsim, ka b " , un apr7insim robe~as no I1 un I2:
1
#
lim I1 = lim +1ś# = 1; lim I2 = lim ln b = +" .
ś#- ź#
b" b" b b" b"
# #
1
Gad%2łjum, ja b " , abas figkras ir neierobe~otas un l%2łdz%2łgas. Ta%0ńu, t k l%2łnija y =
x2
1
trk tuvojas Ox asij nek l%2łnija y = , rezultti ir piln%2łgi ata7ir%2łgi: pirmaj gad%2łjum
x
"
dx
figkras laukums ir viends ar 1, bet otraj  tas ir bezgal%2łgs. Atbilstoaie integr<i un
+"
x2
1
"
dx
ir ne%2łstie integr<i. Pirm integr<a vrt%2łba ir gal%2łgs skaitlis, otr integr<a vrt%2łba ir
+"
x
1
bezgal%2łba. Par pirmo integrli saka, ka tas konver#, par otro  ka tas diver#.
Defin%2łcija. Ja ne%2łstajam integrlim eksist gal%2łga vrt%2łba, tad saka, ka tas konver#.
Pretj gad%2łjum saka, ka tas diver#.
Ne%2łst integr<a konver#ences un diver#ences jdzieni ir <oti svar%2łgi, jo ne%2łsto
integrli apr7inos dr%2łkst izmantot tikai tad, ja tas konver#. Pretj gad%2łjum, t.i., ja
ne%2łstais integrlis diver#, pielietojot to apr7inos, apr7ini nebks pareizi.
6. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
6.3. Pirm veida ne%2łst integr<a apr7inaana
b
Pirm veida ne%2łstajiem integr<iem f (x)dx iespjami 3 gad%2łjumi:
+"
a
1) Ne%2łstajam integrlim ir bezgal%2łga augaj robe~a, t.i., a ir gal%2łgs skaitlis, b = +" ;
2) Ne%2łstajam integrlim ir bezgal%2łga apakaj robe~a, t.i., a = -" , b ir gal%2łgs
skaitlis;
3) Ne%2łstajam integrlim abas robe~as ir bezgal%2łgas, t.i., a = -" un b = +" .
Aplkkosim katru gad%2łjumu atsevia7i.
+"
1) Ne%2łstajam integrlim ir bezgal%2łga augaj robe~a, t.i., japr7ina integrlis f (x)dx
+"
a
b
(a ir gal%2łgs skaitlis). Tad japr7ina noteiktais integrlis f (x)dx un jFem robe~a,
+"
a
kad b " :
+" b
f (x)dx = lim f (x)dx .
+" +"
b+"
a a
b
2) Ne%2łstajam integrlim ir bezgal%2łga apakaj robe~a, t.i., japr7ina integrlis f (x)dx
+"
-"
b
(b ir gal%2łgs skaitlis). Tad japr7ina noteiktais integrlis f (x)dx un jFem robe~a,
+"
a
kad a -" :
b b
f (x)dx = lim f (x)dx .
+" +"
a-"
-" a
+"
3) Ne%2łstajam integrlim abas robe~as ir bezgal%2łgas, t.i., japr7ina integrlis f (x)dx .
+"
-"
Tad ao integrli sadala divu integr<u summ
+" c +"
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx ,
+" +" +"
-" -" c
kur c ir jebkura rels skaitlis. Pirmo no aiem integr<iem apr7ina k 2. gad%2łjum, otro
+"
 k 1. gad%2łjum. Integrlis f (x)dx konver#, ja konver# abi saskaitmie.
+"
-"
6. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
+"
x2 +1
Piemrs. Noteikt, vai ne%2łstais integrlis dx konver# vai diver#. Ja konver#,
+"
x
1
apr7int t vrt%2łbu.
3 1
+" b b
# ś#
-
x2 +1 x2 +1
ź#dx
2 2
Risinjums. dx = lim dx = lim x + x =
+" +" +"ś#
ś# ź#
b+" b+"
x x
1 1 1
# #
b
5 1
# ś#
b
ś# ź#
2 2
x x 2 2 2
# ś# #
ś# ź#
= lim + = lim x2 " x + 2 x = lim b2 " b + 2 b - - 2ś# = +" .
ś# ź# ś# ź#
5 1
b+" b+" 5 b+" 5 5
ś# ź#
# # # #
1
ś# ź#
# 2 2 #
1
T k iegkt vrt%2łba ir bezgal%2łga, dotais integrlis diver#.
+"
dx
Piemrs. Noteikt, vai ne%2łstais integrlis konver# vai diver#. Ja
+"
x2 - 2x +10
-"
konver#, apr7int t vrt%2łbu.
Risinjums. T k dotajam integrlim abas integraanas robe~as ir bezgal%2łgas, integrli
sadal%2łsim divu integr<u summ:
+" 0 +"
dx dx dx
= + .
+" +" +"
x2 - 2x +10 x2 - 2x +10 x2 - 2x +10
-" -" 0
Katru integrli apr7insim atsevia7i:
0 0 0 0
dx dx d(x -1) 1 x -1
= lim = lim = lim arctg =
+" +" +"
a-" a-" a-" 3 3
x2 - 2x +10 x2 - 2x +10 (x -1)2 + 9
a
-" a a
1 0 a -1 1 # 1 Ą ś# 1 Ą 1
#arctg -1
ś# # ś#ź# = # ś#
= lim - arctg = ś#- arctg - ś#- ź#ź# ś# - arctg ,
ś# ź# ź#
ś#
3 a-" 3 3 3 3 2 3 2 3
# # # # # #
# #
ttad pirmais integrlis konver#. Apr7insim otro integrli:
+" b b
dx dx 1 x -1
= lim = lim arctg =
+" +"
b+" b+" 3 3
x2 - 2x +10 x2 - 2x +10
0
0 0
1 b 0 -1 1 Ą 1
#arctg -1
ś# # ś#
= lim - arctg = + arctg ,
ś# ź# ś# ź#
3 b+" 3 3 3 2 3
# # # #
6. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
ttad ar%2ł otrais integrlis konver#, l%2łdz ar to ar%2ł dotais integrlis konver# un t vrt%2łba ir
+"
dx 1 Ą 1 1 Ą 1 Ą
# ś# # ś#
= - arctg + + arctg = .
ś# ź# ś# ź#
+"
3 2 3 3 2 3 3
x2 - 2x +10 # # # #
-"
6.4. Otr veida ne%2łst integr<a apr7inaana
b
Otr veida ne%2łstajiem integr<iem f (x)dx ar%2ł iespjami 3 gad%2łjumi:
+"
a
1) funkcijai ir bezgal%2łgs prtraukums integraanas intervla galapunkt b;
2) funkcijai ir bezgal%2łgs prtraukums integraanas intervla skumpunkt a;
3) funkcijai ir bezgal%2łgs prtraukums integraanas intervla iekaj punkt c.
Aplkkosim katru gad%2łjumu atsevia7i:
1) Funkcijai ir bezgal%2łgs prtraukums integraanas intervla galapunkt b (2. z%2łm.). Tad
figkra, kuru ierobe~o l%2łnijas y = f (x), y = 0 ,
y
x = a , x = b , ir neierobe~ota. Lai to ierobe~otu,
no punkta b uz Ox ass pakpsimies pa kreisi par
attlumu . Caur ao punktu novilksim Oy asij
parallu taisni x = b -  . Iegksim ierobe~otu
plaknes figkru, kuras laukums ir viends ar
b-
f (x)dx . Eemot robe~u no a%2ł integr<a, kad 
+"
a
tiecas uz nulli, iegksim ne%2łst integr<a vrt%2łbu
(k ar%2ł neierobe~ots figkras laukumu):
O a  b x
2. z%2łm.
b b-
f (x)dx = lim f (x)dx .
+" +"
 0
a a
y
2) Funkcijai ir bezgal%2łgs prtraukums
integraanas intervla skumpunkt a (3. z%2łm.).
Ar%2ł aaj gad%2łjum figkra, kuru ierobe~o l%2łnijas
y = f (x), y = 0 , x = a , x = b , ir neierobe~ota.
Lai to ierobe~otu, no punkta a uz Ox ass
pakpsimies pa labi par attlumu  un caur ao
punktu novilksim Oy asij parallu taisni
x = a +  . Iegksim ierobe~otu plaknes figkru,
b
O a b x ts laukums ir viends ar f (x)dx . Ne%2łst
 +"
a+
3. z%2łm.
6. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
integr<a vrt%2łbu (k ar%2ł neierobe~ots figkras laukumu) iegksim, apr7inot robe~u no a%2ł
integr<a, kad  tiecas uz nulli:
b b
f (x)dx = lim f (x)dx .
+" +"
 0
a a+
3) Funkcijai ir bezgal%2łgs prtraukums integraanas intervla iekaj punkt c (4. z%2łm.).
Tad ne%2łsto integrli sadala divu integr<u
summ
y
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx ,
+" +" +"
a a c
kur pirmo no aiem integr<iem apr7ina k
1. gad%2łjum, otro  k 2. gad%2łjum. Integrlis
b
f (x)dx konver#, ja konver# abi
+"
a
O a c b x
saskaitmie.
4. z%2łm.
Piemrs. Noteikt, vai ne%2łstais integrlis
3
x2 + 4
dx konver# vai diver#. Ja konver#,
+"
x2 - 4
2
apr7int t vrt%2łbu.
Risinjums. Zemintegr<a funkcijai ir bezgal%2łgs prtraukums, ja x2 - 4 = 0 , t.i., ja
x = ą2 . Punkts x = -2 neietilpst integraanas apgabal, bet punkts x = 2 ir integr<a
apakaj robe~a (2. gad%2łjums). Ttad
3 3 3 3 3
# ś#
x2 + 4 x2 + 4 x2 - 4 + 8 dx
ś# ź#
dx = lim dx = lim dx = lim + 8 =
+" +" +" +"dx +"
ś# ź#
 0  0  0
x2 - 4 x2 - 4 x2 - 4 x2 - 4
2 2+ 2+ # 2+ 2+ #
3
# ś#
1 2 + x # 2 + 3 2 + 2 +  ś#
3
ź#
= limś# x - 8 " ln = limś#3 - 2 -  - 2ln + 2ln ź# =
ś# ź#
2+
ś# ź#
 0 4 2 - x  0 2 - 3 2 - 2 - 
# #
2+
# #
# 4 +  ś# 4 + 
= limś#1-  - 2ln 5 + 2ln ź# = +" , jo lim = +" un lim ln t = +" .
ś# ź#
 0 -   0 -  t+"
# #
T k iegkt vrt%2łba ir bezgal%2łga, dotais integrlis diver#.
6. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
4
dx
Piemrs. Noteikt, vai ne%2łstais integrlis konver# vai diver#. Ja konver#,
+"
3
2x - 4
0
apr7int t vrt%2łbu.
3
Risinjums. Zemintegr<a funkcijai ir bezgal%2łgs prtraukums, ja 2x - 4 = 0 , t.i., ja
x = 2 . `is punkts ir integraanas intervla iekajs punkts (3. gad%2łjums), l%2łdz ar to dotais
integrlis jsadala divu integr<u summ:
4 2 4
dx dx dx
= + .
+" +" +"
3 3 3
2x - 4 2x - 4 2x - 4
0 0 2
Apr7insim pirmo no aiem integr<iem:
2-
2
2 2- 2-
1
dx dx 1 1 (2x - 4)=
3
= lim = lim (2x - 4)- d(2x - 4) = lim
3
+" +" +"
3 3
2
 0 2  0 2  0
2x - 4 2x - 4
0 0 0
3
0
2-
3 3 3
2
3 3 ś#
= lim3 (2x - 4)2 = lim#3 (2(2 -  )- 4)2 - (2 " 0 - 4)2 ś# = lim#3 4 - 16 =
ś# ź# ś# ź#
4  0 4  0# # 4  0# #
0
3 3 33 2
3
= "(- 16)= - " 23 2 = - .
4 4 2
T k pirmais integrlis konver#, apr7insim otro:
4 4
4
dx dx 3 3
3 # 3
= lim = lim (2x - 4)2 = lim (2 " 4 - 4)2 - (2(2 +  )- 4)2 ś# =
ś#3 ź#
+" +"
3 3
 0 4  0 4  0# #
2x - 4 2x - 4
2+
2 2+
3 3 33 2
3
2
ś# 3
= lim#3 16 - 4 = " 16 = .
ś# ź#
4  0# #
4 2
T k ar%2ł otrais integrlis konver#, tad dotais integrlis konver# un t vrt%2łba ir
4
dx 33 2 33 2
= - + = 0 .
+"
3
2 2
2x - 4
0
Trea veida ne%2łstos integr<us apr7ina, sadalot vairku integr<u summ t, lai
katrs no saskaitmajiem bktu vai nu pirm vai otr veida ne%2łstais integrlis. Katru
saskaitmo apr7ina atsevia7i. Trea veida ne%2łstais integrlis konver#, ja konver# katrs
saskaitmais.
6. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
+"
dx
Piemrs. Noteikt, vai ne%2łstais integrlis konver# vai diver#. Ja konver#,
+"
(x +1)2
-"
apr7int t vrt%2łbu.
Risinjums. Dotais integrlis ir trea veida ne%2łstais integrlis, jo gan integraanas
robe~as ir bezgal%2łgas, gan zemintegr<a funkcijai ir bezgal%2łgs prtraukums, ja
(x +1)2 = 0 , t.i., ja x = -1. Sadal%2łsim to vairku integr<u summ:
+" -2 -1 0 +"
dx dx dx dx dx
= + + + .
+" +" +" +" +"
(x +1)2 (x +1)2 (x +1)2 (x +1)2 0 (x +1)2
-" -" -2 -1
Pirmais un ceturtais integr<i ir pirm veida ne%2łstie integr<i, otrais un treaais  otr veida
ne%2łstie integr<i. Apr7insim atsevia7us integr<us tik ilgi, kamr tie konver#:
-2
-2 -2 -2 -2
dx dx (x +1)-1 1
= lim = lim +1)-2 d(x +1) = lim = - lim =
+" +" +"(x
a-" -1 a-" x +1
(x +1)2 a-" a (x +1)2 a-" a
a
-"
a
1
# ś#
= - lim =
ś#-1- ź# -(-1- 0) = 1, ttad ais integrlis konver#.
a-" a +1 #
#
-1 -1- -1-
dx dx 1 1
,
= lim = - lim = - lim#- + 1ś# = "
ś# ź#
+" +"
 0 
# #
(x + 1)2  0 (x + 1)2  0 x + 1 -2
-2 -2
ttad ais integrlis diver# un l%2łdz ar to diver# ar%2ł dotais integrlis.
6.5. Noteikt integr<a visprinjums
Vlreiz atcersimies noteikt integr<a defin%2łciju. Ja funkcija y = f (x) ir
neprtraukta vai gabaliem neprtraukta (t.i., tai ir gal%2łgs skaits pirm veida prtraukuma
punktu) intervl [a; b], kur a un b ir gal%2łgi skait<i, tad noteiktais integrlis
b
n
f (x)dx = lim f (ti )"xi ,
"
+"
"x0
i=1
a
kur a = x0 < x1 < x2 < K < xn = b , ti "[xi-1, xi ], "xi = xi - xi-1 , "x = max "xi .
1d"id"n
Noteiktajam integrlim integraanas apgabals ir relo skait<u intervls.
Paplaainsim noteikt integr<a jdzienu, Femot citu veidu integraanas apgabalus un
analogi noteiktajam integrlim sastdot integrlsummu.
6. nodarb%2łba. 11. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
1) Divkraais integrlis. Par integraanas apgabalu Femsim plaknes apgabalu D.
PieFemsim, ka apgabal D definta neprtraukta divu argumentu funkcija f (x; y).
Apgabalu D patva<%2łg veid sadal%2łsim n da<s jeb parcilapgabalos (5. z%2łm.).
Parcilapgabala Di laukumu apz%2łmsim ar
"Di . Katr parcilapgabal Di izvlsimies
y
y
Di
Di
patva<%2łgu punktu Pi, apr7insim funkcijas
vrt%2łbu aaj punkt f (Pi ) un sastd%2łsim
n
integrlsummu f (Pi )"Di . Ja robe~a no
"
i=1
a%2łs integrlsummas, kad maksimlais no
Pi
Pi
parcilapgabala Di diametriem  tiecas uz
nulli, nav atkar%2łga ne no apgabala
sadal%2łaanas da<s, ne ar%2ł no punktu Pi
izvles, tad ao robe~u sauc par divkrao
integrli un apz%2łm f (x; y)dxdy . Ttad
+"+"
O x
O x
D
n
5. z%2łm.
5. z%2łm.
f (x; y)dxdy = lim f (Pi )"Di .
"
+"+"
0
i=1
D
2) Tr%2łskraais integrlis. Par integraanas apgabalu Femsim telpas apgabalu V.
PieFemsim, ka aaj apgabal definta neprtraukta triju argumentu funkcija f (x; y; z).
Apgabalu V patva<%2łg veid sadal%2łsim n da<s jeb parcilapgabalos (6. z%2łm.).
Parcilapgabala Vi tilpumu apz%2łmsim
z
ar "Vi . Katr parcilapgabal Vi
Vi izvlsimies patva<%2łgu punktu Pi,
V
apr7insim funkcijas vrt%2łbu aaj
punkt f (Pi ) un sastd%2łsim
n
Pi
integrlsummu f (Pi )"Vi . Ja robe~a
"
i=1
no a%2łs integrlsummas, kad
maksimlais no parcilapgabala Vi
O
diametriem  tiecas uz nulli, nav
y
atkar%2łga ne no apgabala sadal%2łaanas
da<s, ne ar%2ł no punktu Pi izvles, tad
ao robe~u sauc par tr%2łskrao integrli
x
un apz%2łm f (x; y; z)dxdydz . Ttad
6. z%2łm.
+"+"+"
V
n
f (x; y; z)dxdydz = lim f (Pi )"Vi .
"
+"+"+"
0
i=1
V
6. nodarb%2łba. 12. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
3) L%2łnijintegrlis. PieFemsim, ka telp dota gluda l%2łnija L un l%2łnijas L punktos definta
neprtraukta triju argumentu funkcija f (x; y; z). L%2łniju L patva<%2łg veid sadal%2łsim n
da<s jeb parcillokos (7. z%2łm.). Parcilloka Li garumu apz%2łmsim ar "li . Uz katra
parcilloka Li izvlsimies patva<%2łgu
z
Li
punktu Pi, apr7insim funkcijas
vrt%2łbu aaj punkt f (Pi ) un
L Pi
sastd%2łsim integrlsummu
n
f (Pi )"li . Ja robe~a no a%2łs
"
i=1
integrlsummas, kad maksimlais no
O
parcilloku Li garumiem  tiecas uz
y
nulli, nav atkar%2łga ne no l%2łnijas
sadal%2łaanas da<s, ne ar%2ł no punktu Pi
izvles, tad ao robe~u sauc par
x
l%2łnijintegrli un apz%2łm f (x; y; z)dl .
7. z%2łm.
+"
L
Ttad
n
f (x; y; z)dl = lim f (Pi )"li .
"
+"
0
i=1
L
4) Virsmas integrlis. PieFemsim, ka telp dota gluda virsma S un ts punktos definta
neprtraukta triju argumentu funkcija f (x; y; z). Virsmu S patva<%2łg veid sadal%2łsim n
da<s jeb parcilapgabalos (8. z%2łm.). Parcilapgabala Si laukumu apz%2łmsim ar "Si .
Katr parcilapgabal Si izvlsimies
Si
patva<%2łgu punktu Pi, apr7insim
z
funkcijas vrt%2łbu aaj punkt f (Pi ) un
sastd%2łsim integrlsummu
S
n
Pi
f (Pi )"Si . Ja robe~a no a%2łs
"
i=1
integrlsummas, kad maksimlais no
parcilapgabala Si diametriem  tiecas
O
y
uz nulli, nav atkar%2łga ne no apgabala
sadal%2łaanas da<s, ne ar%2ł no punktu Pi
izvles, tad ao robe~u sauc par virsmas
integrli un apz%2łm f (x; y; z)dS .
+"+"
x
8. z%2łm.
S
Ttad
n
f (x; y; z)dS = lim f (Pi )"Si .
"
+"+"
0
i=1
S
6. nodarb%2łba. 13. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
15 lekcija 2 sem
7 lekcija 2 sem
16 lekcija 2 sem
2 lekcija 2 sem
10 lekcija 2 sem
3 lekcija 2 sem
11 lekcija 2 sem
4 lekcija 2 sem
9 lekcija 2 sem
14 lekcija 2 sem
8 lekcija 2 sem
8 lekcija 2 sem
1 lekcija 2 sem
13 lekcija 2 sem
5 lekcija 2 sem
mk wyklady transport sem 1

więcej podobnych podstron