R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
9. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Pirms krtas diferencilviendojumi lineri, Bernulli
un eksaktie. Otrs krtas diferencilviendojumi, kuriem var pazemint
krtu.
9.1. Lineri pirms krtas diferencilviendojumi
Defin%2łcija. Pirms krtas diferencilviendojumu sauc par lineru, ja tas nezinmo
2
funkciju y un ts atvasinjumu y satur tikai pirmaj pakp.
Ttad vispr%2łg veid liners pirms krtas diferencilviendojums ir pierakstms
k
2
a(x)y + b(x)y + c(x) = 0 .
Funkciju c(x) prnes%2łsim uz viendojuma labo pusi un viendojumu izdal%2łsim ar a(x):
b(x) c(x)
2
y + y = - .
a(x) a(x)
b(x) c(x)
Apz%2łmjot p(x) = , q(x) = - , iegksim lineru pirms krtas viendojumu
a(x) a(x)
2
y + p(x)y = q(x).
`du diferencilviendojumu atrisinaanai eksist divas metodes: Lagran~a
konstantes varicijas metode un Bernulli metode. Aplkkosim abas metodes.
Lagran~a konstantes varicijas metode. R7inot pc a%2łs metodes vispirms atrisina
dotajam viendojuma atbilstoao homogno viendojumu
2
Y + p(x)Y = 0 .
Tas ir viendojums ar atdalmiem main%2łgajiem, ttad
dY dY dY
= - p(x)Y , = - p(x)dx , = - p(x)dx ,
+" +"
dx Y Y
ln Y = - p(x)dx + ln C , Y = Ce-+" p(x)dx .
+"
Dot viendojuma atrisinjumu mekl td paa form k atbilstoa homogn
viendojuma atrisinjums, konstanti uzskatot par funkciju, atkar%2łgu no x, t.i.,
y = C(x)e-+" p(x)dx .
9. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2
Lai noteiktu funkciju C(x), y atvasina un y un y izteiksmes ievieto dotaj
2
diferencilviendojum. Iegkst viendojumu, no kura jizsaka funkcija C (x), to
nointegrjot, dabk funkciju C(x).
Bernulli metode. Diferencilviendojuma atrisinjumu mekl k divu funkciju
reizinjumu, t.i.,
y = u " v .
2 2 2 2
Tad y = u v + uv . Ievietojot a%2łs y un y izteiksmes dotaj diferencilviendojum,
iegkst viendojumu
2 2
u v + uv + p(x)uv = q(x).
No otr un trea saskaitm u iznes%2łsim pirms iekavm:
2 2
u v + u(v + p(x)v) = q(x).
Vienu no funkcijm u vai v var izvlties patva<%2łgi, bet otru funkciju nosaka dotais
viendojums. Funkciju v Femsim tdu, lai izteiksme iekavs bktu vienda ar nulli, t.i.,
2
v + p(x)v = 0 .
Tas ir viendojums ar atdalmiem main%2łgajiem, kuru atrisinot, iegkst funkciju v.
Piebild%2łsim, ka pdjam viendojumam nav vajadz%2łgs vispr%2łgais atrisinjums, bet gan
partikulrais atrisinjums, tpc, to r7inot, konstanti klt neskaita. Apr7into funkciju v
ievieto viendojum
2
u v = q(x),
2
izsaka u un nointegrjot iegkst funkciju u. Viendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
funkciju u un v reizinjums
y = u " v .
sin x
2
Piemrs. Atrisint diferencilviendojumu xy + 3y = .
x2
Risinjums. Doto diferencilviendojumu atrisinsim ar abm metodm.
1) Lagran~a konstantes varicijas metode. Vispirms atrisinsim dotajam viendojuma
atbilstoao homogno viendojumu:
dY dY dx dY dx
2
xY + 3Y = 0 , x = -3Y , = -3 , = -3 ,
+" +"
dx Y x Y x
C
lnY = -3ln x + ln C , Y = Cx-3 = .
x3
Dot viendojuma atrisinjumu meklsim form
9. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
C(x).
y =
x3
Noteiksim a%2łs funkcijas atvasinjumu:
2
C (x) 3C(x)
2 2
y = (C(x)x-3)2 = C (x)x-3 + C(x)(- 3x-4)= - .
x3 x4
2
y un y izteiksmes ievietosim dotaj diferencilviendojum:
2 2
# C (x) 3C(x)ź# + 3" C(x) sin x C (x) 3C(x) 3C(x) sin x
ś#
x - = , - + = ,
ś#
# x3 x4 # x3 x2 x2 x3 x3 x2
2
C (x) sin x
2
= , C (x) = sin x .
x2 x2
Ttad
C(x) = xdx = - cos x + C
+"sin
un dot diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
- cos x + C C - cos x
y = jeb y = .
x3 x3
2) Bernulli metode. Doto viendojumu izdal%2łsim ar x:
3y sin x
2
y + = .
x
x3
2 2 2
`aj viendojum ievietosim y = u " v , y = u v + uv :
3uv sin x
2 2
u v + uv + = .
x
x3
No saskaitmajiem, kas funkciju u satur pirmaj pakp, u nes%2łsim pirms iekavm:
3v sin x
ś#
2 2
u v + u#v + = .
ś# ź#
x
# # x3
Izteiksmi iekavs piel%2łdzinsim nullei un atrisinsim iegkto diferencilviendojumu ar
atdalmiem main%2łgajiem:
3v dv 3v dv dx dv dx
2
v + = 0 , = - , = -3 , = -3 ,
+" +"
x dx x v x v x
9. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
1
ln v = -3ln x , ln v = ln x-3 , v = x-3 = .
x3
Iegkto funkciju v ievietosim viendojum, kur u iznests pirms iekavm:
1 sin x
2 2
u " = , u = sin x , u = xdx = -cos x + C .
+"sin
x3 x3
Ttad dot diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
1 C - cos x
y = u " v = (- cos x + C)" jeb y = .
x3 x3
Piez%2łme. Bkt%2łb abas metodes ir l%2łdz%2łgas, ta%0ńu mans ieteikums studentiem ir labk lietot
Bernulli metodi divu iemeslu d<:
- t ir nedaudz %2łska, jo tiek izlaists posms ar atvasinjuma meklaanu un t
ievietoaanu viendojum, kuru satur Lagran~a metode;
- a%2ł pati metode der ar%2ł cita veida Bernulli viendojumu risinaanai.
9.2. Bernulli diferencilviendojumi
Defin%2łcija. Par Bernulli diferencilviendojumiem sauc diferencilviendojumus form
2
y + p(x)y = q(x)ym , kur m `" 0 , m `" 1.
Gad%2łjum, kad m = 0 , viendojums ir liners; savukrt, ja m = 1, tas ir
viendojums ar atdalmiem main%2łgajiem.
Ar%2ł Bernulli diferencilviendojumiem eksist divas risinaanas metodes: 1) ar
substitkciju var priet uz lineru diferencilviendojumu; 2) var risint to pc Bernulli
metodes.
1) Preja no Bernulli viendojuma uz lineru viendojumu. Doto viendojumu izdal%2łsim
ar ym:
2
y p(x)y
2
+ = q(x), y-m y + p(x)y1-m = q(x).
ym ym
2
z
2 2 2
Apz%2łmsim z = y1-m . Tad z = (1- m)y-m y , no kurienes y-m y = . Prejot
1- m
viendojum uz jauno main%2łgo, iegksim viendojumu
2
z
+ p(x)z = q(x),
1- m
kas ir liners pirms krtas diferencilviendojums. To var atrisint pc Lagran~a
konstantes varicijas metodes vai pc Bernulli metodes.
9. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2) Bernulli metode. Analo#iski lineru viendojumu risinaanai atrisinjumu mekl k
divu funkciju reizinjumu y = u " v . Ievietojot to dotaj diferencilviendojum, iegkst
viendojumu
2 2
u v + uv + p(x)uv = q(x)umvm .
No saskaitmajiem, kas funkciju u satur pirmaj pakp, iznes%2łsim to pirms iekavm:
2 2
u v + u(v + p(x)v) = q(x)umvm .
Izteiksmi iekavs piel%2łdzinot nullei, t.i.,
2
v + p(x)v = 0 ,
iegkst diferencilviendojumu ar atdalmiem main%2łgajiem funkcijas v noteikaanai.
Funkciju u atrod no diferencilviendojuma
2
u v = q(x)umvm ,
kas ar%2ł ir viendojums ar atdalmiem main%2łgajiem.
x
2
Piemrs. Atrisint diferencilviendojumu y + xy = .
y3
Risinjums. Doto diferencilviendojumu atrisinsim ar abm metodm.
1) Preja no Bernulli viendojuma uz lineru viendojumu. Doto viendojumu
pareizinsim ar y3 :
2
y3 y + xy4 = x .
2
z
2 2 2
Apz%2łmsim z = y4 . Tad z = 4y3 y , y3 y = un iegksim viendojumu
4
2
z
2
+ xz = x jeb z + 4xz = 4x .
4
Atrisinsim to pc Bernulli metodes. Pdj viendojum ievietosim z = u " v ,
2 2 2
z = u v + uv :
2 2 2 2
u v + uv + 4xuv = 4x , u v + u(v + 4xv) = 4x .
Izteiksmi iekavs piel%2łdzinsim nullei un atrisinsim iegkto diferencilviendojumu:
dv dv dv
2
v + 4xv = 0 , = -4xv , = -4xdx , = -4 xdx ,
+" +"
dx v v
2
ln v = -2x2 , v = e-2x .
9. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Iegkto funkciju v ievietosim viendojum:
2 2 2 2
2x2
2 2
u " e-2x = 4x , u = 4xe2x , u = 4 xe2x dx = d(2x2)= e2x + C .
+" +"e
Tad
2 2 2
z = u " v =(e2x + C)" e-2x = 1+ Ce-2x ,
2 2
y4 = 1+ Ce-2x , y = ą4 1+ Ce-2x .
2) Bernulli metode. Atrisinjumu meklsim k divu funkciju reizinjumu y = u " v .
2 2 2
Ievietojot to un y = u v + uv dotaj diferencilviendojum, iegksim
x x
2 2 2 2
u v + uv + xuv = , u v + u(v + xv) = .
(uv)3 u3v3
Izteiksmi iekavs piel%2łdzinsim nullei un noteiksim funkciju v:
dv dv dv
2
v + xv = 0 , = -xv , = -xdx , = - xdx ,
+" +"
dx v v
x2
-
x2
2
ln v = - , v = e .
2
Iegkto funkciju v ievietosim viendojum un noteiksim funkciju u:
x2 x2 3x2
- -
2
x du x
2 2 2
2
u " e = , " e = e , u3du = xe2x dx ,
3
dx
u3
x2
# ś#
-
ź#
2
u3ś#e
ś# ź#
ś# ź#
# #
2 2 2
u4 1
3 2x2
xe2x dx , =
+"u du = +" +"e d(2x2), u4 = e2x + C , u = ą4 e2x + C .
4 4
Dot diferencilviendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
4
x2 x2
# ś#
2 -
2 2 2 2
ś#e- ź#
2 2
4
y = u " v = ą4 e2x + C " e = ą (e2x + C) = ą4 (e2x + C)e-2x = ą4 1+ Ce-2x
ś# ź#
ś# ź#
# #
9. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
9.3. Eksaktie diferencilviendojumi
Defin%2łcija. Diferencilviendojumu
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
sauc par eksaktu diferencilviendojumu, ja t kreiss puses izteiksme ir kdas divu
argumentu funkcijas pilnais diferencilis.
Eksaktos diferencilviendojumus mdz saukt ar%2ł par totlajiem
diferencilviendojumiem un diferencilviendojumiem pilnos diferenci<os.
Nezinmo divu argumentu funkciju apz%2łmsim ar U. Tad pc defin%2łcijas
dU = P(x, y)dx + Q(x, y)dy .
Atcersimies divu argumentu funkcijas piln diferenci<a apr7inaanas formulu:
"U "U
dU = dx + dy .
"x "y
Sal%2łdzinot divas pdjs viend%2łbas, varam rakst%2łt
"U "U
= P(x, y), = Q(x, y).
"x "y
Pirmo viend%2łbu atvasinsim parcili pc y, otro pc x:
"2U "P "2U "Q
= , = .
"x"y "y "y"x "x
"2U "2U
T k = , tad iegksim sakar%2łbu
"x"y "y"x
"P "Q
= ,
"y "x
kas ir eksakt diferencilviendojuma nosac%2łjums.
Lai atrisintu eksakto diferencilviendojumu, jatrod nezinm divu argumentu
"U
funkcija U(x, y). `%2ł iemesla d< nointegrsim viend%2łbas = P(x, y) abas puses pc x,
"x
y uzskatot par konstanti:
U = P(x, y)dx = F(x, y)+ (y).
+"
T k y uzskata par konstanti, tad primit%2łvai funkcijai jpieskaita funkcija, atkar%2łga no y.
"U
Lai atrastu (y), izmantosim viend%2łbu = Q(x, y), t.i., nointegrjot iegkto rezulttu
"y
atvasinsim parcili pc y un piel%2łdzinsim funkcijai Q(x, y):
9. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
"F(x, y)
2
+ (y) = Q(x, y).
"y
2
No pdjs sakar%2łbas izsaka (y) un, to nointegrjot, nosaka funkciju (y). Atbildi dod
form
U(x, y) = 0 jeb F(x, y)+ (y) = 0 .
1
# ś#dx
Piemrs. Atrast diferencilviendojuma 2xy + y cos(xy)+ + (x2 + x cos(xy))dy = 0
ś# ź#
x
# #
vispr%2łgo integrli.
1
Risinjums. Apz%2łmsim P = 2xy + y cos(xy)+ , Q = x2 + x cos(xy). Tad
x
"P "Q
= 2x + cos(xy)- xy sin(xy), = 2x + cos(xy)- xy sin(xy).
"y "x
"P "Q
T k = , dotais viendojums ir eksaktais diferencilviendojums.
"y "x
Nointegrsim viendojuma pirmo da<u
1 dx
# ś#dx
U = + y cos(xy)+ = 2y xdx + =
ź#
+"ś#2xy +" +"cos(xy)d(xy)+ +"
x x
# #
= x2 y + sin(xy)+ ln x + (y).
Iegkts funkcijas parcilais atvasinjums pc y ir viends ar funkciju Q:
2
x2 + x cos(xy)+ (y) = x2 + x cos(xy),
2
(y) = 0 ! (y) = C .
Viendojuma vispr%2łgo integrli iegksim, funkciju U piel%2łdzinot nullei:
x2 y + sin(xy)+ ln x + C = 0 .
9.4. Otrs krtas diferencilviendojumi, kuriem var pazemint krtu
Otrs krtas diferencilviendojuma vispr%2łgais veids ir
2 2 2
F(y , y , y, x) = 0 .
Trijos gad%2łjumos otrs krtas diferencilviendojumam var pazemint krtu. `ie
gad%2łjumi ir:
9. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2
1) Diferencilviendojums atklt veid nesatur y un y , t.i., viendojums ir veid
2 2
F(y , x) = 0 .
Tad no viendojuma izsaka
2 2
y = f (x)
un, divreiz nointegrjot, iegkst viendojuma vispr%2łgo atrisinjumu.
2) Diferencilviendojums atklt veid nesatur y , t.i., viendojums ir veid
2 2 2
F(y , y , x) = 0 .
2 2 2 2
Tad lieto substitkciju y = z , kur z = z(x). Td gad%2łjum y = z un iegkst pirms
krtas diferencilviendojumu
2
F(z , z, x) = 0 .
No pdj viendojuma iegkst funkciju z un, to nointegrjot, dabk dot viendojuma
vispr%2łgo atrisinjumu:
y = z(x)dx .
+"
3) Diferencilviendojums atklt veid nesatur x , t.i., viendojums ir veid
2 2 2
F(y , y , y) = 0.
2
Tad lieto substitkciju y = p , kur p = p(y). T k p ir funkcija, atkar%2łga no y, bet 2 ir
2 2
atvasinjums pc x, y atrod, atvasinot p k saliktu funkciju, t.i.,
d dp dp dy
2 2 2 2
y = (y ) = = " = p p .
dx dx dy dx
Rezultt iegkst pirms krtas diferencilviendojumu
2
F(p p, p, y) = 0 ,
kur 2 jau ir atvasinjums pc y. No viendojuma atrod funkciju p(y) un, atrisinot
viendojumu ar atdalmiem main%2łgajiem
2
y = p(y),
nosaka dot viendojuma atrisinjumu.
4
2 2
Piemrs. Atrisint diferencilviendojumu y + sin 3x - = 0 .
x2
2 2
Risinjums. No dot diferencilviendojuma izteiksim y :
9. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
4
2 2
y = -sin 3x + .
x2
Funkciju viendojuma labaj pus divreiz nointegrsim:
4 1 1 x-1
2
y = - 3xdx + dx = - 3xd(3x)+ 4 x-2dx = cos3x + 4 " + C1 =
+"sin +" +"sin +"
3 -1
x2 3
1 4
= cos3x - + C1;
3 x
1 4 1 1 dx
#
y = cos3x - + C1 ś#dx = " + C1 =
ź#
+"ś# 3 +"cos3xd(3x)- 4+" +"dx
x 3 3 x
# #
1
= sin 3x - 4ln x + C1x + C2 .
9
2 2 2 2
Piemrs. Atrisint diferencilviendojumu 2xy y = (y )2 +1.
Risinjums. Dotais diferencilviendojums atklt veid nesatur y, tpc lietosim
substitkciju
2 2 2 2
y = z , y = z .
Iegksim pirms krtas diferencilviendojumu
2
2xzz = z2 +1.
Tas ir diferencilviendojums ar atdalmiem main%2łgajiem, atrisinsim to:
dz 2zdz dx zdz dx d(z2 +1)= +" dx
2xz = z2 +1, = , 2 = , ,
+" +" +"
dx x x x
z2 +1 z2 +1 z2 +1
ln z2 +1 = ln x + ln C1 , z2 +1 = C1x , z = ą C1x -1 .
Nointegrsim iegkto funkciju:
3
1
(C1x
1 1 -1)
2
y = ą C1x -1dx = ą
+" +"(C x -1)2 d(C1x -1) = ą C1 " 3 + C2 .
C1 1
2
Ttad dot viendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
2
y = ą (C1x -1)3 + C2 .
3C1
9. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2 2 2
Piemrs. Atrast diferencilviendojuma y " y + (y )2 =1 partikulro atrisinjumu, kura
2
apmierina skuma nosac%2łjumus y(0)= 1, y (0) = -1.
Risinjums. Dotais diferencilviendojums atklt veid nesatur x, tpc lietosim
substitkciju
2 2 2 2
y = p , y = p p .
Iegksim pirms krtas diferencilviendojumu
2
yp p + p2 = 1.
Tas ir diferencilviendojums ar atdalmiem main%2łgajiem, ttad atdal%2łsim main%2łgos un
nointegrsim:
dp pdy dy pdp dy 1 d(p2 -1)= -+" dy
py = 1- p2 , = , = - , ,
+"+" +"
dy y 2 y
1- p2 y p2 -1 p2 -1
1 C1 C12
ln p2 -1 = ln C1 - ln y , p2 -1 = , p2 -1 = .
2 y
y2
2
Lai noteiktu C1, izmantosim dotos nosac%2łjumus y(0)=1, y (0) = -1 jeb p(0) = -1.
Iegktaj sakar%2łb ievietosim y = 1, p = -1:
C12 C12
(-1)2 -1 = ! 0 = ! C1 = 0 .
1
12
Ttad
02
p2 -1 = , p2 =1
y2
un
dy
p = = ą1.
dx
Atdalot main%2łgos un integrjot, iegkst
dy = ądx , y = ąx + C2 .
No skuma nosac%2łjuma y(0)=1 seko:
1 = ą0 + C2 ! C2 = 1.
Ttad mekltais atrisinjums ir
y = 1ą x .
9. nodarb%2łba. 11. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
15 lekcija 2 sem7 lekcija 2 sem16 lekcija 2 sem2 lekcija 2 sem10 lekcija 2 sem3 lekcija 2 sem11 lekcija 2 sem4 lekcija 2 sem14 lekcija 2 sem8 lekcija 2 sem8 lekcija 2 sem1 lekcija 2 sem13 lekcija 2 sem6 lekcija 2 sem5 lekcija 2 semmk wyklady transport sem 1więcej podobnych podstron