Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 5
5. Dynamika punktu materialnego II
5.1 Siły kontaktowe i tarcie
5.1.1 Siły kontaktowe
Gdy dwa ciała są dociskane do siebie to występują między nimi siły kontaktowe.
y
ródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami. Przy dostatecznie małej odległości
występuje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosnące wraz z malejącą
odległością. To jest siła elektromagnetyczna i mo\
e być bardzo du\
a w porównanie
z siłami grawitacyjnymi.
Je\
eli siła cię\
kości pcha blok w dół siłą Fg to powstaje druga siła - siła kontak-
towa F1. Siła wypadkowa Fwyp = 0. We wszystkich przypadkach stosowania drugiej za-
sady dynamiki Newtona jest bardzo istotne, \
eby obliczyć siłę wypadkową.
Przykład 1
Rozwa\
my dwa klocki m1 i m2 na gład-
kiej powierzchni. Do klocka m1 przyło-
\
ono siłę F. Czy siła F jest przenoszona
m2
poprzez klocek 1 na klocek 2? Gdyby tak
m1
F
było to zgodnie z trzecią zasadą dynami-
-Fk Fk
ki Newtona klocek 2 działałby na klocek
1 siłą równą i przeciwnie skierowaną.
Wtedy Fwyp równałaby się zero!!!!, czyli,
\
e nie mo\
na by było poruszyć ciała 1 bez względu na to jak du\
a jest siła F.
Zasada Newtona nie mówi, \
e siła F jest przenoszona przez klocek 1 na klocek 2; po-
winno się przyjąć siłę kontaktową Fk o dowolnej wartości. Ogólnie: powinno się stoso-
wać drugą zasadę dynamiki oddzielnie do ka\
dego ciała.
Dla klocka 1 otrzymujemy wtedy F - Fk = m1a
Dla klocka 2 Fk = m2a
StÄ…d przyspieszenie a = F/(m1 + m2)
Zauwa\
my, \
e ten wynik mo\
na otrzymać gdy traktujemy te dwa klocki jak jedną masę
m = m1 + m2.
5.1.2 Tarcie
Siły kontaktowe, o których mówiliśmy są normalne (prostopadłe) do powierzchni.
Istnieje jednak składowa siły kontaktowej le\
ąca w płaszczyz
nie powierzchni. Je\
eli
ciało pchniemy wzdłu\
stołu to po pewnym czasie ciało to zatrzyma się. Z drugiej zasa-
dy dynamiki wiemy, \
e je\
eli ciało porusza się z przyspieszeniem to musi działać siła.
Taką siłę nazywamy siłą tarcia.
Rozwa\
my np. klocek, do którego przykładamy "małą" siłę F tak, \
e klocek nie po-
rusza siÄ™. Oznacza to, \
e sile F przeciwstawia się siła tarcia T. Mamy więc: T = -F.
Zwiększamy stopniowo siłę F a\
klocek zaczyna się poruszać. Im gładsza powierzchnia
tym szybciej to nastÄ…pi. Oznacza to, \
e siła tarcia zmienia się od wartości zero do pew-
5-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
nej wartości krytycznej w miarę wzrostu siły F. Oznaczmy tę krytyczną siłę Ts
(s-statyczna). To jest maksymalna siła tarcia statycznego.
Ts (dla pary powierzchni suchych) spełnia dwa prawa empiryczne:
" Jest w przybli\
eniu niezale\
na od powierzchni zetknięcia (w szerokim zakresie),
" Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierzchnia naci-
ska na drugÄ….
Stosunek siÅ‚y Ts do nacisku FN nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego µs
Ts
µs = (5.1)
FN
Uwaga: Mówimy tylko o wartościach tych sił bo są one do siebie prostopadłe. Je\
eli F
jest większe od Ts to klocek poruszy się, ale będzie istniała siła tarcia Tk (k - kinetyczna)
przeciwstawiajÄ…ca siÄ™ ruchowi.
Siła Tk spełnia trzy prawa empiryczne:
" Jest w przybli\
eniu niezale\
na od powierzchni zetknięcia (w szerokim zakresie),
" Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierz-chnia na-
ciska na drugÄ…,
" Nie zale\
y od prędkości względnej poruszania się powierzchni.
Istnieje odpowiedni współczynnik tarcia kinetycznego µk
Tk
µk = (5.2)
FN
Dla wiÄ™kszoÅ›ci materiałów µk jest nieco mniejszy od µs. Np. µk H" 1 dla opon na jezdni
betonowej.
Tarcie jest bardzo zło\
onym zjawiskiem i wyjaśnienie go wymaga znajomości od-
działywań atomów na powierzchni. Nie będziemy się tym zajmować. Ograniczmy się do
zauwa\
enia, \
e tarcie odgrywa bardzo istotnÄ… rolÄ™ w \
yciu codziennym. W samochodzie
np. na pokonanie siły tarcia zu\
ywa się około 20% mocy silnika. Tarcie powoduje zu-
\
ywanie poruszających się części maszyn. Staramy się je zwalczać. Z drugiej strony bez
tarcia nie moglibyśmy chodzić, jez
dzić samochodami, trzymać ołówka, kredy, czy te\

nimi pisać.
5.2 Siły bezwładności
We wstępie wyszczególnione zostały cztery rodzaje sił występujących w przyrodzie.
Wszystkie te siły nazywamy siłami rzeczywistymi, poniewa\
mo\
emy je zawsze związać
z jakimś konkretnym ciałem, mo\
emy podać ich pochodzenie. Czy to samo mo\
emy
powiedzieć np. o takich siłach jakich działania "doznajemy" np. przy przyspieszaniu,
hamowaniu czy zakręcaniu samochodu?
Przykład 2
Dwaj obserwatorzy opisujÄ… ruch kulki w sytuacji pokazanej na rysunku poni\
ej.
Jeden z obserwatorów znajduje się w wózku a drugi stoi na Ziemi. Wózek początkowo
porusza się ze stałą prędkością po linii prostej (1), następnie hamuje ze stałym opóz
nie-
niem a (2). Między kulką a wózkiem nie ma tarcia.
5-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
F1=-ma
(1)
vk=0, F=0
(2)
- a
a
v
vk=const, F=0
vk=const, F=0
Gdy wózek jedzie ze stałą prędkością to obydwaj obserwatorzy stwierdzają zgodnie na
podstawie pierwszej zasady dynamiki, \
e na kulkę nie działa \
adna siła. Zwróćmy uwa-
gÄ™, \
e obserwatorzy znajdują się w inercjalnych układach odniesienia. Sytuacja zmienia
się gdy wózek zaczyna hamować (2). Obserwator związany z Ziemią dalej twierdzi, \
e
kulka porusza się ze stałą prędkością, a tylko podłoga wózka przesuwa się pod nim. Na-
tomiast obserwator w wózku stwierdza, \
e kulka zaczyna się poruszać się z przyspie-
szeniem  a w stronę przedniej ściany wózka. Dochodzi do wniosku, \
e na kulkÄ™ o ma-
sie mk zaczęła działać siła
F1 = - mka
ale nie mo\
e wskazać \
adnego ciała, będącego z
ródłem tej siły. Mówiliśmy ju\
, \
e dru-
ga zasada dynamiki jest słuszna tylko w inercjalnym układzie odniesienia. Zauwa\
my,
\
e obserwator w wózku znajduje się teraz w układzie nieinercjalnym. Widać, \
e jest w
błędzie; nie istnieje rzeczywista siła F1. Jest to tak zwana pozorna siła bezwładności.
Powstaje więc pytanie jak postępować gdy musimy rozwiązać problem w układzie
nieinercjalnym. W tym celu rozpatrzmy dalszy ruch kulki. Gdy dotrze ona do przedniej
ścianki to wówczas według obserwatora na Ziemi (układ inercjalny) będzie poruszać się
z przyspieszeniem a (takim jak wózek) bo działa na nią siła Fs sprę\
ystości przedniej
ściany wózka równa
Fs = mka
Natomiast obserwator w wózku stwierdza, \
e kulka przestała się poruszać; spoczywa
względem niego. Jego zdaniem siła sprę\
ystości ściany Fs równowa\
y siłę F1, tak \
e
siła wypadkowa jest równa zeru i kulka nie porusza się
Fs + F1 = 0
co po podstawieniu za F1 = - mka daje
Fs = mka
Okazuje siÄ™, \
e wynik otrzymany przez obserwatora w układzie nieinercjalnym jest taki
sam jak dla obserwatora związanego z Ziemią ale pod warunkiem uwzględnienia sił po-
zornych. Siły te "znikają" jeśli rozpatrujemy ruch z punktu widzenia układu inercjalne-
5-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
go. Wprowadzenie ich pozwala po prostu na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu
zdarzeń w układach poruszających się z przyspieszeniem. W takim układzie uwzględ-
niamy, \
e na ka\
de ciało działa siła wprost proporcjonalna do masy tego ciała, do przy-
spieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a.
Przykład 3
Winda porusza się ruchem jednostajnie zmiennym. Czas spadania ciała puszczonego
swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do podłogi, jest o 25% większy ni\
w
windzie stojącej. Obliczyć przyspieszenie windy. Dane jest przyspieszenie ziemskie g.
Rozwiązujemy zadanie w układzie inercjalnym i nieinercjalnym tzn. obserwator w jed-
nym przypadku znajduje siÄ™ na zewnÄ…trz windy, a w drugim jest pasa\
erem tej windy.
W przypadku pierwszym obserwator "widzi" (mierzy), \
e ciało przebywa dłu\
szÄ… drogÄ™
gdy winda jest w ruchu.
Dla windy stojÄ…cej
2
gt1
H =
2
H
Dla windy w ruchu
2
gt2
H + h =
2
oraz
2
at2
h
h =
2
przy czym
5
t2 = t1
4
9
Rozwiązanie tego układu równań daje wynik a = g
25
Drugi obserwator za ka\
dym razem widzi, \
e ciało przebywa tę samą drogę H od sufitu
do podłogi ale w ró\
nych czasach. Wniosek: w obu przypadkach jest ró\
ne przyspiesze-
nie. Obserwator wprowadza do obliczeń dodatkową siłę nadającą przyspieszenie  a.
Odpowiednie równania wyglądają teraz:
Dla windy stojÄ…cej
2
gt1
H =
2
Dla windy w ruchu
2
(g - a)t2
H =
2
Uwzględniając, \
e
5
t2 = t1
4
9
otrzymujemy a = g .
25
Tak więc uwzględnienie sił bezwładności jest konieczne je\
eli chcemy stosować zasady
dynamiki w układach nieinercjalnych.
5-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
W takim układzie uwzględniamy, \
e na ka\
de ciało działa siła wprost proporcjonalna do
masy tego ciała, do przyspieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a.
Inny przykład stanowią układy nieinercjalne poruszające się ruchem obrotowym. Np.
obserwator w satelicie krÄ…\
ącym wokół Ziemi obserwując ciało spoczywające w tym
satelicie stwierdza, \
e siła wypadkowa działająca na ten obiekt jest równa zeru. Musi
więc istnieć, według niego, siła która równowa\
y siłę grawitacji (dośrodkową). Siłę tę
nazywamy siłą odśrodkową i jest to siła pozorna.
Na zakończenie rozpatrzmy ruch postępowy ciała w obracającym się układzie
odniesienia. Przykładem mo\
e być człowiek poruszający się po linii prostej (radialnie)
od Å›rodka do brzegu karuzeli obracajÄ…cej siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É. Na rysunku poni\
ej
pokazana jest zmiana prędkości człowieka. Linia (promień) wzdłu\
której porusza się
czÅ‚owiek zmienia swój kierunek (karuzela obraca siÄ™) o kÄ…t "¸ w czasie "t, czÅ‚owiek
zmienia swoje poło\
enie z punktu A do A'. Obliczymy teraz zmianę jego prędkości ra-
dialnej vr i stycznej vs. Prędkość radialna zmienia swój kierunek. Prędkość styczna na-
tomiast zmienia zarówno kierunek (przyspieszenie dośrodkowe) ale równie\
wartość bo
człowiek oddala się od środka (rośnie r).
Najpierw rozpatrzmy ró\
nicę prędkości vr w punktach A i A' pokazaną na powy\
szym
rysunku po prawej stronie. Dla maÅ‚ego kÄ…ta "¸ (tzn. maÅ‚ego "t) mo\
emy napisać
vs
vr
vs A'
vr
"vr
r+"r
A
vr
"¸ r
vr
"¸
É
"vr = vr "¸
Je\
eli obustronnie podzielimy równanie przez "t to w granicy "t 0 otrzymamy
dvr d¸
a1 = =vr =vrÉ
d t dt
Zmienia się równie\
prędkość styczna bo człowiek porusza się wzdłu\
promienia. W
punkcie A prÄ™dkość styczna vs = Ér, a w punkcie A' vs' = É(r+"r). Zmiana prÄ™dkoÅ›ci
stycznej wynosi więc
5-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
"vs = É(r+"r) - Ér = É"r
Je\
eli obustronnie podzielimy równanie przez "t to w granicy "t 0 otrzymamy
dvs d r
a2 = = É = Évr
d t d t
Przyspieszenia a1 i a2 mają ten sam kierunek (równoległy do vs) więc przyspieszenie
całkowite wynosi
a = a1 + a2 = 2Évr (5.3)
Przyspieszenie to jest nazywane przyspieszeniem Coriolisa. Pochodzi ono stÄ…d, \
e nawet
przy staÅ‚ej prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É roÅ›nie prÄ™dkość liniowa czÅ‚owieka bo roÅ›nie r. Gdyby
człowiek stał na karuzeli to obserwator stojący na ziemi mierzyłby tylko przyspieszenie
doÅ›rodkowe (É2r) skierowane do Å›rodka wzdÅ‚u\
promienia. Natomiast gdy człowiek
idzie na zewnÄ…trz to obserwator rejestruje tak\
e przyspieszenie Coriolisa (o kierunku
równoległym do vs). Oczywiście musi istnieć siła działająca w tym kierunku. Jest nią w
tym przypadku siła tarcia między podłogą i butami idącego człowieka.
Jednak obserwator związany z karuzelą nie widzi ani przyspieszenia dośrodkowego ani
przyspieszenia Coriolisa, człowiek poruszający się wzdłu\
promienia jest w stanie rów-
nowagi w układzie karuzeli. A przecie\
istnieje realnie odczuwalna (rzeczywista) siła
tarcia. śeby wyeliminować tę rozbie\
ność obserwator stojący na karuzeli wprowadza
dwie siły pozorne równowa\
ące siłę tarcia. Jedna to siła odśrodkowa, a druga to siła
Coriolisa. Siła odśrodkowa działa radialnie na zewnątrz, a siła Coriolisa stycznie ale
przeciwnie do vs.
Ogólnie, na ciało o masie m poruszające się ruchem postępowym z prędkością v w ob-
racającym się układzie odniesienia działa siła bezwładności zwana siłą Coriolisa Fc
Fc = 2mv×É (5.4)
É
É
É
Wprowadzenie sił pozornych (nie umiemy pokazać ich z
ródła) jest konieczne aby móc
stosować mechanikę klasyczną w układach nieinercjalnych.
Ziemia nie jest idealnym układem inercjalnym poniewa\
wiruje. W wyniku tego ob-
rotu w zjawiskach zachodzących na Ziemi obserwujemy siłę Coriolisa. Przykładowo,
rzeki płynące na półkuli północnej podmywają silniej prawy brzeg. Równie\
ciała spa-
dające swobodnie odchylają się od pionu pod działaniem tej siły. W większości rozpa-
trywanych przez nas zjawisk mo\
na jednak zaniedbać wpływ ruchu Ziemi na ich prze-
bieg.
5-6