Zadania ilustrujące to, że II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ciała sztywnego
obowiązuje w ogólnym przypadku tylko dla momentów względem środka masy i środka
przyśpieszeń (punktu o zerowym przyspieszeniu).
Dla koła toczącego się po linii prostej zachodzi następujące twierdzenie:
Jeżeli w danej chwili prędkość kątowa jest równa zero, a jest tylko przyśpieszenie kątowe, to
środek obrotu pokrywa się ze środkiem przyśpieszeń (a jeśli nie, to nie).
(Chociaż ciało się w tej chwili nie kręci i każdy jego punkt nie ma prędkości kątowej, to możemy uważać za
środek obrotu punkt styku z podłożem, bo on jest środkiem obrotu w chwilach wcześniejszych i póz
niejszych)
Dowód:
Środek krzywizny koła porusza się po linii prostej równoległej do linii prostej podłoża, czyli jego przyśpieszenie
aO skierowane jest równolegle do podłoża. Jeżeli wprowadzimy układ odniesienia poruszający się z tym
przyśpieszeniem, to w tym układzie środek koła nie ma przyśpieszenia, czyli jest środkiem przyśpieszeń.
Dlatego punkt styku z podÅ‚ożem ma przyÅ›pieszenie ax =-µr, skierowane równolegle do linii podÅ‚oża, i nie ma on
przyśpieszenia dośrodkowego ay =0 (wedle ogólnej zasady, że przyśpieszenie styczne i dośrodkowe skierowane
są odpowiednio prostopadle i równolegle do odcinka łączącego dany punkt ze środkiem przyśpieszeń!). Jeżeli
teraz przejdziemy na inercjalny układ odniesienia związany z podłożem, to widać, że z symetrii toru (cykloida)
punktu, który akurat dotyka podłoża, wynika, że nie ma on składowej przyśpieszenia równoległej do podłoża,
czyli ax=a +aO=0. Obliczamy stÄ…d przy okazji przyÅ›pieszenie Å›rodka koÅ‚a aO=µr (ten wzór obowiÄ…zuje również,
gdy É`"0, lub gdy toczenie nie jest po linii prostej). JednoczeÅ›nie, gdy É=0, ay=ay =0. Czyli punkt styku z
podłożem (środek prędkości) jest środkiem przyśpieszeń, czyli a=0.
Zadania, ciaÅ‚a startujÄ…ce (É=0):
A  dobrze, bo to środek obrotu/przyśpieszeń
B  dobrze, bo to środek masy
C  z
le
m
Apropos: podczas opadania ciała w dół nitka wciąż będzie pozostawała
pionowa
A
B
C
A  dobrze, bo to środek obrotu/przyśpieszeń
B  dobrze, bo to środek masy
C  z
le
m
m
A
B C
A  dobrze, bo to środek obrotu/przyśpieszeń
m
m
B  dobrze, bo to środek masy
C  z
le
B
C
A
CiaÅ‚a już poruszajÄ…ce siÄ™ (É`"0):
m
A  z
le, bo środek obrotu nie jest środkiem
m m
m
przyśpieszeń
start
B  dobrze, bo to środek masy
B
C  z
le
C
D  dobrze, bo to środek przyśpieszeń
D
A
m
A  z
le, bo środek obrotu nie jest środkiem
m m
przyśpieszeń
start
B  dobrze, bo to środek masy
B
m C  dobrze przez przypadek (bo przyśpieszenie
C
punktu C jest skierowane do środka masy)
D
D  dobrze, bo to środek przyśpieszeń
A
Uwagi:
Można udowodnić, że w toczącym się po linii prostej kole środek przyśpieszeń D znajduje
się na półokręgu o promieniu 0.5r, przechodzącym przez punkty A i C (styk z podłożem i
Å›rodek koÅ‚a), przy czym gdy É=0, to D=A, a gdy É0, to D=C. WspółrzÄ™dne punktu D to
aÉ2r a2
x = r , y = r
a2 + É4r2 a2 + É4r2
gdzie y liczone jest od środka koła.
Twierdzenie o pokrywaniu siÄ™ Å›rodka przyspieszeÅ„ ze Å›rodkiem obrotu dla É=0 można by
udowodnić dla dowolnego toczącego się kształtu po dowolnej linii, bo jakikolwiek punkt C
znajdujący się na linii prostej przechodzącej przez punkt styku A i prostopadłej do podłoża (w
punkcie styku) porusza się po krzywej, do której styczna w tym punkcie C jest równoległa do
stycznej do podłoża w punkcie styku A. A ponieważ ciało nie ma w tej chwili prędkości
kątowej, to dalsza część dowodu jest podobna.